电路分析基础答案周围版第四章

电路分析基础答案周围版

4-2．5μF 电容的端电压如图示。

（1）绘出电流波形图。

（2）确定2μs t =和10μs t =时电容的储能。 解：（1）由电压波形图写出电容端电压的表达式：

10 0μs 1μs

10 1μs 3μs ()1040 3μs 4μs 0 4μs t t t u t t t t

≤≤??≤≤?

=?

-+≤≤??≤? 式中时间t 的单位为微秒；电压的单位为毫伏。电容伏安关系的微

分形式：

50 0μs 1μs 0 1μs 3μs

()()50 3μs 4μs 0 4μs t t du t i t C t dt t

<

<

上式中时间的单位为微秒；电压的单位为毫伏；电容的单位为微

法拉；电

流的单位为毫安。电容电流的波形如右图所示。

（2）电容的储能21

()()2

w t Cu t =，即电容储能与电容端电压的平方成正比。

当2μs t =时，电容端电压为10毫伏，故：

()()22631010μs 11

()5101010 2.510J 22

t w t Cu ---===????=?

当10μs t =时，电容的端电压为0，故当10μs t =时电容的储能为0。

4-3．定值电流4A 从t=0开始对2F 电容充电，问：（1）10秒后电容的储能是多少？100秒后电容的储能是多少？设电容初始电压为0。

解：电容端电压：()()()0011

0422t t

C C u t u i d d t C τττ++

+=+==??；

()1021020V C u =?=； ()1002100200V C u =?=

()()211010400J 2C w Cu =

=； ()()2

110010040000J 2

C w Cu ==

4-6．通过3mH 电感的电流波形如图示。（1）试求电感端电压()L u t ，并绘出波形图；（2）试求电感功率()L p t ，并绘出波形图；（3）试求电感储能()L w t ，并绘出波形图。

s)

μ

s)

μ

-μs)

-

解：（1）由电流波形图写出电流表达式：10 3 0μs 3μs ()1040 3μs 4μs 0 4μs t t i t t t t ≤≤??

=-+≤≤??≤?

式中时间t 的单位用微秒；电流的单位为毫安。依据电感伏安关系的微分形式：

10 0μs 3μs ()30 3μs 4μs 0 4μs L t di u t L t dt t

<

==-<

式中时间的单位为微秒；电压的单位为伏特。电感电压的波形如右上图示。 （2）电感功率：

0 0μs

3μs ()()()0

.31.2 3μs 4μs 0 4μs L t t p t u t i t t t t ≤≤??

==-≤≤??≤?

式中时间的单位为微秒；功率的单位为瓦特。功率的波形如右图所示。

（3）电感电流：

103 0μs 3μs ()1040 3μs 4μs

4μs t t i t t t t ≤≤??

=-+≤≤

??≤?

式中时间t 的单位用微秒；电流的单位为毫安。电感储能：

2222

503

0μs 3μs 13()()()24001200150 3μs 4μs 220 4μs L t t w t Li t i t t t t t

?≤≤

?===-+≤≤??≤?

式中时间t 的单位用微秒；电流的单位用毫安；电感的单位用毫亨；能量

的单位用纳焦耳（910-焦耳）。能量的波形如右图所示。

4-14．电路如左图所示。换路前电路处于稳态。0t =时电路换路，求换路后瞬间()0u +、()0i +。

解：换路前，电路处于稳态，故：()00L

L di u L

dt -==，电路简化为中图所示电路。依据分流公式有： ()20

052A 2030

i -=-

?=-+ 换路后电路简化为右图所示电路，依据换路定理：()()20

0052A 2030

i i +-==-

?=-+；()()010020V u i ++=-?=

4-15．电路如左图所示。换路前电路处于稳态。0t =时电路换路。 求换路后瞬间()10u +、()20u +、()20i +。设()200u -=。

解：换路前，电路处于稳态，故：()1010V u -=。

μs)

()

t ()

0-()

0+10Ω2μF

()

t

依据换路定理：()()110010V u u +-==，()()22000u u +-==， ()()()

1220010V 0

01A 1010u u i +++--=

=

=ΩΩ

4-19．电路如图所示，设开关K 在时间0t =时断开。开

关K 断开前一瞬间，电容端电压为6V 。试求：0t ≥时，流过3欧姆电阻的电流。

解：开关K 断开后，电路简化为右图。由图列写微分方

程：

0C C Ri u -=

非关联参考方向下，电容的伏安关系：C

C du i C

dt

=-，代入上式，整理后得： 1

0C C du u dt RC

+= 特征方程和特征根：10s RC +

=，1

s RC

=-。微分方程的通解： 1

t RC

C u Ae

-

=

依据换路定理：(0)(0)6V C C u u +-==，有：

10(0)(0)6V t RC

C C t u Ae

A u +

-

+-=====

故：

()113

66 (V)t t RC

C u t e

e

-

-==

电容电流：

132(A)t C

C du i C e dt

-=-=

4-23．题图4-23所示电路中，开关K 在t=0时闭合，闭合前开关处于断开状态为时已久，试求t ≥0的u L 和i L 。

解：t ≥0，有：4L R u u +=。其中：()()2.5 2.510R L R

L L u i i i u '=+=+， 代入后有：()2.5104L L L u i u ++=，整理得：1.25 2.54L L u i +=。将

0.2L L L di di

u L dt dt

==代入前式整理后有：

1016L

L di i dt

+= （1） 非齐次通解：()L Lh Lp i t i i =+。其中齐次通解为：/10t t Lh i Ae Ae τ--==；设

非齐次特解为：0Lp i I =，代回（1）式有：0 1.6I =，非齐次通解：()101.6t

L i t Ae

-=+。由换路定理确定待定常数A ：

()()1000 1.6 1.600t

L L t i Ae A i +

-+-==+=+==

由此有：

1.6A =-

故通解为：

题图4-23

H

4V i 3

Ω

3Ω

C

u

()()101.61, 0t L i t e t -=-≥

100.2

3.2, 0t L

L di u e t dt

-==≥ 4-26．电路如图所示，已知换路前电路处于稳态。求：换路后i(0+)和i(∞)。

（a ）()()()61300202222L L i i i A ++-===?=；()6

32

i A ∞== （b ）()()()0606600222

s C C u u u i +-+---====；()63

222i A ∞=

=+

（c ）()()006i i A +-==；()0i ∞= （d ）()0623c u V -==，()633044i A +-==；()6

1222

i A ∞==++

4-27．求图示各电路的时间常数。

（a ） 将电压源置0，有：()12

1212

//R R R R C C R R τ=?=

+；

（b ） 将电压源置0，有：()2//22L L

R R R R

τ==

+； 题图4-26（a ）

i

题图4-26（b ） 题图4-26（c ）

2

L

题图4-26（d ）

题图4-27（a ）

题图4-27（b ）

题图4-27（c ）

题图4-27（d ）

（c ） 将电流源置0，有：()12R R C τ=+?； （d ） 将电压源置0，有：()12R C C τ=?+。

4-28．已知t ≥0时，i(t)=10A ；u(0)=1V ； （1）用三要素法求u(t)。

（2）将u(t)分解为：零输入响应和零状态响应。 （3）将u(t)分解为：稳态响应和暂态响应。 （4）将u(t)分解为：强制响应和自由响应。

解：（1）(0)1u V +=；()21020u A V ∞=Ω?=；2510R C F s τ=?=Ω?=；

()()()[]1010

()020*******, 0t t t u t u u u e e e t τ---+=∞+-∞=+-=-≥????

； （2）将其分解为：零输入响应+零状态响应：

()()()()()1010

()001201, 0t t t t t u t u u u e u e u e e e t τττ-----++????=∞+-∞=+∞-=+-≥????????零输入响应

零输入响应

零状态响应

零状态响应

；

（3）将其分解为：稳态响应+暂态响应：10

()2019, 0t u t e

t -=-≥稳态

暂态

； （4）将其分解为：强制响应+自由响应：10

()2019, 0t u t e

t -=-≥强制

自由

。

4-53．电路如图所示，N R 为纯电阻网络，电路初始状态未知。 当()()

2cos S u t t U t =?，电感支路的电流为：

()13A, 04t L i t e t t π-??

=--≥ ???

（1）在同样初始条件下，设()0S u t =，求()L i t 。 （2）在同样初始条件下，电源均为零，求()L i t 。 解：（1）在同样初始条件下，设()0S u t =，求()L i t ： 全响应等于零输入响应加零状态响应。 令电源均为零，零输入响应：

()10, 0t

Lzi i t I e

t τ

-=≥ (1)

其中0

L

R τ=

，0R 为除源等效电阻，0I 为初始电感电流。 令电感初始状态为零()00L i +=，求零状态响应。用叠加定理，先令电压源()U t 单独作用，有

()11011, 0t Lzs i t e t R τ

-??=-≥ ???

(2)

再令电压源()()2cos S u t t U t =?单独作用，有

()1

2cos cos , 022t Lzs i t A e A t t τππ?ω?-???

?=--++-≥ ? ????

? (3)

题图4-28

(S u t

题图4-54（a ）

()

t 电压源()U t 和电压源()()2cos S u t t U t =?共同作用于电路的零状态响应为（2）、（3）两式叠加

()1

1011cos cos , 022t t Lzs i t e A e A t t R τ

τππ?ω?--??????=---++-≥ ? ? ???????

(4)

全响应为零输入响应与零状态响应之和，即式（1）和式（4）相加

()111001+1cos cos , 022t

t t L i t I e

e A e A t t R τ

τ

τππ?ω?---??????=---++-≥ ? ? ???????

()1

00011cos cos , 022t L i t I A e A t t R R τππ?ω?-?????

?=+---++-≥?? ? ????

???

(4)

与已知全响应对比

()13A, 04t L i

t e t t π-??

=--≥ ???

有

000111, cos 3, 1 224I A A R R πππ

?ω???=---=-==-=- ??

? 解得

0011, 1, 1, 4

I A R π

ω?==-=== (5) 将其代入（1）、（2）两式，得零输入响应和电压源()U t 单独作用下的零状态响应

()1

, 0t

Lzi i t e

t τ

-=-≥ (6) ()111, 0t

Lzs i t e

t τ

-=-≥ (7)

将（6）、（7）两式相加得电压源()U t 单独作用下的全响应

()1

112, 0t

Lzs i t e

t -=-≥ (8)

（2）在同样初始条件下，电源均为零，求()L i t ： 电源均为零的全响应就是零输入响应，即（6）式

()1, 0t

Lzi i t e

t -=-≥

4-54．电路如题图4-54（a ）所示，图中电压源电压波形如题图4-54（b ）所示，已知：i L (0-)=0,求：i(t)。 解：由电压源电压波形图有：

()()()()24122s u t U t U t U t =--+-

采用叠加定理求解。设()()12s u t U t =单独 作用于电路，依据三要素法：

()1

100.423s u i A +==Ω+Ω；

()10i ∞=；

()0512//36

L R s τ===

代入三要素公式有：()()()()()()1.2111100.4t t i t i i i e U t e U t τ

--+??=∞+-∞=????????

；

设()()241s u t U t =--单独作用于电路，有：()()()1.2120.81t i t e U t --=--； 设()()322s u t U t =-单独作用于电路，有：()()()1.2230.42t i t e U t --=-；

故：()()()()()()()()()1.21 1.221.21230.40.810.42t t t i t i t i t i t e U t e U t e U t -----=++=--+-。

4-55．电路如题图4-55（a ）所示，图中电流源电流波形如题图4-55（b ）所示，已知：i L (0-)=0,求：u(t)。 解：由电流源电流波形图有：

()()()()122s i t U t U t U t =+---

采用叠加定理求解。设()()1s i t U t =单独 作用于电路，依据三要素法：

()()110055s u i V ++=?Ω=； ()()110L u u ∞=∞=；

0551L R H s τ==Ω=

代入三要素公式有：()()()()()()111105t t u t u u u e U t e U t τ

--+??=∞+-∞=????????

设()()21s i t U t =-单独作用于电路，有：()()()1251t u t e U t --=-； 设()()322s i t U t =--单独作用于电路，有：()()()23102t u t e U t --=--； 故：()()()()()()()()()12123551102t t t u t u t u t u t e U t e U t e U t -----=++=+---。

题图4-55（a ）

()u t 题图

4-55（b ）