一元二次方程的解法教案

学生：科目：年级：

教师：时间：20 13 年月日课题

教学目标

) 1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程；

2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程；

3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程；

4．会用因式分解法解某些一元二次方程。

5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

重难点!

重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方

一、教材分析：

1．知识结构：一元二次方程的解法

2．重点、难点分析

（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程

用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

"

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程

就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

（2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

1）把方程化为一般形式，并做到、、之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

2）把一元二次方程的各项系数、、代入公式时，注意它们的符号。

3）当时，才能求出方程的两根。

（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程

如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

!

我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。

二、教法建议

1．教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

2. 注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践．

一复习

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的(注意a≠0)

2.不完全一元二次方程的哪几种形式

(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))

3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。

特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。

例解方程：(x-3) 2=4 (让学生说出过程)。

…

解：方程两边开方，得x-3=±2，移项，得x=3±2。

所以x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)

4.其实(x-3) 2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)

(x-3) 2=4,①

x2-6x+9=4, ②

x2-6x+5=0.③

二新课

1.逆向思维

我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) 2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) 2。

2.通过观察，发现规律

>

问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+)2。(添一项+1)即(x2+2x+1)=(x+1) 2.

练习，填空：

x2+4x+( )=(x+ ) 2; y2+6y+( )=(y+ ) 2.

算理x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。

总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即.+()④

(让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次

项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)

'

项固练习(填空配方)

总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。

问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取算理是什么

巩固练习(填空配方)

x2-bx+( )=(x- ) 2; x2-(m+n)x+( )=(x- ) 2.

扩展资料

配方法在解题中的应用

河北省正定中学赵建勋

…

配方是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用．本文通过例题谈谈它的一些应用．

一、应用于因式分解

例1 分解因式x4＋4．

解配方，得

原式=x4＋4x2＋4-4x2＝（x2＋2）2-（2x）2

=（x2＋2x＋2）（x2-2x＋2）．

例2 分解因式a2-4ab＋3b2-2bc-c2．

解原式=（a2-4ab＋4b2）-（b2+2bc＋c2）

…

＝（a-2b）2-（b＋c）2

＝（a-b＋c）（a-3b-c）．

二、应用于解方程

例3 解方程3x2＋4y2-12x-8y＋16=0．

解分别对x、y配方，得

3（x2-4x＋4）＋4（y2-2y＋1）=0，

3（x-2）2＋4（y-1）2＝0．

由非负数的性质，得

.

例4 解方程（x2＋2）（y2＋4）（z2＋8）=64xyz（x、y、z均是正实数）．解原方程变形，得

x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0

各自配方，得

（xyz-8）2＋2（4x-yz）2＋4（2y-xz）2＋8（z-xy）2=0

由非负数的性质，得

>

运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握．

三、应用于求二次函数的最值

例5 已知x是实数，求y＝x2-4x+5的最小值

解由配方，得

y＝x2-4x＋4-4＋5=（x-2）2＋1

∵x是实数，∴（x-2）2≥0，当x-2=0，即x=2时，y最小，y

=1．

最小例6 已知二次函数y=x2-6x＋c的图象的顶点与坐标原点的距离等于5，求c 的值．

解因为y＝x2-6x＋c＝x2-6x＋9-9＋c=（x-3）2＋c-9，所以这个二次函数的顶点坐标为（3，c- 9），它与坐标原点的距离是

[

四、应用于求代数式的值

本题联合应用了倒数法和配方法使问题得解．倒数法是一种解题技巧，解题时注意应用．

？

解由已知条件，分别对a、b配方，得

（a2-4a＋4）＋（b2-2b＋1）＝0，

（a-2）2＋（b-1）2＝0．

由非负数的性质，得a-2＝0，b-1＝0．

∴a＝2，b＝1．

五、判定几何图形的形状

(

例9 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2-ab-bc-ca＝0，判定△ABC是正三角形．

证明由已知等式两边乘以2，得

2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0，

拆项、配方，得

（a2-2ab＋b2）＋（b2-2bc＋c2）＋（c2-2ca＋a2）＝0，

（a-b）2＋（b-c）2+（c-a）2＝0．

由实数的性质，得

a-b=0，b-c=0，c-a=0，

'

∴a＝b，b＝c，c＝a，a=b=c．

故△ABC是等边三角形．

习题精选

用开平方法解一元二次方程

一、选择题

1．方程的解为（）

A．B．C．D．

（

2．方程的解为（）

A． B．

C．D．

3．方程的实数根的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．无数个

4．方程的根是（）

A．B．

C．D．

、

5．对于形如的方程，它的解的正确表达式为（）

A．都可以用直接开平方法求解，且

B．当时，

C．当时，

D．当时，

二、填空题

6．若，则的值是。

7．若方程有解，则的取值范围是。

<

8．方程的解为。

答案：

1．B 2．D 3．C 由，得4．D ∵，∴，

5．C 当时，，∴

6．7．8．

用配方法解一元二次方程

1．用配方法解下列方程

（1）（2）

（3）（4）

—

2．用配方法将下列各式化成的形式

（1）（2）

（3）（4）

答案：

1．（1）；（2）；

（3）；（4）。

2．（1）原式；（2）原式；

（3）原式；（4）原式

，

用公式法解一元二次方程

一、选择题

1．用公式法解方程，得到（）

A．B．

C．D．

2．方程化简整理后，写成的形式，其中分别是（）

A．B．

C．D．

《

二、解答题

3．用公式法解下列方程

（1）；（2）；

（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。

答案：

答案：

(

1．2．3．4．（1）；（2）；（3）；（4）. 5．（1）；（2）；（3）；（4）.

选择适当的方法解下列关于的方程

1.

2.

?

3.

4.

5.

6.

答案

1.（用直接开平方法）

2. （因式分解法）

3.

~

4.

5.

6.（提示：）

解含有字母系数的一元二次方程

解关于的方程.

答案:

当=0时, =;

当且0时,,;

%

当>时,方程无实根.

典型例题１－５

例1 用直接开平方法解下列方程

分析用直接开平方法解方程,要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负常数的形式,再根据平方根的定义求解.

解：移项得：

将方程各项都除以4

得：

}

∵是64的平方根

∴

∴

例2 用直接开平方法解下列方程。

解：

>

∴，

点拨：对于无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过应注意二次根式的化简。

例3 用配方法解方程

解：移项得：

配方得：

]

解这个方程

∴，

点拨: 配方法是解一元二次方程的重要方法,是导出求根公式的关键.熟练掌握完全平方式是用配方法解题的基础. 对于二次项系数是1的方程, 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方.

例4 用配方法解方程：

分析因为二次项系数不为1, 所以要先将方程各项同时除以二次项系数后,再配方.

!

解：方程两边同除以3

得

方程两边同时加上一次项系数一半的平方

∴

∴

∴

$

点拨: “方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步,是配方法的关键, “将二次项系数化为1” 是进行这一关键步骤的重要前提.

例1 用公式法解方程

解：移项得：

∵

∴

∴

∴，

[

例5 用公式法解方程

移项得：

∵

∴

∴

∴

点拨：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般式；（2）确定出，，的值；（3）求出的值（或代数式）；（4）若，则可用求根公式求出方程的解，这样可以减少许多不必要的计算. 另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用, 其中也包括不完全的一元二次方程.

《

典型例题６－１０

例6 用因式分解法解下列方程。

解: 移项得：

把方程左边因式分解

得：

∴或

∴

!

点拨: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。

例7 用因式分解法解下列方程

解：把方程左边因式分解为：

∴或

∴

点拨: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。

？

例8解下列方程：

（1）；（2）；（3）；（4）

（5）（用配方法）

解：（1）移项，得

，

方程两边都除以2，得

，

\

解这个方程，得

，

，

即

，

（2）展开，整理，得

方程可变形为

<

或，

∴

（3）展开，整理，得

，

方程可变形为

或

'

∴

（4）∵，∴

∴,

（5）移项，得

，

方程各项都除以3，得

;

配方，得

，

解这个方程，得

,

即

，

点拨:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式

()，若，a、c异号时，可用直接开平方法求解，如（l）题．若，,时，可用因式分解法求解，如（2）题．若a、b、c 均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4）题．配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题．

而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程可用直接开平方法或因式分解法求解．又如方程

也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得，用因式分解法求解，得

，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以，这会丢掉一个根．也就是方程两边不能除以含有未知数的整式．

例9 解关于的方程（）

解法一：原方程可变形为

或

∵，

∴

解法二：∵，，，

，

又，

∴

∴

点拔解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零．

对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单．

例10 已知，试解关于的方程

分析由，容易得到或．整理关干x的方程，得

．题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当时，方程是一元一次方程；当时，方程是一元二次方程。

解：由，得

,

∴

整理，得

当时，原方程为，

解得

当时，原方程为，

解得

∴当时，