大一高数复习资料

第一章函数与极限第一节函数

○邻域（去心邻域）

(){},|U a x x a δδ=-<

(){},|0U a x x a δδ=<-

第二节数列的极限

○数列极限的证明

【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞

= 【证明示例】N -ε语言

1．由n x a ε-<化简得()εg n >，

∴()N g ε=????

2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞

→lim

第三节函数的极限

○0x x →时函数极限的证明

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0

lim

【证明示例】δε-语言

1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =

2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim

○∞→x 时函数极限的证明

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞

→lim

【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =

2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞

→lim

极限存在准则及两个重要极限

○夹逼准则

第一个重要极限：1sin lim 0=→x

∵??

??∈?2,

0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim

0=→x x x 0

000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===??

???

（特别地，000

sin()

lim

1x x x x x x →-=-）

○单调有界收敛准则

第二个重要极限：e x x

x =??

??+∞

→11lim

（一般地，()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =????????

，其中

()0lim >x f ）

【题型示例】求值：1

1232lim +∞→??

? ??++x x x x

【求解示例】

()()2111

212

1212

2121

1221

2121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞?++++??+++→∞

+→∞++→∞+++?????

?==+ ? ? ?+++??????

????

???=+=+ ? ???++??

???=+

???+????

解：()()12lim 121

21212

121

22lim 121x x x x x x x x x e

e e

+→∞??

?+??

+??+→∞+→∞???+??

+??

====

第四节无穷小量与无穷大量 ○无穷小与无穷大的本质

函数()x f 无穷小?()0lim =x f

函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1

x -为无穷小；反之，若()x f 为无

穷小，且()0f x ≠，则()x f 1

-为无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →????

?（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο

内是有界的；

（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；

（()0lim =∞

→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →?=????

（()()lim 0x f x g x →∞

?=????）

无穷小量的阶

○等价无穷小（P65/P77）

(外加此公式)

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：()()x

x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】

()()()()()()()3

131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+?+=++?+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为

【题型示例】求值233

lim 9

x x x →--

【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原

式()()2

3333311

lim lim lim 93336

x x x x x x x x x →→→--====-+-+ （其中3x =为函数()23

x f x x -=

-的可去间断点）倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0

3323311

lim

lim lim 926

9x L x x x x x x x '→→→'

--===-'

- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）

（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那

么，()()00lim lim x x x x f x f x ??→→??=????????

【题型示例】求值：9

3lim 23

--→x x x

【求解示例】3

6x →===

【题型示例】求值：1

1232lim +∞→??

? ??++x x x x

【求解示例】

()()21

212

1212

2121

1221

2121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞

+→∞

?++++??+++→∞

+→∞++→∞+++??

?==+ ? ? ?+++??

?????=+=+ ? ???

++??

????

???=+

???+???

解：()()12lim 121

21212121

22lim 121x x x x x x x x x e

e e e

+→∞???+??

+??+→∞+→∞?

??+??

+??

+?? ?

====

第五节函数的连续性 ○函数连续的定义

()()()00

0lim lim x x x x f x f x f x -

+→→==

○间断点的分类

?∞?

???

?）无穷间断点（极限为

第二类间断点可去间断点（相等）

跳越间断点（不等）

限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数()???+=x

a e x f x 2 ，00

≥

择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？

【求解示例】

1．∵()()()2010000f e e e f a a f a -

-?++?===?

?=+=??

=??

2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0

∴e a =

闭区间上连续函数的性质 ○零点定理

【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ?=--在闭区间[],a b 上连续；

2．∵()()0a b ???<（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξ?，即()()0f

g C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()

b a ,~

x sin tan -23

内至少有一个根ξ 第二章导数与微分

第一节导数概念（导数公式表P111） ○高等数学中导数的定义及几何意义

【题型示例】已知函数()?

??++=b ax e x f x

1 ，00

>≤x x 在0

=x 处可导，求a ，b

【求解示例】

1．∵()()0

010f e f a -+'?==??'=??，()()()0000112

0012f e e f b f e -

-+?=+=+=??=?

=+=??

2．由函数可导定义()()()()()001

0002

f f a f f f b -+-+

''===???====?? ∴1,2a b ==

【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ????处的切线与法线方程）【求解示例】

1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()

()1

y f a x a f a -=-

-' 第二节求导的基本法则 ○函数和（差）、积与商的求导法则 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+

3．函数商的求导法则（定理三）：2

u u v uv v v '

-??= ???

○反函数的求导

【题型示例】求函数()x f

-的导数

【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D

上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()

f x f x -'??=

??' ○复合函数的求导法则(P 习题2.2)

【题型示例】设(

ln y e =，求y '

【求解示例】

(

arcsi y e

x a e e e '

' ?+=

???

? =

解：?? ?

高阶导数 ○()

()()

()1n n f

x f

x -'??=??（或()()11n n n n d y d y dx dx --'??=????

）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1

111y x x

-'=

=++， ()()()12

111y x x --'??''=+=-?+??

， ()()()()()23

11121y x x --'??'''=-?+=-?-?+??

……

()1(1)(1)(1)n

n n y n x --=-?-?+！

第三节隐函数及参数方程型函数的导数

○隐函数的求导（等式两边对x 求导）

【题型示例】试求：方程y

e x y +=所给定的曲线C ：

()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程

【求解示例】由y

e x y +=两边对x 求导

即()y y x e '''=+化简得1y

y e y ''=+?

∴e

e y -=

'11

111 ∴切线方程：()e x e

y +--=-111

1 法线方程：()()e x e y +---=-111

○参数方程型函数的求导

【题型示例】设参数方程()()

???==t y t x γ?，求22dx y

【求解示例】1.()()t t dx dy ?γ''= 2.()22dy d y dx dx

t ?'??

???=' 第四节函数的微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则 ()dx x f dy ?'=

第六节微分学中值定理 ○罗尔定理

（1）在闭区间[a,b]上连续（2）在开区间（a,b ）内可导（3）f(a)=f(b)

则至少存在一点在（a,b ）使f(x)内可导 ○拉格朗日中值定理

【题型示例】证明不等式：当1x >时，x

e e x >? 【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ?>，

显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间

()1,x 上可导，并且()x f x e '=；

2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ?∈使得等式

()11x e e x e ξ-=-成立，

又∵1

e e ξ

>，∴()111x e e x e e x e ->-=?-，

化简得x e e x >?，即证得：当1x >时，x

e e x >? 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对

0x ?>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区

间()0,π上可导，并且()11f x x

+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ?∈使得等式

()()()1

ln 1ln 1001x x ξ

+-+=

-+成立，化简得()1

ln 11x x ξ

+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()1

11f ξξ

<+，∴()ln 11x x x +时，x

e e x >? 第七节罗比达法则

○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤

1．☆

等价无穷小的替换（以简化运算）

2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件

A ．属于两大基本不定型（

0,0∞

∞

）且满足条件，则进行运算：()()()

()

lim lim

x a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）

B ．☆

不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0?∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0

lim ln x x x α

→?

【求解示例】

()1000020

ln ln lim ln lim lim lim 111

lim 0

x x L x x x x x x x x x x x x x a ααα

αααα∞∞

-'→→→→→'

?===?'??- ???

=-=解：（一般地，()0

lim ln 0x x x β

→?=，其中,R αβ∈）

⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：01

1lim sin x x x →??-

【求解示例】 200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--??????-== ? ? ???

?????解：

()()()()00

0002

sin 1cos 1cos sin lim

lim lim lim 022

2L x x L x x x x x x x

x x x ''→→→→'

'---====='

' ⑶0

0型（对数求极限法）【题型示例】求值：0

lim x

x x →

【求解示例】

()()0000

lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim

111

lim lim 0lim lim 11x x x x x L x y

y x x x x x y x y x x x x

x x x y x

x x x y e e e x

→∞

∞

'→→→→→→→====

'→=='?? ???

==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞

型（对数求极限法）

【题型示例】求值：()10

lim cos sin x

x x x →+

【求解示例】

()()

()

()()

000

000lim ln ln 10

ln cos sin cos sin ,ln ,

ln cos sin ln 0limln lim

ln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x x

x x L x x y

y x x x x y x x y x

x x y x y x

x x x x x x x y e e e e

→→→'→→→→+=+=

+→='+??--??====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得

⑸0∞型（对数求极限法）

【题型示例】求值：tan 01lim x

x x →??

【求解示例】

()()tan 00

200

020*******,ln tan ln ,

1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim lim

lim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li x

x x x L x x x L x y y x x x y x y x x x x

x x x x

x x x x x →→∞

∞

'→→→'→→??

==? ?

???

??→=? ???

????'

=-=-=-??'??-

? ?????

'==='解：令两边取对数得对求时的极限，0

0lim ln ln 00

2sin cos m 0,1

lim =lim 1

x x y

y x x x x

y e e e →→→→?====从而可得

○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路

00001∞??∞-∞??→←???∞←???∞?∞?∞

(1)(2)(3)

⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）

⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶ 取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）

第八节函数形态研究

○连续函数单调性（单调区间）【题型示例】试确定函数()3

29123f x x x x =-+-的

单调区间

【求解示例】

1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()2

61812f x x x '=-+

2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：

121,2x x == x

(),1-∞

()1,2

()2,+∞

()f x ' + 0

()f x

Z 极大值

]

极小值

4．∴函数()f x 的单调递增区间为(][),1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2

【题型示例】证明：当0x >时，1x

e x >+ 【证明示例】

1．（构建辅助函数）设()1x x e x ?=--，（0x >） 2．()10x x e ?'=->，（0x >） ∴()()00x ??>=

3．既证：当0x >时，1x

e x >+

【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】

1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ?=+-，（0x >）

2．()1

101x x

?'=

-<+，

（0x >） ∴()()00x ??<=

3．既证：当0x >时，()ln 1x x +< ○连续函数凹凸性

【题型示例】试讨论函数2

13y x x =+-的单调性、极值、

凹凸性及拐点

【证明示例】

1．()()2

36326661y x x x x y x x '?=-+=--??''=-+=--?? 2．令()()320

610

y x x y x '=--=???''=--=??解得：120,21x x x ==??=?

x (,0)-∞ 0 (0,1)

(1,2) 2 (2,)+∞

y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 5

4．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)

单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；

⑵函数23

13y x x =+-的极小值在0x =时取到，

为()01f =，

极大值在2x =时取到，为()25f =；

⑶函数2

13y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，

在区间(1,2),(2,)+∞上凸；函数2

313y x x =+-的拐点坐标为()1,3

函数的极值和最大、最小值

○函数的极值与最值的关系

⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ?的某个邻域()M U x D ?，使得对()M x U x ?∈o

，都适合不等式()()M f x f x <，

我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ????处有极大值()M f x ；

令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈

则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：

()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；

⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ?的某个邻域

()m U x D ?，使得对()m x U x ?∈o

，都适合不等

式

()()m f x f x >，

我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ????处有极小值

()m f x ；

令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈

则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：

()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；

【题型示例】求函数()3

3f x x x =-在[]1,3-上的最值

【求解示例】

1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()2

33f x x '=-+

2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-=

4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 函数图形的描绘

第三章一元函数积分学

第四节不定积分的概念与性质（积分表

P208/P213）

○原函数与不定积分的概念 ⑴原函数的概念：

假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或

()()dF x f x dx =?成立，则称()F x 为()f x 的一

个原函数

⑵原函数存在定理：

如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念

在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项

C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，

即表示为：()()f x dx F x C =+?

（

称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称

为积分表达式，x 则称为积分变量）

○基本积分表（P208、P213很重要） ○不定积分的线性性质（分项积分公式）

()()()()1

k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+?

?????? 换元积分法

○第一类换元法（凑微分）(P226) （()dx x f dy ?'=的逆向应用）

()()()()f x x dx f x d x

????'?=??

???????

??????

【题型示例】求2

dx a

【求解示例】

2221

arctan 11x x dx dx d C a x a a a

a x x a a ??===+ ?+????

??++ ? ???

解：【题型示例】求

【求解示例】

()()12

1212x x C

=+=+=

○第二类换元法（去根式P216）

（()dx x f dy ?'=的正向应用）

⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：

：令t =，于是2t b x a

-=，

则原式可化为t

⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：

tan x a t =（2

t π

），

于是arctan x

t a

=，则原式可化为sec a t ；

⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：

sin x a t =（2

t π

），

于是arcsin x

t a

=，则原式可化为cos a t ；

sec x a t =（02

t π

<<），

于是arccos a

t x =，则原式可化为tan a t ；

【题型示例】求

（一次根式）【求解示例】

2221t x t dx tdt

tdt dt t C C

t =-=?==+=??

【题型示例】求（三角换元）

【求解示例】

()()2sin ()

22arcsin

cos 22cos 1cos 22

1sin 2sin cos 222x a t t x

t a

dx a t

a a tdt t dt

a a t t C t t t C π

=-<<==??????→=+??

=++=++ ?????

○分部积分法（P228）

⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-??

⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”

○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '?=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-??

⑷展开尾项vdu v u dx '=???

，判断

a ．若v u dx '??

是容易求解的不定积分，则直接计

算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法

与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '??

依旧是相当复杂，无法通过a 中方

法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C

【题型示例】求2

x e x dx ??

【求解示例】

()

()22222

2222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C

?===-=-?=-?=-+=-++???????解：

【题型示例】求sin x e xdx ??

【求解示例】

()()

sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x x

x x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx

?=-=-+=-+=-+=-+-=-+-???

????解：

()sin cos sin sin x x x x

e xdx e x e x xd e ?=-+-??即：

∴()1sin sin cos 2

e xdx e x x C ?=

-+?

【题型示例】求2

x dx x +?（构造法）【求解示例】

()()()2

21111111111

ln 112

x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x C

x +-++??==-+ ?+++?

?=-+=-++++??????

○定积分的定义

()()0

lim n

i f x dx f x I λ

ξ→==?=∑?

（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x

则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，

[],a b 称为积分区间）

○定积分的性质

⑴

()()b b

f x dx f u du =??

⑵()0a a f x dx =? ⑶()()b

kf x dx k f x dx =??????

⑷（线性性质）

()()()()1212b

b b

a a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+?

?????? ⑸（积分区间的可加性）

()()()b

c b

f x dx f x dx f x dx =+?

⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，

则

()0b

f x dx >?

；

（推论一）

若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b b

f x dx

g x dx ≤??；

（推论二）

()()b b

f x dx f x dx ≤??

○积分中值定理（不作要求）

微积分基本公式

○牛顿-莱布尼兹公式

（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间

[],a b 上的一个原函数，则

()()()b

f x dx F b F a =-?

○变限积分的导数公式（上上导―下下导）

()()()

()()()()x x d f t dt f x x f x x dx

?ψ??ψψ''=-????????? 【题型示例】求2

cos 2

lim

t x

x e dt x -→?

【求解示例】

()

cos cos 2002lim lim 解：t t x x

x L x d e dt e dt dx x x

--'→→='??

()

()()2222

cos cos 000cos 0

cos cos 0cos 010sin sin lim

lim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim 2

lim sin cos 2sin cos 21122x

x x x

L x x x x x x e e

x x e x

x e dx x x e x e x x e x x x x e e

---→→-'→--→-→-?-?-?==?='

?+??=??

=+??

?=?=

第五节定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法 ⑴（第一换元法）

()()()()b b

a a f x x dx f x d x ????'?=??

????????????? 【题型示例】求201

dx x +? 【求解示例】

()[]2

220001111

21ln 212122121ln 5ln 5ln122

解：dx d x x x x =+=?+??

?++=-=?

? ⑵（第二换元法）

设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ?=满足： a ．,αβ?，使得()(),a b ?α?β==；

b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ??'????连续则：

()()()b a

f x dx f t t dt β

??'=??????

【题型示例】求

x dx x ++?

()22

210,43

0,1014,3

2332311132222113111332223522933

解：t t x x x t x t t x dx dx t

x t t dt t dt t x t =+>=-====++??????→++??

=??=+=+ ???=-=

???? ⑶（分部积分法）

()()()()()()()()()()()()

a a

b b

b a

u x v x dx u x v x v x u x dx

u x dv x u x v x v x du x ''=-=-?

????

???

○偶倍奇零

设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则

()()0

f x dx f x dx -=?

⑵ 若()()f x f x -=-，则

()0a

f x dx -=?

第四节定积分的应用（P248）

面积增量的近似值为

[f 上(x )- f 下(x )]dx 它也就是面积元素

设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成

y =f 上 y =f

下上

下

?=b

a S [f

上

(x )- f

下

X-型区域

1、直角坐标系情形

常用等价无穷小

~ 1

e -x

0 →x 当~ 1

-x a ~ x sin ~ x tan ~ x arcsin ~ x arctan ~ )1ln(x +~

x sin tan -2

3x ~

cos 1-2

2x ~ 1)1(-+αx x

x x x

x x x x

α例1 求双纽线θρ2cos 22a =所围平面图形的面积.

解

由对称性知总面积=4倍第一

象限部分面积

14A A =θθπ

d a A 2cos 2

144

2a =例2 计算由两条抛物线x y =2和2x y =所围成的图形的面积.

解两曲线的交点

)

1,1()0,0(面积元素

x x dA )(2-=选X

为积分变量 x ]

1,0[∈x dx

x x A )(2

-=?1

0333

223?

???-=x x .3

x y =2

y x =取积分变量为x ，

]

,[b a x ∈在],[b a 上任取小区间],[dx x x +，

取以dx 为底的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的体积的近似值为体积元素， dx x f dV

2)]([π=x

x +旋转体的体积为 dx x f V b

a 2

)]([?

=π)

(x f y =

高等数学大一上学期知识要点

高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论

结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =）则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'',

且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。

考研数学一笔记.doc

高等数学常用公式 ⒈等比数列 1 1n -=n q a a q q a s n n --=1) 1(1 ⒉等差数列 d n a a )1(1n -+= 2 )(1n a a s n n += ⒊ )12)(1(6 1 3212222++= ++++n n n n ⒋ 2 33332)1(321?? ? ???+=++++n n n 极限一、对于和式 n u u u ++∑=2n 1 11 进行适当放缩有两种典型的方法 ①当n 为无穷大时，则 n ?u min ≤u 1+u 2+?+u n ≤n ?u max ②当n 为有限项，且u i ≥0时，则 u max ≤u 1+u 2+?+u n ≤n ?u max 二、常用极限： )m 3,2,1i (}max {lim .1n 21n a ==++∞→， i m m n n a a a n a b i n a b a f x f dx x f n i n i b n i i --+ =?=∑?∑=∞ →=→)(lim )(lim )(.21 a 1 ξλ n a b n a b i a f x f dx x f n i n i b n i i ---+ =?=∑?∑=∞ →=→)))(1((lim )(lim )(31 a 1 ξλ 1lim .3=∞ →n n a 为常数），（，b a ,1lim .4=+∞ →n n b an 1 lim .50 x =+→x x

，则若a a n n =∞ →lim ..6 a n a a a n n =+++∞→ 21lim .① a a a a n a n n n n ==>∞ → 21lim )3,2,1(0.② ，则若三、常见等价无穷小代换总结

2018最新大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解

大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

(完整版)高数_大一_上学期知识要点

总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =）则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;

高数读书笔记

高等数学读书笔记

——定积分与不定积分马燕妮四川农业大学经济学院经济学中国成都 611130 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分【Abstract 】 This paper first introduces the basic definition of indefinite integral and defin ite integral, and then explores several of the more important integral method. D efinite integral is one of the major concepts of calculus, it comes from the a ccumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing the indefinite integra l and definite integral memory, calculation of indefinite integral system. 【Key words 】Definite integral ；Indefinite integral ；Area ；differentiation division integral method ；Integral method in yuan ；The indefinite integral rational function 一、不定积分与定积分的定义（一）、定积分的定义：设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割T={ 1,? 2?……n ?}，任

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()() x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

大一上学期高数期末考试题0001

大一上学期高数期末考试卷一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。).

大一上学期高数知识点电子教案

第二章导数与微分一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义（2）定理与运算法则定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法（1）复合函数微分法（2）反函数的微分法（3）由参数方程确定函数的微分法（4）隐函数微分法（5）幂指函数微分法（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数（1）定义与基本公式

高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式：（2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率二、例题解析例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问：（1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导；（2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续；（3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？解函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在，当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K

(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分） 1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++Q 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .