点到直线的距离公式
教学设计：点到直线的距离公式
一、教材分析
点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之一，它是解决点与直线、直线与直线位置关系的基础，也是研究直线与圆、圆与圆的位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线做准备。教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法；逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法来解决数学问题；充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。
二、学情分析
我上课的班级是淮北一中的实验班，从总体上看，本班学生的数学基础比较好，平时肯思考问题，钻研精神强，有较好的自主学习和探究学习能力，同时，学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式，具备了探讨新问题的一定的基础知识。但学生大容量的自主探究，对课堂教学过程的控制带来一定的难度。
三、教学目标
(1)经历点到直线的距离公式探索过程，抽象出求点到直线距离的步骤；理解用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法；
(2)会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离。
(3)通过自主探究、合作交流等方式，培养学生勇于探索、自主探究和发散思维能力和合作互助的团队精神。
（4）通过解题方法的多样性，展现数学思维的灵活性和开阔性，使学生体会解析几何的魅力。
四、教学重点
点到直线的距离公式的探究过程及公式的简单应用。
五、教学难点
点到直线的距离公式的探究。
六、教学方法
以“学生为主体，教师为主导，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想为指导，采用“问题探究”的教学方法。通过创设问题情景，引导学生在自主探究与合作交流中构建新知识。
课堂实录：
师：同学们！我们知道，数学像文学作品一样，来源于生活，高于生活，并指导生活。那么，在你的生活中，听说过以下问题吗？它们又是怎样的数学问题？
（多媒体演示）
如图，在铁路的附近，有一座仓库，现要修建一条公路使之
连接起来，那么怎样设计能使公路最短? 最短路程又是多少?
生1：我们可以从仓库向铁路做垂线，沿垂线段铺设公路可使
其最短。
师：很好！将来你肯定是一个合格的工程师。再来看下一个：
（多媒体演示）
报道：9月15号13号台风“珊珊”从太平洋出发以近
直线型路线运动，如图，台风波及区域约直径100海里，
请预测台北人民是否需要做台风来临前的相关工作？
（左图，黑色线代表台风路线，右上角紫色区域代表台北市）
（设计意图：苏联著名数学家A.R辛钦说过；“我想尽力做到引进新概念、新理论时，学生先有准备，能尽可能地看到这些新概念、新理论的引进是很自然的，甚至是不可避免的。我认为只有利用这种方法，在学生方面才能非形式化地理解并掌握所学到的东西”因此，通过实际问题，创设情境，呼应数学来源于生活，激发学生学习的兴趣和探讨问题的欲望。）
生2：如果可以把台北市看作一个点，那么，需要计算台北市到台风路线所在直线的距离，比较这个值和50海里的大小，若该值较大，则台北人民可以高枕无忧，否则，需做准备工作。
师：回答的很好！以上两个生活情景和怎样的数学问题有关？
生齐答：点到直线的距离。
师：什么是点到直线的距离，你能给它下个定义吗？
（设计意图：从感性认识上升到理性认识，用数学语言表述需准确、精炼、具有高度概括性。此处，为了训练学生的表达能力而设计，同时为用定义法求点到直线的距离埋下伏笔。）
生3：经过点做已知直线的垂线，垂线的长即点到直线的距离。
生4：不对。怎能是垂线的长，应该是垂线段的长。
师：学生4订正的很好！“垂线段的长”再具体些是不是“点和垂足间的距离”？（多媒体演示）
点到直线的距离：经过点做已知直线的垂线，点和垂足之间的距离。
师：明确了点到直线的距离的概念后，我们回头看看台风问题：
(多媒体演示)
若在某给定的坐标系下，在一定的比例尺下，台风的路线所在的直线方
+-=
y
10
程为 台北市所在点的坐标为（3，4），此时台风波及区域的
直径为10，你
能解决上述问题吗？
（思考，片刻）
（设计意图：呼应数学高于生活，增强学生的建模意识，能抽象出数学模型，为解决问题做准备工作） 生5：这个问题相当于已知点P （3，4），直线的方程为 求点P 到直线L 的距离. 我们可以先利用点斜式求直线L 的垂线L ’的方程，然后，直线方程和垂线的方程联立，可解出垂足坐标，再利用两点间距离公式即可求出点到直线的距离。
（学生5表述时，师在黑板上画出点和直线）
师：回答的好极了！学生5不仅抽象出了数学模型，而且给出了解题方法。（屏幕显示：已知点P （3，4），直线的方程为 求点P 到直L 的距离？）他的方法，实质上是把定义演绎了一遍。你们看“点到直线的距离”的定义，不正是这样叙述的吗？下面让我们共同来看看用定义的方法解题的步骤。
（数学概念是学生能顺利分析问题、转化问题的必要条件，用上述方法求解点到直线的距离，思路最自然的原因，就是学生对其概念已经认知）
（多媒体演示）
10y +-
=10
y +-=
H
（设计意图：新教材引入算法的目的——让程序化思想成为我们思考问题的习惯。此环节是为了训练学生有条理的分析问题，渗透算法思想）
师：学生5已经率先找到解决问题的方法了。你也是这样想的吗？你还有其它方法吗？师在黑板左侧板书：求点到直线的距离的方法（1）利用定义；）
（设计意图：对于不同的学生，他们有不同的认知结构，即使在相同的外部刺激下都会有不同的同化和顺应，因而，要相信会有不同的解题方法，否则需改变或增加外部刺激。）（关于“同化和顺应”见后注）（预案1）
（很多学生举起了手）
生6：老师，我有一个新方法：过点P 分别作X 轴，Y 轴的平行线，交直线L 于A ，B 两点，再过点P 作L 的垂线，垂足为H 。根据点的P
坐标和直线L 的方程可求点A 的坐标，从而∣PA ∣易求，∣
PB ∣ 易求，通过两点间距离公式可求∣AB ∣。然后利用Rt PBA V 的面积即可表示为12
PA PB ，也可表示为12
AB PH ，则可求点P 到直线L 的距离∣PH ∣。 （师边听边按照学生6的叙述作图。如图 并板书：（2）构造PAB Rt ，利用面积相等，即12PA PB =12
AB PH ） P
O
师：学生6另辟蹊径，打开了构造之门。你们看，他构造了一个Rt PBA V ，而我们所需求的线段恰好转化为△PAB 斜边上的高。很好！从无三角形到有三角形——“无中生有”有创意！
（设计意图：及时总结，升华。也许学生意识不到自己正在构造，创新，老师的点拨可以使他们意识到自己的行为，从而，实现正迁移，进而解决其它问题。） （掌声响起）
生7：不用面积关系，用△PAH 和△BAP 相似 可知
PH PA PB AB = 即可求出∣PH ∣。 （生齐答：对！）
（师板书：（3）通过三角形△PAH 和△BAP 相似 PH PA PB AB
=） 生8：（面带犹豫）我想，学生6作两条平行线构造出直角△PAB ，如果只作一条平行线比如说PB 也可构造出直角三角形，在直角三角形PBH 中应该也能求出∣PH ∣，但我还没有想出该怎样求？
（师擦去直线PA ，如图）
师：（坚定）学生8有较强的简化意识，这可是数学家应
具有的品质，但他遇到了困难，我们能帮帮他吗？
（发现有横在面前的难题，大家都积极思考。片刻）
（设计意图：数学追求过程的简洁，结果的简洁。鼓励学生不断地改进方法，策略，可促使学生思维深刻。同时发挥学生的主动性,通过让学生自主探索,培养学生研究问题及解决问题的能力.）
生9：(边站起，边大声高兴地叫道)我解决这个问题了！
师:(笑)恭喜你！那快把你的方案说给我们听听。
生9：首先，作为斜边的∣PB ∣易求，欲求∣PH ∣可考虑边边关系
PH =但∣BH ∣不好求，所以排除从边边关系入手的方案。现考虑边角关系，已知一边还需一个角，我们知道直线有倾斜角，于是我想△PBH 中哪个角和倾斜角θ有关？果然，我发现∠P 和直线的倾斜角θ互补！ 只要在图中延长PB 便知。 现在∣PH ∣=∣PB ∣COS （πθ-），因而，只需求｜COS θ∣即可。因为tan (0)A B B θ=-≠， 所以COS θ==。这样，问题就解决了。
（热烈的掌声响起。师生共同鼓掌）
师：真是太棒了！充分利用直线方程中的已知资源。仅通过直线方程的系数便把∣COS θ∣求出，进而解决问题。即简化了构造的图形，又减少了运算量，真是一箭双雕！妙！
（忍不住再次鼓掌）
（设计意图：及时鼓励是使学生保持较高的积极性，较强烈的参与性的重要手段）
生10：（突然小声地说）如果直线的倾斜角是锐角呢？
（冷不妨学生10提出这样的问题，大家稍愣了一下。马上
意识到有必要研究这个问题。片刻）
( 还是)生9：没问题！如果倾斜角是锐角，则∠P 和它相等！
如图
其他同学都如有所思地齐说：对，对。
师：这是我们探讨出的第四种方法，它利用了三角函数
的相关知识，既用形又用数，把数和形完美的结合起来！
简化了问题。
（板书：（4）构造三角形，利用三角函数，通过∣PH ∣=∣PB ∣∣COS θ∣） (设计意图:数形结合思想是中学数学重要的思想方法。老师应该适时地强调。)
生11：老师，我没有用形仅用数也可以求解！你看，如果在直线上任选一点M （x,y ）,则因为点M 在直线上，
所以1A C y x B B
=--=+，
则∣PM ∣，然后，求这个函数的最小值就行了。
师：噢！原来转化为函数求最小值的问题了。那函数的定义域是什么?
(设计意图:解数学应用题时，从中抽象出数学模型，如果是函数问题时，学生很易忽视定义域，即自变量的取值限制。因而，虽然此处函数的定义域是全体实数，所以仍作了强调。)
生11（愣了一下）：全体实数，因为被开方数是恒大于等于零的。
师（稍激动）：点到直线的距离，实质上是点到直线上所有点中距离最小的点所对应的值！学生11恰好利用了这个最小值的性质。好样的！
（板书：（5）构造函数，利用函数最小值）
（掌声又响起）
（设计意图：数学的抽象性可通过函数窥见一斑，能把定点和垂足间的距离与定点和直线上其它点的距离联系起来，可见学生的思维开始深刻起来。老师应该及时地诠释给其他同学听并给与生11鼓励和肯定。）
生12：我受学生11的启发，又有一种方法：因为给一个距离所在的值就会有直线上的两个点和这个值相对应，当且仅当这个值是最小的时候仅有一个点和其
对应。所以可以利用这种唯一性解题。令∣PM ∣
则d 2
=222(3)5)4(634x x x -+-=-++
即224(6340x x d -++-=
然后利用该方程的判别式△=0即可求解d 值。
师（很激动）：太棒了！把函数问题转化为方程问题。在全体实数上的二次方程有两等根即一解时，正好是它的判别式为零时。学生12在学生11的方法的基础上，再接再厉，进行了更深层次的思考，展示了函数和方程之间的联系。学生12向我们展示了数学思维的深刻性。他的继续探求的行为和习惯值得我们学习。他的探究能力也让我们佩服！
（板书：（6）构造方程，利用方程的判别式为零）
（热烈的掌声响起）
（设计意图：教师应该抓住一切适当的机会对
学生进行学习习惯的培养，良好品质的培养，同
时，通过对学生的表扬，调动其他学生的主动性
和积极性。）
生13：我还有一种方法，和前面的都不一样！我使用了向量的相关知识。我们知道，向量的数量积的几何意义：如图，cos b e b θ=r r r g =d （θ为,b e u r r 的夹角） 因而，欲求点到直线的距离，只需在直线上任选一点M ，得到PM u u u u r ， 再选取直线的法向量n r ，利用PM u u u u r 在n r 上的投影的绝对值，即 ,PM n PM n d PM COS PM n PM PM n n
===u u u u u r r u u u u u r r g g u u u u r u u u u r r u u u u r u u u u r r r 便可求解 （又响起一阵热烈的掌声）
师：（很激动）我发现咱们班藏龙卧虎啊！比较前面的各种方法，此种方法最抽象，但计算最简单。好，我们就按照学生13的方法去求点P （x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0（A ≠0 且B ≠0）的距离。我请一位同学在黑板上展示推导过程。其它同学自己动手也来推导一下。
（预案2 ）
（设计意图：数学具有很强的逻辑性，动脑动手必须相结合。在黑板上一步一步展示知识产生的过程是必要的。同时，也给学生留有思考理解的空间。）
（板书：（7）构造向量，利用向量）
（学生板书：首先，在直线上任取一点，不妨取直线和Y 轴的交点M （0,C B
-
）则(00,())C PM x y B =--u u u u r ， 又直线的法向量n r （1，B A ） ∴,PM n PM n d PM COS PM n PM PM n n ===u u u u u r r u u u u u r r g g u u u u r u u u u r r u u u u r u u u u r r r
00()B C x y ++
师：我们得到一个具有一般性的结论。但由于推导公式的过程中A ≠0 且B
≠0，那么，如果，A=0或B=0时，我们推导出的公式还能用吗？
（设计意图：对于一般性的结论，我们总是希望它的适用范围越广越好。这也正是数学高度概括性的体现。同时，对A=0或B=0情况的补充体现了数学思维的严密性。）
生14：我们可以来验证一下。如果A=0，则直线方程为y=x B
C -
,点P （x 0,y 0）到直线y=x B C -的距离d=︱y 0x B C +︱;如代入公式也得到d=︱y 0x B C +︱。所以当A=0时公式适用；同理，当B=0时，公式仍然适用。
师：回答得非常正确！到此，我们使用学生12的方法推导出
的公式，学生14对其进行了完善。好，现在，让我们来观察这个千呼万唤使出来的公式，它有什么特点？
（设计意图：把知识进行必要的形式化是必不可少的，使知识便与存储记忆。但要适可而止。因为，过度的形式化会加重学生的负担。）
生15：公式的分子是点P 的坐标代入直线方程左侧的绝对值；分母是直线方程中x,y前的系数的平方和的算术根。
师：好，现在让我们来享受一下我们的劳动成果。大家动手来解决台风问题，看谁最先告诉台北人民答案，台北人民快等急了。
（设计意图：用探讨出来的知识解决问题，呼应数学指导生活，感受数学的作用）
（片刻）
生16：我计算出台北市到台风路线所在直线的距离约为4，台风波及区域的半径为5，因而台北人民需要做台风来临前的准备工作！
师：回答正确！我替台北人民谢谢你。请同学们完成以下练习，一二两组同学做前三题，三四两组做后三题，赛赛看，看哪一组计算得又快又准确。
（设计意图：通过适当的练习及时巩固新知识，深化对知识的理解。分组比赛可使课堂效果活跃。）
（多媒体显示）
例：求下列点到直线的距离
P（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离。
P（2，-3）到直线x+2y+4= 0的距离。
P（-1，1）到直线3x= 2的距离。
P（-2，3）到3x+4y+3=0的距离。
P（3，3）到5x+12y+1=0的距离。
P（-2，3）到2x+y-10=0的距离。
（师巡视）
每个小组选一名代表报答案。
（设计意图：及时点评，修正。便于发现问题，解决问题）
（预案3）
师：现在哪位同学来总结一下我们本节课的内容？
生17：本节课，我们明确了点到直线的距离的定义，重点探讨了点到直线的距离的求解方法，共7种方法。并用向量法推导出点到直线的距离公式。
师：你的总结具有高度概括性，简明扼要。我想，关于7种方法，大家可以再回忆一下，有和平面几何有关的，有和函数有关的，有和三角函数有关的，有和向量有关的，有和方程有关的。这一个简单的问题能把这么多知识联系在一起，这恰好体现了解析几何学的魅力。用代数的方法研究几何，把数和形联系起来，从而使我们的思维豁然开朗。同学们的各抒己见正是数学思维的开阔性，多角度，多方位性的展现。数学美，作为四大美学之一，美在数学带给人们的思维艺术。这节课，同学们的共同努力淋漓尽致地演绎了数学体现在思维艺术上的美。另外，也许你只能想出一种或两种解决问题的方法，但我们相互交流，共同探讨，却找到这么多种方法，这充分体现交流的益处——取他人之长，补自己之短。开拓视野，点燃思维碰撞的火花。本节课我们就学习到这儿，下面是我们的作业和大家需提前思考的问题。下课！
（多媒体显示）
一．复习巩固
求下列点到直线的距离
P（-1，2）到直线2x+y—10=0的距离
P（2，-3）到直线x+2y+4= 0的距离
P（-1，1）到直线3x= 2的距离
二．动手动脑挑战自我
(1)求平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。
(2)两平行直线分别过A(1,0)与B(0,5).如两直线的距离为5,求两直线的方程.
（3）求过（3，1）的直线中，与原点距离最远的直线方程．
（4）解析法证明:等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离差等于一腰的高。
(5)已知点P(a.0)到直线３x+4y-6=0的距离大于３，求实数a的取值范围．
（6)求两直线x+y-2=0,7x-y+4=0所形成的角平分线的方程．
（设计意图：作业起到巩固作用；第二题是下节课需探讨的问题，提前给出是想给学生充分的时间思考）
注：同化是指把外部环境中的有关信息吸收进来并结合到已有的认知结构中，即个体把外界刺激所提供的信息整合到自己原有认知结构内的过程；顺应是指外部环境发生变化，而原有认知结构无法同化新环境提供的信息时所引起的认知结构发生重组与改造的过程，即个体的认知结构因外部刺激的影响而发生改变的过程。
预案1：
如果学生想不到作平行线，则师可提供左图：
如果点在原点，直线如图所示，你可以怎样求点到直
线的距离？（这个图，可以启发学生去构造三角形，
或者启发学生去平移点和直线。）
预案2：
如果学生联想不到向量，便带领学生用三角函数∣PH ∣=∣PB ∣｜COS θ∣推导公式。
预案3：
如果时间充裕，可把以下铺路问题作为例题补充，也可第二节课在做讲解。
如果仓库和铁路之间存在图中数据关系，请你求
出仓库到铁路的公路长。（单位：千米）
解:如图,建立坐标系,设仓库所在位置为点P,铁路所
在直线为
则易知P(0,12),
直线经过点(10,0)和(15,12)
直线方程为12x-5y-120=0
根据点到直线的距离公式得
18013d ==
10 12
１０（此例是为了让学生用熟悉解析的方法解决问题的步骤）
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)．
学生可能寻求到下面三种解法： 方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，
空间点到直线的距离公式
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
点到直线的距离公式应用
点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--= =+ 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= -- 即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|5112 h -+-==+， 因此，15225 22S ABC =??= 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 22|243010|21313 23 d ?+?-==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法(转载) 很有用哦 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 22222 000000 2222 222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++= 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01Ax C y b +=- x
点到直线的距离公式
课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A
《点到直线的距离公式》教案(公开课)
《点到直线的距离公式》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)． 学生可能寻求到下面三种解法：
方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|， 比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？ 思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)． 思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．
点到直线地距离公式
§7 向量应用举例 7．1 点到直线的距离公式 7．2 向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .
点到直线的距离公式
教学设计：点到直线的距离公式 一、教材分析 点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之一，它是解决点与直线、直线与直线位置关系的基础，也是研究直线与圆、圆与圆的位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线做准备。教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法；逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法来解决数学问题；充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。 二、学情分析 我上课的班级是淮北一中的实验班，从总体上看，本班学生的数学基础比较好，平时肯思考问题，钻研精神强，有较好的自主学习和探究学习能力，同时，学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式，具备了探讨新问题的一定的基础知识。但学生大容量的自主探究，对课堂教学过程的控制带来一定的难度。 三、教学目标 (1)经历点到直线的距离公式探索过程，抽象出求点到直线距离的步骤；理解用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法； (2)会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离。 (3)通过自主探究、合作交流等方式，培养学生勇于探索、自主探究和发散思维能力和合作互助的团队精神。 （4）通过解题方法的多样性，展现数学思维的灵活性和开阔性，使学生体会解析几何的魅力。 四、教学重点 点到直线的距离公式的探究过程及公式的简单应用。 五、教学难点 点到直线的距离公式的探究。 六、教学方法 以“学生为主体，教师为主导，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想为指导，采用“问题探究”的教学方法。通过创设问题情景，引导学生在自主探究与合作交流中构建新知识。 课堂实录： 师：同学们！我们知道，数学像文学作品一样，来源于生活，高于生活，并指导生活。那么，在你的生活中，听说过以下问题吗？它们又是怎样的数学问题？ （多媒体演示） 如图，在铁路的附近，有一座仓库，现要修建一条公路使之 连接起来，那么怎样设计能使公路最短? 最短路程又是多少? 生1：我们可以从仓库向铁路做垂线，沿垂线段铺设公路可使 其最短。 师：很好！将来你肯定是一个合格的工程师。再来看下一个： （多媒体演示） 报道：9月15号13号台风“珊珊”从太平洋出发以近 直线型路线运动，如图，台风波及区域约直径100海里，请 预测台北人民是否需要做台风来临前的相关工作？
点到直线的距离公式
§7向量应用举例 7．1点到直线的距离公式 7．2向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb ?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .
点到直线的距离公式
点与直线 直线方程 一. 教学容： 点到直线的距离； 点关于点、关于直线的对称点； 直线关于点、关于直线的对称直线； 直线方程复习； 二. 知识点： 1. 点到直线距离公式及证明 d Ax By C A B = +++|| 0022 关于证明： 根据点斜式，直线PQ 的方程为（不妨设A ≠0） y y B A x x -= -00(), 即，Bx Ay Bx Ay -=-00 解方程组 Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=-=-?? ? 00， 得，x B x ABy AC A B =--+20022 这就是点Q 的横坐标，又可得 x x B x ABy AC A x B x A B -= ----+02002020 22 =- +++A Ax By C A B () 0022 ， y y B A x x B Ax By C A B -=-=-+++000022 ()()， 所以， d x x y y Ax By C A B =-+-= +++()()()0202 00222
= +++|| Ax By C A B 0022 。 这就推导得到点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式。 如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。 下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。 设点Q 的坐标为（x 1，y 1），则 Ax By C y y x x B A A 11101000++=--=??? ??, ()≠， 把方程组作变形， A x x B y y Ax By C B x x A y y ()()()()()10100010100-+-=-++---=?? ? ，①② 把①，②两边分别平方后相加，得 ()()()()A B x x B A y y 2210222102+-++- =++()Ax By C 002 ， 所以， ()()()x x y y Ax By C A B 102 102 00222 -+-=+++， 所以， d x x y y =-+-()()102102 = +++|| Ax By C A B 0022 此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下： 设，、，是直线上的任意两点，则P x y P x y l 111222()() Ax By C Ax By C 112 200++=++=?? ?③④ 把③、④两式左右两边分别相减，得 A x x B y y ()()12120-+-=， 由向量的数量积的知识，知
点到直线的距离公式的推导过程及其应用
点到直线的距离公式的推导过程 一、公式的导出 设点0:),(000=++C By Ax l y x P 为已知直线外一点，如何求它到该直线的距离？ 解：设过点的到点，垂足为垂直的直线为且与已知直线l P y x D l l P 0/0),,( .0D P d d =，则距离为 2 02022000220002 200222002000000/)()() ()(;00, 0), (; ,0/y y x x d B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x B A BC ABx y A y B A AC ABy x B x Bx Ay Ay Bx C By Ax Bx Ay Ay Bx x x A B y y A B k l l B A k C By Ax l l -+-= ∴+++-=-+++-=-∴+--=+--=???=-+-=++=-+--=-=⊥- =?=++， ，，得：，，由即，代入点斜式，得：，所以，又因为由
. )()()(22002 22 002 220022200B A C By Ax B A C By Ax B A C By Ax B B A C By Ax A +++=+++= ?? ? ???+++-+??????+++-= 即，直线外一已知点0P 到已知直线l 的距离公式为： .2 2 00B A C By Ax d +++= 二、公式的应用 （一）求点到直线的距离： 例1、）到下列直线的距离：，（求点21-P ⑴ 0543=+-y x ； ⑵ 53=x ； ⑶ .1-=y 分析：应用点到直线的距离公式时应该把直线方程化为一般式． 解 ⑴式，得根据点到直线的距离公 ： .5 6 )4(35 24)1(32 2=-++?--?= d ⑵，得：将直线方程化为一般式 .053=-x 式，得根据点到直线的距离公： .3 8 035 20)1(32 2=+-?+-?= d ⑶，得：将直线方程化为一般式 .01=+y 式，得根据点到直线的距离公： .31 01 21)1(02 2 =++?+-?= d 评析：当已知直线与x(或y)轴平行时，用几何意义来解会更简洁．
点到直线的距离公式教学设计
教学设计:点到直线的距离公式 一、教学分析: 1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》 第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。 2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些 简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要 二、教学目标：（依据教纲和本节教材的特点确定） （1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。 B：掌握点到直线的距离公式。 （2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数 形结合能力。 （3）情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生 的学习积极性。 三、教学重点：点到直线的距离公式。 四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。 五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外 显行为化。
六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则） 1、教师必须抛弃过去的那种单纯的教师讲授，学生接受的教学模 式，在教学中启发引导，迁移联想，构建模型。由于本节内容为第一章最后一节内容，学生对点、线、线线关系均有了一个较为明确的认识。因此改变传统的求证方法，以引导思路为主，让学生边探索，边发现，最后证明距离公式。 2、多媒体教学，使整个课上得生动、有趣、高效。 3、使用教具，多媒体课件及投影仪。 六、学习方法分析： 充分地调动学生的学习积极性，增加学生的参与机会，让学生“动手、动脑”，因此在教学中，引导学生“动手做，大胆猜，严格证，勤钻研”的学习方法，让学生“学”有所“思”，“思” 有所“得”，最终达到学生会学的目的。 七、教学程序： 1、复习提问： ①平面内点与直线的位置关系有几种？ ②点到直线的距离的定义 演示（设计意图：通过简明的情景设置为本节作好 知识的铺垫与图形准备） 2、演示启发： 由复习可知，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长，那么怎样用解析法求点到直线的距离呢？
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法 湖南省 黄爱民 赵长春 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A ' l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2 2 000022 22 ( , )B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 2 2 2 2 2 0000002 2 2 2 2 2 2 2 00002 2 2 22 2 2 2 2 0000002 22 2 2 22 2 ||( )( ) ()( ) () () () () () B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++= + = ++ +|PQ ∴= 二、 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 2 2 2 2 002 2 2 2 2 2 2 2 00002 2 00002 2 0000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()] [()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ |B | B 0,Ax y C Ax y C ++++=∴ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是|| Ax By C d ++= 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M x x 3 图
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 2222 2 0000002222222200002222 22222000000222222 22||()()()() ()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx B C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=++ +|PQ ∴= 二、 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不等式：222222000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01A x y b +=- 00 0|||||| A x C A x B y C P M y B B +++∴=+ = x
点到直线的距离公式的七种推导方法.
点到直线的距离公式的七种推导方法 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 'l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2200002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 222 2 2 00000022222222 000022222222200000022222222 ||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx B C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴=二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不等式： 222222000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01A x y b +=- 00 0|||||| A x C A x B y C P M y B B +++∴=+ = x
空间点到直线的距离公式
平面点到直线距离 点(x0, y0)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B) 空间点到平面距离 点(x0, y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C) 空间点到直线距离 点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）： (x-x l)/m=(y-y l)/n=(z-z l)/p=t。(1) 式(1)的注释：点(x l, y l, z l)是直线上已知的一点，向量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。 空间直线的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法，请参考《高等数学》空间几何部分。 设点(x0, y0, z0)到直线L的垂点坐标为(x c, y c, z c)。因为垂点在直线上，所以有： (x c-x l)/m=(y c-y l)/n=(z c-z l)/p=t (2) 式(2)可变形为： x c=m*t+x l, y c=n*t+y l, z c=p*t+z l. (3) 且有垂线方向向量(x0-x c, y0-y c, z0-z c)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：
m*(x0-x c)+n*(y0-y c)+p*(z0-z c)=0 (4) 把式(3)代入式(4)，可消去未知数“x c, y c, z c”，得到t的表达式：t=[m*(x0-x l)+n*(y0-y l)+p*(z0-z l)]/(m*m+n*n+p*p) (5) 点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(x c, y c, z c)的距离： d=√[(x0-x c)^2+(y0-y c)^2+(z0-z c)^2] (6) 其中x c, y c, z c可以用式(3)和式(5)代入消去。