化二次型为标准形的方法

内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以线

性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法

关键词：二次型线性替换矩阵标准形

导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中的

一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。

化二次型为标准形的方法

一．配方法

配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。

定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和

222

1122...n n d x d x d x +++的形。

1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其

余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。

例 1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22

1122

23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。

解：原二次型中含有i x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ，然后对2x 配平方，消去23x x 项。此过程为

23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-2

34x

()()22

1223324x x x x x =+++-

于是作非退化的线性替换：

?1123

2233322x y y y x y y x y =-+??

=-??=?

即

123x x x ?? ? ? ???=112012001-?? ?- ? ???123y y y ?? ? ? ???

于是就得到

23(,,)f x x x =2221234y y y +-

所用的变换矩阵为

C =112012001-??

?- ? ???

且有

'C AC =100110001?? ?- ? ???110122020?? ? ? ???112012001-?? ?- ? ???=100010004??

? ?-??

2.如果所给二次型中不含有i x 平方项，但是0ij a ≠()i j ≠,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换

........i i j

j i j

k k

x y y x y y x y =-??=+??

??=?,(1,2,,k n =且,)k i j ≠

代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述1中的方法进行配方。

例2. 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的变换矩阵。解：由于所给的二次型中无i x 平方项，就需要构造出平方项，令

1122123

3x y y x y y x y

=+??

=-??=? 即

123x x x ?? ? ? ???=110110001?? ?- ? ???123y y y ??

? ? ???

代入到原二次型中有

23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-

13444y y y y =-++ 此时就可以按照情形1中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y 项，再分别对 2,3y y 配平方即可。所以有

23(,,)f x x x =22

1213444y y y y -++

2222

113332444y y y y y y =-++-+

()2

1332

24y y y y =--++ 作非退化线性替换

113

22332z y y z y z y =-??

=??=??11222331122y z z y z y z ?

=+??=??=?

即

123y y y ?? ? ? ???

=11022010001?? ?

? ? ? ???

123z z z ?? ? ? ???

于是能够得到

23(,,)f x x x =222

1234z z z -++

所用的变换矩阵为

C =110110001?? ?- ? ???1

2201

0001?? ?

? ? ?

?=111

2211122001??

? ?

?- ? ? ?

???

且有

C AC =11022

1011

122?? ?

?- ? ? ???021201110-?? ?- ? ???1

22111

2001??

? ?

?- ? ? ? ???=100040001-?? ? ?

??? 二.正交变换法

由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。

定理:任意一个实二次型11

n n

ij i j i j a x x ==∑∑，ij ji a a =都可以经过正交的线性替换变成平方和

222

1122...n n y y y λλλ+++其中平方上的系数12,...n λλλ就是矩阵A 的特征多项式的全部的根。

方法步骤：①将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =并写出矩阵A 。

②求出矩阵A 的所有特征值12,...n λλλ，可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为

1,,n k k k （21n k k k +++=n ）

③求出每个特征值所对应的特征向量21,,n ξξξ，列出方程1()0E A X λ-=，能解出与1λ对应

的1k 个线性无关的特征向量。同理，对其他的特征值2,

,n λλ也是采用此方法求出与之对

应的特征向量。因为21n k k k +++=n ，所以一共能出n 个特征向量。 ④将所求出的n 个特征向量2

1,,n ξξξ先后施行正交化，单位化得到21,

,,n ηηη，记为C

21)(,,T n ηηη，这时C ′AC=D 是对角矩阵，它由A 的特征值构成，即D=diag(),。（写的时

候注意与特征向量写的顺序一致。）

⑤作正交变换X CY =,则得二次型f 的标准形f =2

1122...n n y y y λλλ+++。

例3.

x x x x x x x f 84414141731212

32221---++=

对应的二次型矩阵A=???

??------144241422217

由A 的特征多项式)9()18(1442414222172--=???

? ??---------=-λλλλ

λE A 从而的到特征值9,18. （2）求特征向量

将9代入（A- λE ）x=0,得基础解系)1,1,2

(1=α, 将18代入（A-λE ）x=0,得基础解系)0,1,2(2-=α,)1,0,2(3-=α

（3）将特征向量正交化取()()22232332211,,,,βββαβαβαβαβ-

===

得正交向量组)1,5

4,5

2(),0,1,2(),1,1,2

1(321--=-==βββ

（4）将正交向量组单位化，得正交矩阵P

令)3,2,1(,==

i i

i ββη 得,455454452,05152,323231321??????

? ??--=??????? ??-=?????? ??=ηηη 所以P=????

??---4554544520515232

3231 例4.用上面所述的方法化下面的二次型

2222

12341234121314232434

,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形。

解：（1）首先写出原二次型的矩阵A =1132112332112311??

? ?

? ???

--------

由A 的特征多项式

E A λ-=11

32112332112311λλλλ?? ? ? ? ???

--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 从而得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1

（2）求特征向量，将1λ=-3带入1()0E A X λ-=中，得到方程

12341234123412324320

423032402340

x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=??-+-=??-+-+=??-+-=?

解此方程可得出基础解系1α=(1,1,1,1)--，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1 带入()0E A X λ-=中，解方程能够得出与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础解系依次为2α=(1,1,1,1)--，3α=(1,1,1,1)--，4α=(1,1,1,1) （3）将所求出的特征向量正交化，方法如下：令

1α=1β=(1,1,1,1)--

2β=2α-

21111(,)

(,)

αββββ=(1,1,1,1)--

3β=3α-

3132121122(,)(,)

(,)(,)

αβαβββββββ-=(1,1,1,1)--

4β=4α-

434142123112233(,)(,)(,)

(,)(,)(,)

αβαβαββββββββββ--=(1,1,1,1)

（4）将已正交的向量组单位化，如下：令

i i

ββη=

（i=1,2,3,4）于是能够得到

1η=

12(1,1,1,1)--，2η=12(1,1,1,1)--，3η=12(1,1,1,1)--，4η=1

(1,1,1,1) 所以

C =

121111111111111111??

? ?

???

------于是所求正交变换为 1234x x x x ?? ? ? ? ? ???

=12111111111111111

1??

? ? ?

???------1234y y y y ?? ? ?

? ? ???

原二次型化为

f =222

123173y y y y +-+-

三.初等变换法

将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的可逆线性替换将n 个元逐渐配方的过程。而初等变换就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），一步一步地化成与它是合同的且在形式上又比较简单的矩阵，最后化成对角矩阵的过程。即：（A|E ）(D|C 当子块A 化为对角矩阵Ｄ，子块Ｅ也相应的化为Ｃ并有C ′A Ｃ＝Ｄ

定理：在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。定理：对每个实对称矩阵A ，存在初等矩阵12

S PP P 使得

2112

T T

s S P P P APP P =(diag 12,,

n d d d )

方法步骤： ①写出二次型()12

,n f x x x 的矩阵A ,让A 与E 构造2n n ?矩阵A E ??

???

②对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同形式上简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换。

③写出○

2过程中所进行的一系列可逆线性变换X CY =化原二次型为 ()12,n f x x x ='Y DY

为理解方便，此过程可用图表示如下A E ?? ???A E ?????????→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换

D C ?? ???

例4 用上述方法将二次型23(,,)f x x x =222

11213223322243x x x x x x x x x +-+++

解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵

A =111122123-??

? ? ?-??

然后构造出63?矩阵

A E ?? ???

=111122123100010001-?? ? ? ?- ? ? ? ? ???→1

110130

321000

10001-?? ? ? ? ? ? ? ? ???→10

001

303211

1010001?? ? ? ? ?- ? ? ? ???→100010037114013001??

? ?

?- ?- ?

?- ? ???

→ 100010007114013001??

? ? ?

- ?- ? ?- ? ???

从上过程可以看出C =114013001-??

- ? ???

,最后作可逆线性替换X CY =，则

23(,,)f x x x ='Y 100010007??

? ?-??

四．偏导数法

偏导数法与配方法的实质是相同的，但不需要凭观察去配方，而是按下列固定程序进行。

１. 如果二次型()12

,n f x x x 中含有i x 的平方项，即ii a ()1,2,,i n =至少有一个不为

零时，不妨设11a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数

1f x ??，则有11

12f

f x ?=?，再根据()12,n f x x x =

()2

111

1f g a +，通过计算对比可以得出g ，此时g 中已不含1x ，再求出g 对2x 的偏导数

2g x ??，记12

12g g x ?=?，此时()12,n f x x x =

()()22

11'1122

11f g u a a ++，（11a 为()12,n f x x x 中21x 的系数，'22

a 为g 中2

2x 的系数），u 中已不含2x ，照这种程序继续运算，最终可将二次型化为标准形。

２.如果二次型()12

,n f x x x 中不含i x 的平方项，即所有的含ii a ()1,2,,i n =全等于

零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零，不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数

x ??，

f 对2x 的偏导数

2f x ??，令1112f f x ?=?，22

12f f x ?=?，此时()12,n f x x x =

()()22

1212121f f f f a ???+--+?

?，其中?已不含12,x x 的项。观察?的结构，如果?中含有i x 的平方项，则按照情形1中的方法进行计算，如果?中仍然不含i x 的平方项，则按照上述的步骤继续计算，直至将二次型化为标准型。

例５．用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =222

312232422x x x x x x x +-+-为标准形。解：原二次型中含有i x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x 的偏导数

1f x ??=1222x x +，11

12f

f x ?=?=12x x + 23(,,)f x x x =

()2

111

1f g a + =()2

12x x g ++ 整理并与原二次型对比可得到

232342g x x x x =--

再求出g 对2x 的偏导数

2g x ??=()232x x -,12

12g g x ?=?=23x x - 23(,,)f x x x =

()()22

2113'1122

115f g x a a +- ()()2

122335x x x x x =++--

令

11222333y x x y x x y x =+??=-??=?1123

22333x y y y x y y x y =--???=+??=?

于是

23(,,)f x x x =222

1235y y y +-

所用的变换矩阵为

111011001C --?? ?= ? ???

且有

'C AC =100110111?? ?- ? ?-??110121014?? ?- ? ?--??111011001--??

? ???

=100010005?? ?

? ?-??

例６．用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形。解：由于所给的二次型中无i x 平方项，符合情形2，分别求出f 对1x 的偏导数

1f x ??，f 对2x 的偏导数2

x ?? 1f x ??=2342x x -+，2

x ??=1342x x -+ 1112f f x ?=

?=232x x -+，2132

122f

f x x x ?==-+? 23(,,)f x x x =

()()22

1212121f f f f a ???+--+?

? 整理上式并与原二次型作对比，可得?=2

于是能得到

23(,,)f x x x =()()222

3121231222224x x x x x x ??-----+?

=()()2

312123x x x x x x ---+-+

=222

123y y y -++

令

112321233y x x x y x x y x =--+??=-???=?1

123212333111222111222x y y y x y y y x y ?=-++??

=--+??=?

可以得到所用的可逆矩阵为

11122211122200

1C ??- ? ? ?=-

- ? ? ? ??

且有

'111

10222220211

11110201222221101100

1122C AC ????--

- ? ?-?? ? ? ?

? ?=---

- ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?????

=100010001-?? ?

? ???

五．雅可比方法

雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定

标准形中各平方项的系数。这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零。

方法步骤：设二次型,1n

ij i j i j f a x x ==∑，ij ji a a =，首先将二次型写成()12

,n f x x x ='X AX

的形式，写出矩阵A ，如果A 的顺序主子式i A ≠0(1,2,

,)i n =，即

1A =11a ,2A =

1112

2122

a a a a ，

1n A -=

11121,121222,11,11,2

1,1

n n n n n n a a a a a a a a a ------，

n A

1112121

212

n n n n nn

a a a a a a a a a

都不等于零，那么二次型()12

,n f x x x 必可以化为如下的标准形： ()

,n f x x x =1A 21y +

A A 22

y +

n n A A -2

y 例７.化二次型

()3231212

2213218228,,x x x x x x x x x x x f -+--=为标准形。

解二次型的矩阵为

.041481111???

? ??-----=A

0,9811

1,1321==-=---==A A A A 故标准形为

().9,,2221232

322

221

1321y y y A A y A A y A x x x f -=+

结语：

学习了这么久，现在才把二次型化为标准形的方法总结出来，当然方法不止这几种，在这么多方法中，还是要根据题目的特征，从而选择出简便和熟悉的合适方法来解决我们遇到的问题，灵活的运用。因为二次型不仅是数学领域的重要内容，它在物理，工程，经济等方面有重要作用，所以学好它对我们以后的学习、工作、生活有所帮助。

参考文献

王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，丘维声修订。高等代数（上册）课程创新教材。清华大出版社。阳庆节修订。高等代数简明教程。中国人民大学出版社

李师正修订。高等代数解题方法与技巧。高等教育出版社

二次型的标准型

§2 标准形一、二次型的标准型二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 222211n n x d x d x d +++ . （1）定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ().000000 ,,,212 1212 222211?????? ? ????????? ??=+++n n n n n x x x d d d x x x x d x d x d 反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为：定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使 AC C ' 成对角矩阵. 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ),,,(21n x x x f 的标准形. 例化二次型 32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+= 为标准形. 二、配方法 1.,011≠a 这时的变量替换为

????? ????==-=∑=-. , , 222 11 1111n n n j j j y x y x y a a y x 令 ??? ? ? ? ? ? ?--=--100010 111 11121111 n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换 11AC C A ' → 为计算11AC C '，可令 ()??? ? ? ??==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α. 于是A 和1C 可写成分块矩阵 ??? ? ??-=???? ? ?' =--11 1111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置，1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样 .111 1 1111111 11 11111111 1111111 1111??? ? ??'-=???? ??-???? ? ?'-=???? ??-???? ??'? ??? ??'-=' --------αααααααααa A O O a E O a a A O a E O a A a E a O AC C n n n 矩阵αα'--1 111a A 是一个)1()1(-?-n n 对称矩阵，由归纳法假定，有 )1()1(-?-n n 可逆矩阵G 使 D G a A G ='-'-)(1 111αα 为对角形，令 ??? ? ??=G O O C 12,

化二次型为标准形的方法

化二次型为标准形的方法内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法关键词：二次型线性替换矩阵标准形导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。化二次型为标准形的方法一．配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像 ()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。例1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。

化二次型为实用标准型的方法

化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2）把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4）称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ，i

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax 2 +2bxy+ cy 2 = f . 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。，作转轴（反时针方把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况. （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,???,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n +... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2 J x n ii I i i * in i n 匕 .n 二 n nil n 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y n x 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n （4） /n =C niy2+C n2y2+-C nnyn 称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。如果|cJ #。，那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 , i

化二次型为实用标准形地几种方法

化二次型为标准形的几种方法摘要二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法

reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method

02 第二节化二次型为标准型

第二节化二次型为标准形若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回内容要点：一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量

进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i 且化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方. 注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是 s P P EP C 21 s T T T s T P P AP P P P AC C 2112. 由此可见, 对n n 2矩阵 E A 施以相应于右乘s P P P 21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘T s T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可逆矩阵C . 三、用正交变换化二次型为标准形定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r 注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即 .),,,(2 222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y

二次型化为标准形的几种方法

2015届本科毕业论文题目：二次型化为标准型方法所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：赵江南指导教师：艾合买提答辩日期：2015年5月5日

目录 1 引言.............................................. 错误!未定义书签。 2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。 3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。 . 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。 . 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。 4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax" + 2bxy+ cy' =f . (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin& ? ? y = X sin0+y cos0 把方程（1）化成标准方程。在二次曲而的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。向转轴） (2) 设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，?…Xn 的二次齐次多项式 f(XpXx ???,Xn)= a…xf +2apX]X 》+???+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +??? + 2a*nXjXn +??? + annXn2 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 X| =勺』|+匂汙2+???5 人 X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另那二ivj ?由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，???,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+??? + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, + n n =工工a/iXj i —1 它的系数排成一个n*n 矩阵

用初等变换化二次型为标准规定型

莆田学院数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形姓名：廖丹学号：410401141 莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日

用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词：初等变换第三种初等阵非异阵实二次型标准形 1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使

化二次型为标准型

化二次型为标准型公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

第二节化二次型为标准形若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ?4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回内容要点：一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;

化二次型为标准形的方法

编号2009011146 毕业论文（2013 届本科）论文题目：化二次型为标准形的方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2009级本科（1）班作者姓名：王瑜指导教师：完巧玲职称：副教授完成日期： 2013 年 05 月 07 日

目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (1) ０引言 (1) 1矩阵及二次型的相关概念 (1) 1．1矩阵的相关概念 (1) 1．2二次型的相关概念 (2) 2化二次型为标准形的方法 (3) 2．1配方法 (3) 2．2初等变换法（合同变换法） (5) 2．3正交变换法 (6) 2．4雅可比法 (8) 2．5MATLAB法 (12) 3 小结 (14) 参考文献 (15) 英文摘要 (15) 致谢 (16)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：二O一年月日

化二次型为标准形的方法王瑜完巧玲（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000 ）摘要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的．关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比. ０引言二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形．二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛．将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值．实数域P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形．对于配方法或初等变换法即用非奇异变换 py x =将其化为2 1i n i i y d ∑=（d i 为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵P ，下面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出P ，使问题简化．下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法． 1 矩阵及二次型的相关概念 1．1 矩阵的相关概念定义]1[1.1.1 设V 是数域F 上的一个向量空间，V 中满足下列两个条件的向量组{n ααα,,,21 }叫做V 的一个基． i ) n ααα,,,21 线性无关； ii ) V 的每个向量都可以由n ααα,,,21 线性表示．定义]1[2.1.1 设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维向量空间V 的两个基．那么向量β j ，n j ,,2,1 =，可以由n ααα,,,21 线性表示．设

6.2化二次型为标准形(全)

§2 化二次型为标准形●用配方法化二次型为标准形 ●用正交变换法化二次型为标准形

6.2.1用配方法化二次型为标准形定理6.2.1任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形。定理6.2.2对任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在可逆矩阵C ，使得 C T AC =diag(d 1, d 2, ¨, d n )例6.2.1 用配方法把三元二次型化为标准形，并求所用的线性变换X=CY 及变换矩阵C 。()2221231 2 3 121323 ,,23448f x x x x x x x x x x x x =+++--解先按及含有x 1的混合项配成完全平方，即 ()()()22 123112323,,22f x x x x x x x x x ?? =+-+-?? 21 x ()222 232323 238x x x x x x --++-()2 221232 3 23 24x x x x x x x =+-+--

()()2 221231232 3 23 ,,24f x x x x x x x x x x =+-+--在上式中，再按22 234x x x -配成完全平方，于是 ()()()22 2 123123233 ,,225f x x x x x x x x x =+-+--令 11232233 32y x x x y x x y x =+-?? = -??=?代入上式中，得到二次型的标准形 ()2221231 2 3 ,,25f x x x y y y =+-

由 11232233 32y x x x y x x y x =+-?? = -??=?解得 112233*********x y x y x y --???? ?? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?????上式是化二次型为标准形所做的线性变换X=CY ，其中 111012001C --?? ?= ? ???

化二次型为标准型的方法样本

化二次型为标准型的方法一、绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景, 以线性变换为方法, 以矩阵为工具, 着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数, 其内容本应属于函数讨论的范围, 然而二次型用矩阵表示之后, 用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确, 二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形, 也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一, 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项, 即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题, 其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题, 而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用, 因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。我们知道, 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定, 而任一实对称矩阵都能够化成一对角矩阵, 相应的任一实二次型都能够化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法: 配方法和正交变换法; 另外, 由于任意矩阵能够利用初等变换化为对角矩阵, 因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。经过典型例题, 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性, 我们应熟练掌握各种方法。以下就是几种方法的简单介绍, 而且又提出了一种新的方法: 雅可比喻法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。二、二次型及其矩阵表示在解析几何中, 我们看到, 当坐标原点与中心重合时, 一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=.

_化二次型为标准形的方法

密级： JINING UNIVERSITY 学士学位论文 THESIS OF BACHELOR 题目化二次型为标准型的方法系别：数学系专业年级：数学与应用数学专业 2012级(3+2) 学生姓名：邢桃桃学号： 2012063331 指导教师：唐庆晨职称：副教授起讫日期： 2014年3月7日至2014年5月27日

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 配方法 (2) 1.1解题步骤 (2) 1.2 典型例题 (3) 2 初等变换法 (4) 2.1 解题步骤 (5) 2.2 典型例题 (5) 3正交变换法 (6) 3.1解题步骤 (6) 3.2 典型例题 (7) 4 雅克比法 (8) 4.1解题思路 (8) 4.2典型例题 (8) 5偏导数法 (9) 5.1 解题思路 (9) 5.2典型例题 (10) 6 总结 (12) 参考文献 (13) 致谢 (13)

化二次型为标准形的方法数学与应用数学专业学生邢桃桃指导教师唐庆晨摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点．本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法和偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。关键词：配方法初等变换法正交变换法雅可比方法偏导数法 Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Student majoring in mathematics and applied mathematics xingtaotao Tutor Tang Qingchen Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 引言二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会

用初等变换化二次型为标准型

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形姓名：廖丹学号：410401141 莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的办法二、令狐采学三、二次型及其矩阵暗示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针标的目的转轴）'' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2）把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不单在几何中呈现，并且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 222 12n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4）称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来暗示。另ij ji a =a ，i

02 第二节化二次型为标准型学习资料

02第二节化二次型为标准型

第二节化二次型为标准形若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 -4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回内容要点：一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ≠≠,则先作可逆变换

化二次型为标准形的方法

二次型的标准型

化二次型为标准形的方法

化二次型为实用标准型的方法

化二次型为标准型的方法

化二次型为实用标准形地几种方法

02 第二节 化二次型为标准型

二次型化为标准形的几种方法

化二次型为标准型的方法

用初等变换化二次型为标准规定型

化二次型为标准型

化二次型为标准形的方法

6.2化二次型为标准形(全)

化二次型为标准型的方法样本

_化二次型为标准形的方法

用初等变换化二次型为标准型

化二次型为标准型的方法

02 第二节 化二次型为标准型学习资料

02 第二节化二次型为标准型

02 第二节化二次型为标准型学习资料