中考数学考点达标训练21命题与证明
考点达标训练21 命题与证明
命题
1. 下列命题中，正确的是( ) A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C. 对角线互相平分的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 2. 有下列命题：
①平行四边形的对边相等． ②矩形的对角线相等．
③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形． ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 下列命题中，是真命题的为( ) A. 若a ＞b ，则c －a ＜c －b
B. 某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
C. 点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在反比例函数y ＝1
x
的图象上，若x 1＜x 2，则y 1＞y 2
D. 甲、乙两名射击运动员分别射击10次，他们射击成绩的方差分别为S 甲2＝4，S 乙2
＝9，则乙的发挥比甲稳定
4．(2015·浙江宁波)命题“对角线相等的四边形是矩形”是________(填“真”或“假”)命题．
5. (2014·浙江温州)请举反例说明命题“对于任意实数x ，x 2
＋5x ＋5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x ＝________(写出一个x 的值即可)．
6. “在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”这个命题的题设是____________________________，结论是______________________，它是一个________命题．
7. “两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_____________________________．
证明
8. (2014·北京)如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝DE，BC＝BD.求证：∠A＝∠E.
(第8题)
9. (2015·贵州安顺)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC 于点F.
(第9题)
(1)求证：AE＝DF.
(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
10. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE.
(第10题)
(1)请判断四边形EFGH的形状，并给予证明．
(2)试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形(写出你所添加的条件，不要求证明)．
反证法
11. (2014·福建泉州)用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”的第一步应假设这个三角形中________________________．
12. 用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”的第一步应假设________________________．
13. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
14. (2014·山东泰安)在△ABC和△A1B1C1中，有下列命题：
①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1.
②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1.
③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.
④若AC∶A1C1＝CB∶C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.
其中真命题的个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
15. 有下列命题：①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等；②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2；③等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形；④在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，两直角边a ，b 分别是方程x 2
－7x ＋7＝0的两个根，则AB 边上的中线长为1235.
其中正确的命题有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个 16. 有下列命题：
①方程x 2
－(2＋3)x ＋6＝0的根是2和 3.
②在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若AD ＝4，BD ＝9
4
，则CD ＝3.
③点P (x ，y )的坐标x ，y 满足x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋2＝0，若点P 也在y ＝k x
的图象上，则k ＝－1. ④若实数b ，c 满足1＋b ＋c ＞0，1－b ＋c ＜0，则关于x 的方程x 2
＋bx ＋c ＝0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根x 0满足－1＜x 0＜1.
其中真命题是________(填序号)． 17. 如图，点D ，E 分别在AB ，AC 上． (1)已知BD ＝CE ，CD ＝BE ，求证：AB ＝AC .
(第17题)
(2)将“BD ＝CE ”记为①，“CD ＝BE ”记为②，“AB ＝AC ”记为③.添加条件①③，以②为结论构成命题1；添加条件②③，以①为结论构成命题2. 命题1
是________(填“真”或“假”，下同)命题，命题2是________命题．
18. 学习了“图形的相似”后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．
(1)“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可得到“满足________________，或________________，两个直角三角形相似”．
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足______________的两个直角三角形相似”．请结合所给图形，写出已知，并完成说理过程．已知：如图，______________________________________________________________.
求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
(第18题)
参考答案
1．D 2．D 3．A 4．假 5．－2(答案不唯一) 6．同一平面内两直线垂直于同一条直线 这两条直线平行 真 7．同旁内角互补，两直线平行 8．提示：证△ABC ≌△EDB (SAS )． 9．(1) 提示：证四边形AEDF 是平行四边形． (2)四边形AEDF 是菱形，理由略．
10．(1)四边形EFGH 是平行四边形，证明略． (2)答案不唯一，如EF ＝FG 等． 11．有两个角是直角 12．两直线平行 13．假设等腰三角形的底角不是锐角，则底角大于或等于90°．根据等腰三角形的两个底角相等，得两个底角的和大于或等于180°，则该三角形的三个内角和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．所以等腰三角形的底角是锐角． 14．B[①若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠A ＝∠A 1，能利用“SAS ”判定△ABC ≌△A 1B 1C 1，正确．②若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠B ＝∠B 1，为“SSA ”，不能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1，错误．③若∠A ＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，能利用“有两个角对应相等的两个三角形相似”判定△ABC ∽△A 1B 1C 1，正确．④若AC ∶A 1C 1＝CB ∶C 1B 1，∠C ＝∠C 1，能利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定△ABC ∽△A 1B 1C 1，正确．故选B ．] 15．C[一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故①错误．将数据5，2，7，1，2，4按由小到大的顺序排列为：1，2，2，4，5，7，中位数是2＋42＝3，众数是2，故②正确．等
边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故③错误．由题意，得a ＋b ＝7，ab ＝7，AB 边上的中线长为12AB ＝12a 2＋b 2＝12（a ＋b ）2
－2ab ＝1272－7×2＝12
35，故④正确．故选C ．]
(第16题解)
16．①②③④[①解方程x 2
－(2＋3)x ＋6＝0，得x 1＝2，x 2＝3，故此命题正确．②由题意，得CD 2＝AD ·BD ，若AD ＝4，BD ＝94，则CD ＝3．故此命题正确．③∵点P (x ，y )的坐标x ，y 满足x
2
＋y 2
＋2x －2y ＋2＝0，∴(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝0，解得x ＝－1，y ＝1．∴xy ＝－1．∵点P 也在y ＝k x
的图象上，∴k ＝－1，故此命题正确．④∵实数b ，c 满足1＋b ＋c ＞0，1－b ＋c ＜0，∴y ＝x 2
＋bx ＋c 的大致图象如解图所示，∴关于x 的方程x 2
＋bx ＋c ＝0一定有两个不相等的实数根，且较大的实数
根x 0满足－1＜x 0＜1，故此命题正确．] 17．(1)连结BC ．∵BD ＝CE ，CD ＝BE ，BC ＝CB ，∴△DBC ≌△ECB (SSS )．∴∠DBC ＝∠ECB ．∴AB ＝AC ． (2)真 假[对于命题1：∵BD ＝CE ，AB ＝AC ，∴AB －BD ＝AC －CE ，即AD ＝AE ．又∵∠A ＝∠A ，∴△ABE ≌△ACD (SAS )．∴CD ＝BE ．故命题1是真命题．对于命题2：CD ＝BE ，AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，此为“边边角”，不能推出△ABE ≌△ACD ，不能得出BD ＝CE ，故命题2是假命题．] 18．(1)一个锐角对应相等 两直角边对应成比例 (2)斜边和一条直角边对应成比例 在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AB A ′B ′＝AC
A ′C ′
证明：设
AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝k ，则AB ＝kA ′B ′，AC ＝kA ′C ′．在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中，BC
B ′
C ′
＝
AB 2－AC 2
A ′
B ′2－A ′
C ′2
＝
k 2A ′B ′2－k 2A ′C ′2A ′B ′2－A ′C ′2
＝k ，∴AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝BC
B ′
C ′，
∴Rt△ABC ∽Rt△A ′B ′C ′．