2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(学生版)

2018年一模汇编——函数专题

一、知识梳理

【知识点1】函数的概念与函数三要素

【例1】设函数2log ,0()4,0x x x f x x >?=?≤?

，则((1))f f -= . 【例2】函数11,02()1,0x x f x x x

?-≥??=??

若()f a a >，则实数a 的取值范围是 . 【知识点2】函数的奇偶性

【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2x

f x x x -=+，则(1)g(1)f += .

【例2】已知函数()121

x f x a =-

+为奇函数，求实数a 的值.

【知识点3】函数的单调性

【例1】已知定义在(2,2)-上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且在(2,2)-上单调递增， 若(2)(12)0f a f a ++->，求a 的取值范围.

【例2】如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有

()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称()f x 为“H 函数”。给出下列函数：①1y x =+；②

21y x =+；③1x y e =+；④000ln x x y x ?≠=?=?

，其中“H 函数”的序号是 .

【知识点4】函数的最值与恒成立有解问题

【例1】函数)(4)2(2)2()(2

R a x a x a x f ∈--+-=且0)(

【例2】已知()22ax x f x x

=-（a 为常数），221()x g x x +=，且当1x 、2[1,4]x ∈时，总有12()()f x g x ≤，则实数a 的取值范围是 .

【知识点5】函数的零点

【例1】设是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有且当时，

1()()12

x f x =-.若函数()()log (2)(1)a g x f x x a =-+>在区间(]2,6-恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是 .

【例2】已知函数()()()()21010x x f x f x x -?-≤?=?->??，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .

()f x (2)(2),f x f x -=+[2,0]x ∈-

【知识点6】函数的对称性和周期性

【例1】已知b a ,是常数，0ab ≠，若函数3()arcsin 3f x ax b x =++的最大值为10，则)(x f 的最小值为__________．

【例2】函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]

2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x 满足120n x x x ≤<<<，且

()()()()()()122312016n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n n x +最小值为 .

【知识点7】反函数

【例1】若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 ______________.

【例2】若函数()2

log 1x a f x x -=+的反函数的图像过点()2,3-，则a =_______.

【知识点8】幂指对方程

【例1】方程22log (95)2log (32)x x -=+-的解x = .

【例2】方程lg(34)1x +=的解x = .

【知识点9】新定义

【例1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1x y π=-；④cos()3y x π=+；

其中为一阶格点函数的序号为 ___________.（注：把你认为正确的序号都填上） 【例2】设函数y f x =（）的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈D ，都有?()f x T T f x +=（

），则称函数y f x =（）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y f x =（）的“似周期”．现有下面四个关于“似周

期函数”的命题：

① 如果“似周期函数”y f x =（）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；

② 函数f x x =（

）是“似周期函数”； ③ 函数2x

f x =﹣（）是“似周期函数”； ④ 如果函数f x cos x ω=（

）是“似周期函数”，那么“k k Z ωπ=∈，”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）

【知识点10】函数综合

【例1】已知二次函数()24f x ax x c =-+的值域为[

)0+∞，. （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；

（2）判断此函数在2,a ??+∞????的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

（3）求出()f x 在[

)1+∞，上的最小值()g a ，并求()g a 的值域.

【例2】 如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2,1BC CD ==百米百米，120BCD ∠=，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1︰3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC x =百米，EF y =百米．

（1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置；

（2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．

二、一模真题汇编

一、填空题

1.已知，函数在区间上有最小值为且有最大值为，则实数a 的取值范围是________.

2.若函数a x x f =)(的反函数的图像经过点??

? ??41,21，则=a ________. 3.已知函数)(x f y =是奇函数，当0

4.给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式

()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤?=?>?

恰有 两个零点，则实数t 的取值范围为 .

5.若n （3n ≥，*n N ∈）个不同的点111(,)Q a b 、222(,)Q a b 、???、(,)n n n Q a b 满足：

12n a a a <

使得312()k x x -，23x ，222x 成等差数列，且两函数2y x =、13y x

=+图像的所有交点 111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)P x y 按横序排列，则实数k 的值为 .

6.已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图像过点(2,4)，则a 的值为 .

7.已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当时[2,4]x ∈，

43()|log ()|2f x x =-，则1()2

f 的值为 . 8.关于函数||()|||1|

x f x x =-，给出以下四个命题：①当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值；②方程()f x kx b =+（0k ≠）一定有实数解；③如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④()y f x =是偶函数且有最小值；其中假命题的序号是 .

9.方程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解x = .

10.函数()1lg f x x =-的定义域为 .

11.已知函数22log ()0()30

x a x f x x ax a x +≤?=?

-+>?有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 13

a >()lg(||1)f x x a =-+[0,31]a -0lg(1)a +

12.已知函数()()(2)f x m x m x m =-++和()33x g x =-同时满足以下两个条件：

① 对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <；

② 总存在0(,2)x ∈-∞-，使00()()0f x g x <成立；

则m 的取值范围是 .

13.若不等式1

(1)(1)31n n

a n +--?<++对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 14. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区

间[,]a b 上同时递增或同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[1,2]为函数|2|x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是 .

15.函数()lg(2)f x x =-的定义域是 .

16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++= .

17.设2()22x f x x a x b =+?+?，其中,a b N ∈，x R ∈，如果函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为 .

18.已知函数()21f x x =-的反函数是1()f x -，则1(5)f -= .

19.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(1)(4)f a f +≤，则实数a 的取值范围是 .

20.已知函数2()log ()f x x a =+的反函数为1()y f x -=，且1(2)1f -=，则实数a = .

21.已知函数()|2|1f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围为 .

22.定义(,)a a b F a b b a b ≤?=?>?

，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是 .（写出所有真命题的序号）

① 若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数；

② 若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数；

③ 若()f x 、()g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数；

④ 若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数；

二、选择题

1.给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③||

2x y =；④arcsin y x =.

其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）

A. ①②；

B. ②③；

C. ①③；

D. ②④.

2.“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的（ ）

A. 充分非必要条件；

B. 必要非充分条件；

C. 充要条件；

D. 既非充分也非必要条件.

3.若函数(2)y f x =-的图像与函数3log 2y x =+的图像关于直线y x =对称，

则()f x =（ ）

A. 223x - ；

B. 213x -；

C. 23x ；

D. 213x +.

4.已知函数1202()12212x x f x x x ?≤≤??=??-<≤??

，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，

1,2,3,n =???，则满足方程()n f x x =的根的个数为（ ）

A. 2n 个；

B. 22n 个；

C. 2n 个；

D. 2(21)n -个.

5.“0m >”是“函数()|(2)|f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ）

A. 充分非必要条件；

B. 必要非充分条件；

C. 充要条件；

D. 既非充分也非必要条件.

6.定义在R 上的函数()f x 满足2201()42

10x x x f x x -?+≤<=?--≤

x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ ） A. 4； B. 5； C. 7； D. 8.

7.设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()()1,0≠>+=a a b a x f x

，若()f x 在R 上

存在反函数，则下列结论正确是（ ）． A ．11a b >??

<-?或0110a b <??

≥-?或???≥-≤<<0110b b a 或； C ．???-<<->121b a 或???-<<-<<5

.0110b a ；

D ．?

??-≤>21b a 或 ???<<-<<05.010b a .

8.已知函数20()(2)0

x x f x f x x ?≤=?->?，则(1)(2)(3)(2017)f f f f +++???+=（ ）

A. 2017 ；

B. 1513；

C. 20172；

D. 30252

. 9.已知函数122|1|log (1)1()2

3x x x n f x n x m ----≤≤??=??-<≤?（n m <）的值域是[1,1]-，有下列结论：

① 当0n =时，(0,2]m ∈；② 当12n =时，1(,2]2m ∈；③ 当1[0,)2

n ∈时，[1,2]m ∈； ④ 当1[0,)2

n ∈时，(,2]m n ∈； 其中结论正确的所有的序号是（ ）

A. ①②；

B. ③④；

C. ②③；

D. ②④.

10.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx b y e +=（ 2.718e =???为自然对数的底数，k 、b 为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小

时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时

A. 22；

B. 23 ；

C. 24；

D. 33.

11. 已知()f x 是R 上的偶函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x -=”的（ ）

A. 充分而不必要条件；

B. 必要而不充分条件；

C. 充分必要条件；

D. 既不充分也不必要条件.

三、解答题

1. 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.

（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析

式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；

（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？

2. 已知函数1()ln 1x f x x

+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ?

.

（1）求实数a 的取值范围；

（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.

3. 若存在常数)0(>k k ，使得对定义域D 内的任意)(,2121x x x x ≠，都有2121)()(x x k x f x f -≤-成立，则称函数)(x f 在定义域D 是“-k 利普希兹条件函数”。

（1）若函数)41(,)(≤≤=x x x f 是“-k 利普希兹条件函数”，求常数k 的取值范围；

（2）判断函数x x f 2log )(=是否是“-2利普希兹条件函数”，若是，请证明。若不是，请说明理由；

（3）若)()(R x x f y ∈=是周期为2的“-1利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数21,x x 都有1)()(21≤-x f x f .

4.对于定义在[0,)+∞上的函数()f x ，若函数()()y f x ax b =-+满足：

① 在区间[0,)+∞上单调递减；② 存在常数p ，使其值域为(0,]p ，则称函数()g x ax b =+

为函数()f x 的“逼近函数”.

（1）判断函数()25g x x =+是不是函数22911()2

x x f x x ++=+，[0,)x ∈+∞的“逼近函数”； （2）求证：函数1()2

g x x =不是函数1()()2x f x =，[0,)x ∈+∞的“逼近函数”； （3）若()g x ax =是函数2()1f x x x =++，[0,)x ∈+∞的“逼近函数”，求a 的值.

5.已知函数()22x x f x -=+.

（1）求证：函数()f x 是偶函数；

（2）设a R ∈，求关于x 的函数2222

2()x x y af x -=+-在[0,)x ∈+∞时的值域()g a 表达式； （3）若关于x 的不等式()2

1x mf x m -≤+-在(0,)x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取值范围.

6. 设(,)P x y 为函数()2||f x x x a =-（x D ∈，D 为定义域）图像上一个动点，O 为坐标原点，||OP 为点O 与点P 两点间的距离.

（1）若3a =，[3,4]D =，求||OP 的最大值与最小值；

（2）若[1,2]D =，是否存在实数a ，使得||OP 的最小值不小于2？若存在，请求出a 的

取值范围，若不存在，则说明理由.

7.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600

p x x x =++万元. （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件

送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量

8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ?-≤≤?=??>?

（单位：件），

已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200

件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，

用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少

百分之几？

8.已知函数()||3m f x x x

=+

-（m R ∈，0x ≠）. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）讨论函数()y f x =的零点个数.

9.已知函数()()()x x x f --+=3log 3log 22

（1）判断函数的奇偶性； （2）()1sin =αf ，求α的值．

10.如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km ，宽为1km 的矩形，矩形两边AB 、AD 紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C 修一条直线的路l ，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P 和Q .

（1）设AQ x =（km ），将APQ ?的面积S 表示为x 的函数；

（2）求APQ ?的面积S （km ）的最小值.

11.某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）.

（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；

（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？

12.已知函数()f x 的定义域为D ，值域为()f D ，即(){|(),}f D y y f x x D ==∈，

若()f D D ?，则称()f x 在D 上封闭.

（1）分别判断函数2017()2017log x

f x x =+，2

()1

x g x x =+在(0,1)上是否封闭，说明理由； （2）函数()1f x x k =++的定义域为[,]D a b =，且存在反函数1()y f x -=，若函数()f x 在D 上封闭，且函数1()f x -在()f D 上也封闭，求实数k 的取值范围；

（3）已知函数()f x 的定义域为D ，对任意,x y D ∈，若x y ≠，有()()f x f y ≠恒成立，

则称()f x 在D 上是单射，已知函数()f x 在D 上封闭且单射，并且满足()x f D ?D ，其中

1()(())n n f x f f x +=（*n N ∈），1()()f x f x =，证明：存在D 的真子集， n D ?1n D -?????

3D ?2D ?1D ?D ，使得()f x 在所有i D （1,2,3,,i n =???）上封闭.

13.已知函数()|1|a f x x

=-（0x ≠，常数a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；

（2）当0a >时，研究函数()f x 在(0,)x ∈+∞内的单调性.

14.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客量为400人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为()p t .

（1）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；

（2）若该线路每分钟的净收益为6()150060p t Q t

-=

-（元），问当发车时间间隔为多少时， 该线路每分钟的净收益最大？