2020合肥三模理科数学 答案
合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.480 14.-960 15.4 16.①②④⑤
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.
17.(本小题满分12分)
解:(1)()()
()13
cos sin 3cos sin 21cos 22f x x x x x x ωωωωω=+=++3sin 23x πω??=++
???
. 由1sin 213x πω?
?-≤+≤ ???得，()f x 的值域是331 1??-+????
，.……………………………5分 (2)∵0x π≤≤，∴22333
x πππ
ωωπ≤+≤+，
由正弦函数的图像可知，()3f x =在区间[]0 π，
上恰有两个实数解，必须2233
π
πωππ≤+<， 解得54
63ω≤<. ………………………………12分
18.(本小题满分12分)
解：(1)∵四边形11A ACC 是菱形，∴1
1AC AC ⊥， 又∵1
13AC AC =，∴1=60ACC ∠o ，∴1ACC ?是等边三角形. ∵点M 为线段AC 的中点，∴1C M AC ⊥. 又∵AC ∥11A C ，∴111C M AC ⊥. ∵在等边ABC ?中，BM AC ⊥， 由AC ∥11A C 可得，11BM AC ⊥.
又∵1BM C M M =I ，∴111AC BMC ⊥平面， ∵11AC ?平面11A BC ，∴平面1BMC ⊥平面11A BC .……………………………5分 (2)∵BM AC ⊥，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且交线为AC ， ∴11BM ACC A ⊥平面，∴直线MB ，MC ，1MC 两两垂直. 以点M 为坐标原点，分别以MB ，MC ，1MC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，
则()3 0 0B
，，，()10 0 3C ，，，()
10 2 3A -，，，()0 1 0C ，，
， ∴()110 2 0A C =u u ，，，()13 0 3BC =-u u u u r ，，，()
1 01 3CC =-，，.
设平面11A BC 的一个法向量为() n x y z =，，
， ∴1110
A C n BC n ??=???=??u u u u r r
u u u u r r ，∴0330y x z =???
-+=??.令1x =，得()1 0 1n =r ，，， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
A
C
D
C
B
C
B
D
A
C
A
∴1CC n
d n
?===
u u u u r r r
，即点C 到平面11A BC
. ………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为2天，所以估计空气质量指数在(90，100]的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.……………………3分
(2)①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，
∴()2
24230920145C P X C ===，()11624230481145C C P X C ?===，()262
30
1
229C P X C ===， ∴X 的分布列为
∴ 924812
012145145295
EX =?+?+?=. …………………………………8分
②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为3
10
，
∴2
2
13
21937
5671010
101050000P C C ??=?????=
???. ………………………………12分
20.(本小题满分12分) 解：(1)()x x f x e e a -'=+-.
当2a ≤时，()20x x f x e e a a -'=+-≥-≥，()f x 在R 上单调递增； 当2a >时，由()0f x '=
得x e =
，∴x =.
当x ??? ?∈-∞+∞ ?????
U ，时，()0f x '>，
当x ? ∈ ??
时，()0f x '<. ∴()f x
在? -∞ ??，
和?? ?+∞ ???
上单调递增，
在? ??
上单调递减.………………………………5分 (2)由(1)知，当2a =时，()2x x f x e e x -=--在R 上单调递增，
∴()()1
ln 2ln g x f x x x x
==-
-在()0+∞，
上单调递增. 当2n Z n ∈≥且时，11
2ln 12ln101
n n n -->--=，即212ln n n n ->，
∴当2n Z n ∈≥且时，21211
ln 111
n n n n n >=-
--+， ∴()221111*********ln 132411212n 1n
i n n i i n n n n n =-->-+-++-=+--=-+++∑L . ………………………………12分
解: 设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，. (1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.
∵022014x y +=，∴022
014
x y =-. 同理得122114
x
y =-.
∴0011010101
0122
2222
01012222
22010111444414
PA PB
x x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ??
??
----- ? ? ? ?--+?????=?====--+---. ∴直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. ……………………………5分
(2)∵0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r
，∴2OP OQ =-u u u r u u u r . 设()Q x y ，，则00
22x x
y y =-??
=-?.
由02
20
14
x y +=，得2241x y +=， ∴动点Q 的轨迹方程为2241x y +=. ……………………………8分
设直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且222
2x
y M ??-- ???，， 当20y ≠时，∵02
2
014x y +=，122114
x y +=，∴1010210102144PA y y x x x k x x y y y -+==-?=--+，
∴直线PA 的方程为2222242y x x y x y ??+=-+ ???，整理得2
2
2
4x x y y +=-. 将22
24x x y y +=-
代入动点Q 的轨迹方程得，()()
2222
222244410x y x x x y +++-=(※). 将22
2214
x y +=代入(※)，整理得2222
440x x x x ++=. ∵222
216160x x ?=-=，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切. 当20y =时，直线PA 的方程为1x =±，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切.
综上可知，直线PA 与动点Q 的轨迹相切. ……………………………12分
22.(本小题满分10分)
(1)曲线E 的直角坐标方程为()2
2+14x y +=，
直线m 的极坐标方程为θα=(R ρ∈). ………………………………5分 (2)设点A ，C 的极坐标分别为()1ρα，，()2ρα，.
由2=+2cos 30
θαρρθ??-=?得，2+2cos 30ρρα-=，∴122cos ρρα+=-，123ρρ=-，
∴12AC ρρ=-=
同理得BD =
∵221
cos 3sin 372
ABCD S AC BD αα=
?=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即344
ππ
α=或时，等号成立，
∴四边形ABCD 面积的最大值为7. ………………………………10分
(1)()3 122113113 1x x f x x x x x x x -<-??
=--+=--≤
，，，，
根据函数图象得，()f x 的最小值为-2，
∴2m =-. ………………………………5分 (2)由(1)知，2a b c ++=，
∴()()()()()()2222
2222121111112119a b c a b c a b c ??+-++?++≥?+-?++?=+++=????
??
， ∴()()22
2123a b c +-++≥，
当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， ∴2222420a b c b c ++-++≥. ………………………………10分