第四章矩阵练习题
矩阵习题
判断题
1. 对于任意n 阶矩阵A , B ，有|A B |A |B .
2. 如果A 2 0,则A 0.
3. 如果A A 2
E ，则A 为可逆矩阵.
4. 设代B 都是n 阶非零矩阵，且 AB 0，则A,B 的秩一个等于n ，—个小于n ?
5. A, B,C 为n 阶方阵，若AB AC,则B C.
6. A 为m n 矩阵，若r(A) s,则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,
7. n 阶矩阵A 可逆，则A*也可逆.
8. 设代B 为n 阶可逆矩阵，则(AB)* B* A* .
选择题
1. 设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵(B T B),则下列矩阵中为反对称
2
矩阵的是()(A) AB BA (B) AB BA (C) (AB) (D) BAB 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么()是对称矩阵。 (A) A A (B) A A T (C) A 2
(D)
AJ A
3?以下结论不正确的是(
)。
(A) 如果A 是上三角矩阵，则 A 2也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 A 2也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则 A 2也是反对称矩阵； (D)
如果A 是对角阵，则 A 2也是对角阵。
使PAQ
I s 0
0 0
4. A 是m k 矩阵,B 是k t 矩阵,若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确 的是（）
（A ） AB 的第j 列元素全等于零；
（B ） AB 的第j 列元素全等 7于零；
（C ） BA 的第j 列元素全等于零； （D ） BA 的第j 列元素全等于零；
6.下列命题正确的是（
对任意方阵A,B ，有（A B ）（A B ） A 2 B 2
阵，已知 Ax 0的基础解系为（1,0, 2,0）T ，则方程组A*x 0的基础解系为 ().
(
A )
1,2,3
.
(
B )
1 2 , 2 3 , 3 1
. (C )
2
, 3 ,
4
. ( D ) 1 2
,
2 3
,
3 4
,
4 1
.
(A)当 m n 时, 必有行列式 AB 0 ； (B)
当m n 时， 必有行列式
AB
(C)当 n m 时， 必有行列式
AB
0 ； (D) 当n m 时， 必有行列式 AB
m 矩
阵,
则
)
；
&以下结论正确的是（
)
7. A 是m n 矩阵，B 是n 5 ?设代B 为n 阶方阵, E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（
(A) (A B)2 A 2
2AB
B 2 (B) A 2 B 2 (A B)(A B)
2 2 2
(C) (AB) A B
(D)
A 2
E 2
(A E)(A E)
(A)若 AB AC ，则 B C (B) AB AC ，且 A 0 ,则 B
(C)若 AB AC ，且 A 0 ,则 B
(D)
若AB AC ，且 B 0,C
(A) 如果矩阵A 的行列式,
0,则 A 0；
(B) 如果矩阵A 满足A 2 0,则
(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的; (D)
4
是非零的四维列向量，A
4
), A* 为A 的伴随矩
10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件(
)时，I n A 必是可逆矩阵
(A) A 1
(B) A 0 (C) A
A T (D)
(A) 若A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出BA CA (B) 若A 是可逆矩阵，则必有 AB BA (C) 若A 0，则从AB AC 可推出B C (D)若B C ，则必有AB AC
13. 代B,C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若 ABC E ，则有() (A) ACB E (B ) BAC E (C ) BCA E (D) CBA E
14.
A 是n 阶方阵，A *是其伴随矩阵，则下列结论错误的是(
)
(A)若A 是可逆矩阵，则 A *也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则 A *也是不可
逆矩阵；(C)若A *
0,则A 是可逆矩阵； (D)
AA * A ;
15?设是5阶方阵，且A 0,则A (
)
(A) |A
(B) I A 2
(C) A 3
(D) |A 4
16?设A *是A G )nn 的伴随阵，贝y A * A 中位于(i,j)的元素为()
(A)
n
a jk A ki (B)
n
a kj
A ki (C)
n
n
a jk
A ik
(D)
a ki
A kj
k 1
k 1
k 1
k 1
a 11
L
a 1n
A 11
L A 1n
17.设 A
L
L L ,
,B L
L L
,其中f 是a j 的代数余子式，则(
)
a n1
L
a nn
A n1
L
A nn
11 (A)
A n
(B) A 是可逆矩阵(C) A n
0 (D) A 主对角线上的元素全为零
? n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是(
12 ? A, B,C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是(
（A ） A 是B 的伴随（B ） B 是A 的伴随（C ） B 是A 的伴随（D ）以上结论都不对
18?设代B 为方阵，分块对角阵 C A 0 ,则C *
（）
0 B
C
A
AA
(A)
*
(B)C
*
B
B B
C
B *
A
(D) C
A B *
A
(C)
A B *
B
A B
19.已知
A
4
6
,B
1 3
，下列运算可行的是（
)
1
2
，
2 4 6
(A)
A B
(B) A B
(C) AB (D) AB BA
20 ? 设代B 是两个m n 矩阵，C 是n 阶矩阵，那么(
)
(A) (A B) CA CB (B) (A T B T )C A T C B T C (C) C T (A B) C T A C T B
(D) (A B)C AC BC
21 ?对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA ，那么B 是一个（
）
（A ）对称阵（B ）对角阵（C ）数量矩阵 （D ） A 的逆矩阵
（A ）全为零 （B ）只有一个为零
23 ?设 A 1
3
，则 A 1
()
2 0
1
1
1
1 0
2
3
3
2 (A)
(B )
’
(C ),
(D )
’
1
1 ] 1
1 1 1 3
6 3
6
2
6
3
6
22 ?设A 是一个上三角阵，且
A 0，那么A 的对角线上的元素（
（C ）至少有一个为零
（D ）可能有零，也可能没有零
a 1
b 1 G
a 1
C 1 2b 1
24 ?
设A
a 2
b 2 C 2 , 若AP
a 2
c 2
2b 2
，则
P ()
a 3
b 3 C 3
a 3
C 3 2b 3
1 0 0
1 0
0 0 1 2 0 0
(A) 0
0 1 (B )
0 0 2
(C ) 0 2 0
(D )
0 0 1
0 2 0
0 1
1 0 0
0 1 0
1
a a L a
a
1
a L
a
25
? 设n(n
3）阶矩阵
A
a a 1 L a , 若矩阵A 的秩为 1, 则a 必为（）
L L L L L
a
a
a L
1
(A) 1
(B ) -1
(C )
1
(D)
1
1 n
n 1
26.设A,B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题：
① 若代B 为等价矩阵，则代B 的行向量组等价； ② 若代B 的行列式相等,即| A| |B|,则代B 为等价矩阵； ③ 若Ax 0与Bx 0均只有零解,则A, B 为等价矩阵； ④ 若代B 为相似矩阵，则Ax 0与Bx 0解空间的维数相同 以上命题中正确的是（） （A ）①,③. （B ） ②,④. （C ）
三、填空题
1设A 为三阶方阵， A *为A 的伴随矩阵，有 A
3?设A 是一个m n 矩阵，B 是一个n s 矩阵，那么是（AB ）' —个 ___________ 阶矩阵，它 的第i 行第j 列元素为 ___________ . ________
②,③?
(D)
1 i
2，贝U (—A) 2A*
3
___ BA 2B 1
-
2?设代B 为4阶方阵，且A 3，贝U （3A ）
4. n阶矩阵A可逆一
12 ?设A 为n 阶方阵，且 A 0，则 在A 等价关系下的标准形为
2
a （ a 为某常数），B 为4 3的非零矩阵，且BA 0，则
1
矩阵B 的秩为
5. 设A
0 2 3， 则(A *)
1
0 0 3
0 a
0 L
0 0
a 2 L 0
6. 设 a i 0,i
1,2,L n ，矩阵L
L L L L 的逆矩阵为
0 0 0 L a
n 1
a n 0
0 L
7. 设代B 都是可逆矩阵， 矩阵 C
0 A 的逆矩阵为
B 0
1 2
1 3 3 1
8. 设A
,B
,C
则 B(2A
C)
( )
3 4
2 4
2 4
9. A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，
则
A 为
矩阵.
b 1 x-i C 1
b 1 y 1 C 1
10 设方阵A
b ? x ?
c 2 ， B b 2 y 2 c 2，且
A
2, B
b 3 X 3
C 3
b 3
y 3
C 3
A
B
1 2 3 3则行列式
11 .设A 为m 阶方阵,
B 为n 阶方阵，已知 a, B b ，则行列式
4.三阶对角矩阵
，则A 的伴随矩阵A = 1
13.设 A 2