七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲 不等式(组)的应用

第十一讲 不等式（组）的应用

趣题引路】

（2002年江苏省常州市中考题）某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m 本课外读物，有x 名学生获奖，请解答下列问题：

（1）用含x 的代数式表示m ；

（2）求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数. 解析：（1）38m x =+；

（2）依题意得385(1)0385(1) 3.x x x x +--??+--< ?≥，①

②

由①得1

62

x ≤；

由②得5x >.

∴ 原不等式组的解集为1

562

x <≤.

∵ x 是正整数，∴6x =.

把6x =代入38m x =+，得26m =.

答：该校的获奖人数为6人，所买的课外读物的本数为26.

点评：在一些实际问题中，往往含有“不足”“不超过”“不低于”等关键词，将这些关键词转换成不等符号，就可以建立不等式，从而使问题得以解决.

知识延伸】

一、不等关系与相等关系的综合

在实际问题中，往往既存在相等关系又存在不等关系，我们充分利用这些关系建立方程和不等式，可以把问题解决.

例1：（黑龙江省中考题）为了迎接2002年的世界杯足球赛，某足球协会举办了一次足球赛，其记分规则和奖励方案如下：

当比赛进行到第12（1）请通过计算，判断A 队胜、平、负各几场？

（2）若每赛一场，每个参赛队员得出场费500元，设A 队其中一名参赛队员所得的奖金和出场费的和为W （元），试求W 的最大值.

解析：（1）设A 队胜x 场，平y 场，负z 场，则有 {

12319.x y z x y ++=+=，

解得：{

19327.y x z x =-=-，

由题意可知

0x ≥，0y ≥，0z ≥，且x 、y 、z 均为整数，

∴19302700.

x x x -??-???≥，≥，≥ 解得：11

3623

x ≤≤，∴ x ＝4，5，6.

∴A 队胜4场，平7场，负1场；或胜5场，平4场，负3场；或胜6场，平1场，负5场. （2）(1500500)(700500)50060019300W x y z x =++++=-+ 观察代数式60019300x -+，发现x 越小，W 越大.

∴当4x =时，max 16900W =元.

点评：题中有两个明显的相等关系，可以列出两个方程，但问题中迫切需要求出三个未知量，利用题中隐含的不等关系“三个未知量都是非负整数”建立不等式组，确定未知量的取值范围.这实际上也是利用不等式求不定方程组的整数解的一种重要方法.

二、不等式与商品定价

在商品销售问题中往往牵涉到价格、商品数目“至多”“至少”“盈利”等词语，将这些词语转化为不等符号，即可建立不等式，解决实际问题.

例2：商业大厦购进某种商品1000件，销售价定为购进价的125%.现计划节日期间按原定销售价让利10%，售出至多100件商品，而在销售淡季按原定销售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后盈利，在节日和淡季外要按原定价销售至少多少件商品？

解析：设购进价为a 元，按原定价销售x 件，节日让利销售y 件，则淡季销售（1000x y --）件.依题意有：

125%125%(110%)125%60%(100)1000ax ay a x y a +-+?-->即432000x y +>， ∵100y ≤，

∴4200031700x y >-≥， 又x 是整数，∴425x ≥.

所以，在节日和淡季外要按原定价销售至少435件商品才能盈利.

点评：充分利用“盈利”这一不等关系，盈利即销售金额大于成本.题目中并没有包含x 、y 的等量关系，但利用100y ≤和不等式的传递性建立关于x 的不等式，从而求出x 的取值范围.

三、不等式与决策方案

现实生活中职能部门政策的制定，公司生产方案的决策等都蕴含着大量的数学知识，不等式在其中时常会有所体现.

例3：某市政府为了进一步改善投资环境和居民生活环境，并吸引更多的人来观光旅游，决定对古运河城区段实施二期开发工程，现需要A 、B 两种花砖50万块，全部由某砖瓦厂完成此项生产任务.该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克.已知生产1万块A 砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1.5万千克，造价1.2万元；生产1万块B 砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元.

（1）利用现有的原料，该厂是否能按要求完成任务？若能，按A 、B 两种花砖生产的块数，有哪几种生产方案？请你设计出来.（以1万块为一个单位且取整数）

（2）试分析你设计的哪种方案总造价最低？最低造价是多少？ 解析：（1）设应生产A 种花砖x 万块，则应生产B 种花砖（50x -）万块.

依题意得{

4.52(50)1801.55(50)14

5.x x x x +-+- ≤

，①≤②

由①、②可得3032x ≤≤.

∵ x 是整数，∴ x =30，31，32；对应的50x -=20，19，18. 所以有以下三种方案可供选择：

方案一：生产A 种花砖30万块，B 种花砖20块； 方案二：生产A 种花砖31万块，B 种花砖19块； 方案三：生产A 种花砖32万块，B 种花砖18块. （2）三种方案的造价分别为：

方案一：30 1.220 1.872?+?=（万元）； 方案二：31 1.219 1.871.4?+?=（万元）； 方案三：32 1.218 1.870.8?+?=（万元）.

显然，方案三造价最低，最低造价为70.8万元.

点评：利用“所需原料不能超过现有原科”这一隐含的不等关系建立不等式，求出未知量的取值范围，得到可行方案.

好题妙解】

佳题好题品味

例：某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一辆，且余30个座位.

（1）求该校参加春游的人数；

（2）已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车的租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租一辆，所用租金比单独租用一种客车要节省，按照这种方案需租金多少元？

解析：设参加春游的有x 人.

依题意得30

14560

x x +=+.

解得x =270（人）.

（2）单独租用45座客车时需车6辆，所需租金为1500元；单独租用60座客车时需车5辆，所需租金也为1500元.

设租用45座客车y 辆，则租用60座客车y +1辆， 依题意得250300(1)1500y y ++<.

解之得24

11

y <，（y 是正整数），

∴ 1y =，或2y =.

当1y =时，451602165270?+?=<（不合题意，舍去）； 当2y =时，452603270?+?=符合题意.

选择这种方案需要租金：225033001400?+?=（元）.

点评：利用“所用租金比单独租用一种客车要节省”这一隐含的限制条件来构建不等式，求出未知量的取值范围，得到符合题意的方案.

中考真题欣赏

例：（2003年哈尔滨市中考题）建网校就等于建一所学校，哈尔滨市慧明中学为了加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机机房和一个高级计算机机房，每个计算机房只配一台教师用机，若干台学生用机，其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元.已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万，也不超过21万，则该学校拟建的初级机房、高级机房各有多少台计算机？

解析：设初级机房有x 台计算机，高级机房有y 台计算机.

根据题意有80003500(1)115007000(1)20000080003500(1)210000200000115007000(1)210000.x y x y +-=+-??+- ?+- ??，①

≤≤，

②≤≤③

由①得2x y =，

由②得65

555877x ≤≤，

由③得135

27291414

y ≤≤，

∵ x 、y 是正整数，

∴ 28y =，56x =；29y =，58x =.

答：初级机房有56台计算机，高级机房有28台计算机；或初级机房有58台计算机，高级机房有29台计算机.

点评：先将两个机房所需的总钱数用代数式表示出来，再利用不等关系“不少于20万，也不超过21万”建立不等式，利用相等关系“两机房购买计算机的总钱数相同”建立方程.

竞赛样题展示

例：（江苏省竞赛试题）货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10t ，每只箱子的重量不超过1t ，为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3t 的汽车？

解析：设共需n 辆汽车，它们运走的重量依次为1a ，2a ，…，n a .则

23i a ≤≤（i =1，2，…，n ）

，1210n a a a +++=…， ∴ 12222333n n n a a a +++++++++个

个

…≤…≤…，

即2103n n ≤≤，解得

10

53

n ≤≤. ∵车子数n 应为整数，∴n ＝4或5，但4辆车子不够．例如有13只箱子，每只重量为1310t ，而3×30

10＜3，4×13

10

＞3，即每辆车子只能运走3只箱子，4辆车子只能运走12只箱子，还剩一只箱子，故需5辆汽车．

点评：每只箱子不超过1t ，意味着每辆车的载重量大于或等于2t 且小于等于3t ．利用“总重量等于各车的实际载重量之和”，建立关于车辆数n 的|不等式，使问题得以解决．

过关检测】

A 级

1．(2001年河北省中考题)在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个正确答案，要求学生把正确答案写出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分．如果某学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对了 道题．

2．一种含药率为15%的灭虫药粉30k g ，现要用含药率较高的同种灭虫药粉50k g 和它混合，使混合后的含药率大于20%，而小于35%，则所用药粉的含药率x 的范围是( )

A ．15%＜x ＜25%

B ．15%＜x ＜35%

C ．23%＜x ＜47%

D ．23%＜x ＜50%

3．(南京市中考题)一个长方形足球场的长为xm ，宽为70m ．如果它的周长大于350m ，面积小于7560m 2，求x 的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．(注：国际足球比赛的足球场的长在100m 到110m 之间，宽在64m 到75m 之间)

4．在双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游玩，船只租赁情况如下表：

怎样设计租船方案才能使所支出的租金最少？(严禁超载)

5．(浙江宁波市中考题)为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从2001年1月起进行居民“峰谷”用电试点，每天8︰00到22︰00用电的电价为0.56元/千瓦时(“峰电”价)，22︰00至次日8︰00用电的价为0.28元/千瓦时(“谷电”价)，而目前不使用“峰谷”电的居民用电的电价为0.53元/千瓦时．

(1)一居民家庭在某月使用“峰谷”电后，付电费95.2元，经测算比不使用“峰谷”电节约10.8元．问该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？

(2)“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时，使用“峰谷”电合算？(精确到1%)

6．现在计划把甲种货物1240t和乙种货物880t用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车车厢共40节，使用A型车厢每节费用6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．

(1)设运送货物的总运费为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x的函数关系式(即用含x 的代数式表示y)；

(2)如果每节A型车厢最多可以装甲种货物35t和乙种货物15t，每节B型车厢最多可以装甲种货物25t 和乙种货物35t，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种安排方案？

(3)在上述方案中哪个方案运费最少？最少运费为多少？

B 级

1．(第14届江苏省赛题)小林拟将1，2，…，n 这n 个数输入电脑求平均数，当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了n －1个数，平均数为35

7

5

，假设这n －1个数输入无误，则漏输入的一个数为( ) A ．10 B ．53 C ．56 D ．67

2．(1999年全国初中赛题)江堤边一洼地发生管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40min 可抽完；如果用4台抽水机抽水，16min 可以抽完．如果要在10min 内抽完水，那么至少需要抽水机 台．

3．(北京市赛题)今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g 、60g 、47g ，现要配制7%的盐水100g ，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？

4．有一片牧场，草每天都在均匀生长(即每天草增长的量都相等)，如果每天放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天可以吃完牧草．设每头牛每天的吃草量相等，问：

(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远都吃不完，至多放牧多少头牛？

5．据有关部门统计：20世纪初全世界共有哺乳类和鸟类动物约13000种，由于环境等因素影响，到20世纪末这两类动物种数共灭绝1.9%，其中哺乳类灭绝约3.0%，鸟类灭绝约1.5%．

(1)问20世纪初期哺乳类和鸟类动物各有多少种？

(2)现在人们越来越意识到保护动物就是保护自己，到本世纪末，如果要把哺乳类和鸟类动物的灭绝种数控制在0.9%以内，其中哺乳类动物的灭绝种数与鸟类动物的灭绝种数之比约为6︰7，为实现这个目标，鸟类灭绝不能超过多少种？

6．六人共订六种报纸，其中每人至少订一种报纸．已知前五人分别订了2、2、4、3、5种报纸，而前五种报纸分别有1、4、2、2、2人订，问第六个人订几种报纸？第六种报纸有几人订？

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