全等三角形几种类型
全等图形:
能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形:
能够完全重合的多边形就是全等多边形.
相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角. 全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等.
如下图,两个全等的五边形,记作:五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E . 这里符号“≌”表示全等,读作“全等于”.
A'
B'C'D'
E'
E
D
C
B
A
全等三角形:
能够完全重合的三角形就是全等三角形.
全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等;
反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.
全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角.全等符号为“≌”.
全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.
寻找对应边和对应角,常用到以下方法:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角.
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).
要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键.
全等三角形的判定方法:
(1) 边角边定理(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等.
(4) 角角边定理(AAS ):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 判定三角形全等的基本思路:
SAS HL SSS →??
→??→?
找夹角已知两边 找直角 找另一边
ASA AAS
SAS AAS ??
??
??
????
?? 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA
AAS →??→?
找两角的夹边已知两角 找任意一边
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式: ⑴ 平移全等型
⑵ 对称全等型
⑶ 旋转全等型
由全等可得到的相关定理:
⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
⑵ 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上.
⑶ 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角). ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.
⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).
⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质:
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等; ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
它们具有互逆性.
角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式: 1. 由角平分线上的一点向角的两边作垂线,
2. 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形, 3. OA OB =,这种对称的图形应用得也较为普遍,
A
B O
P
P
O
B A A B O
P
三角形中线的定义:三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理: 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
中位线判定定理:经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边. 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点),我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式),尤其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见. 重点:本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定,全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基
础,也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点,特别是几种判定方法,尤其是当在直角三角形中时,HL 的判定是整个直角三角形的重点
难点:本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论,要
把性质定理和推论的条件和结论弄清楚,哪几个是条件,决定哪个结论,如何用数学符号表示,即书写格式,都要在讲练中反复强化
板块一、全等三角形的认识与性质
【例1】 在AB 、AC 上各取一点E 、D ,使AE AD =,连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ,
若12∠=∠,则图中全等三角形共有哪几对?并简单说明理由.
2
1E O
D
C
B
A
【巩固】如图所示,AB AD =,BC DC =,E F 、在AC 上,AC 与BD 相交于P .图中有几对全等三
角形?请一一找出来,并简述全等的理由.
F
A
E P D
C
B
板块二、三角形全等的判定与应用
【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图,AC DE ∥,BC EF ∥,AC DE =.求证:
AF BD =.
F
E
D
C
B
A
【例3】 (2008年宜宾市)已知:如图,AD BC =,AC BD =,求证:C D ∠=∠.
O
D
C
B
A
【巩固】如图,AC 、BD 相交于O 点,且AC BD =,AB CD =,求证:OA OD =.
A
B
C
D
O
【例4】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试)已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB DC =,
BE CF =,B C ∠=∠.求证:OA OD =.
F E O
D
C
B A
【例5】 已知,如图,AB AC =,CE AB ⊥,BF AC ⊥,求证:BF CE =.
F E C
B
A
【例6】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点,且BE CF =.求证:AE BF ⊥.
P
F
E
D
C
B
A
【巩固】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点,GE EF ⊥,GE EF =.求
证:BG CF BC +=.
G
A B
C D
E
F
【例7】 在凸五边形中,B E ∠=∠,C D ∠=∠,BC DE =,M 为CD 中点.求证:AM CD ⊥.
M E
D
C B A
板块三、截长补短类
【例1】 如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作60DMN ∠=?,射
线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系?
N
E
B M A D
【巩固】如图,点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于
点N ,MD 与MN 有怎样的数量关系?
N
C
D
E
B M A
【例2】 如图,AD ⊥AB ,CB ⊥AB ,D M=CM =a ,AD =h ,CB =k ,∠AMD =75°,∠BMC =45°,则AB
的长为 ( )
A . a
B . k C.
2
k h
+ D . h M
D
C
B
A
【例3】 已知:如图,A BCD是正方形,∠F AD=∠F A E. 求证:B E+DF =AE .
F
E
D
C
B
A
【例4】 如图所示,ABC ?是边长为1的正三角形,BDC ?是顶角为120的等腰三角形,以D 为顶点作
一个60的MDN ∠,点M 、N 分别在AB 、AC 上,求AMN ?的周长.
N
M D
C
B
A
【例5】 五边形ABCD E中,AB =AE ,BC +DE =CD ,∠AB C+∠AED =180°,求证:AD 平分∠CDE
C
E
D
B A
板块四、与角平分线有关的全等问题
【例1】 如图,已知ABC ?的周长是21,OB ,OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于D ,且
3OD =,求ABC ?的面积.
【例2】 在ABC ?中,D 为BC 边上的点,已知BAD CAD ∠=∠,BD CD =,求证:AB AC =.
【例3】 已知ABC ?中,AB AC =,BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平
分线.求证:CD BE =.
E
D C
B A
【例4】 已知ABC ?中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,
试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.
O
E
D C
B
A
【例5】 如图,已知E 是AC 上的一点,又12∠=∠,34∠=∠.求证:ED EB =.
E D
C B A
4
32
1
【例6】 (“希望杯”竞赛试题)长方形A BCD 中,AB =4,BC =7,∠BA D的角平分线交BC 于点E ,
E F⊥ED 交A B于
F ,则EF =__________.
A
D
O
C
B
D C B
A
F
E
D
C
B
A
【例7】 如图所示,已知ABC ?中,AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD 上.DE CD =,EF AC =.
求证:EF ∥AB
F
A C
D E B
【巩固】如图,在ABC ?中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交AB
于点G ,若BG CF =,求证:AD 为BAC ∠的角平分线.
F G
E D
C
B
A
【巩固】在ABC ?中,AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点.
求证:AB AC PB PC ->-. C
D B P
A
【例8】 如图,在ABC ?中,2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:AB BD AC +=.
D
C B A
【例9】 如图所示,在ABC ?中,AC AB >,M 为BC 的中点,AD 是BAC ∠的平分线,若CF AD ⊥且交
AD 的延长线于F ,求证()1
2
MF AC AB =
-. M
F
D C
B A
【巩固】如图所示,AD 是ABC ?中BAC ∠的外角平分线,CD AD ⊥于D ,E 是BC 的中点,求证
DE AB ∥ 且1
()2
DE AB AC =+.
E D
C
B A
【巩固】如图所示,在ABC ?中,AD 平分BAC ∠,AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=.
M
D C
B
A
【例10】 如图,ABC ?中,AB AC =,BD 、CE 分别为两底角的外角平分线,AD BD ⊥于D ,AE CE
⊥于E .求证:AD AE =.
H
G D A
B C E
【巩固】已知:AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线,CD AD ⊥,CE BE ⊥,求
证:⑴ DE AB ∥;⑵ ()1
2
DE AB BC CA =++.
E
B
A D C
【例11】 在ABC ?中,MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线,
AM BM ⊥,AN CN ⊥垂足分别是M 、N .求证:MN BC ∥,()1
2
MN AB AC BC =
++ F
E
N M C
B
A
【巩固】在ABC ?中,MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线,AM BM ⊥,AN CN
⊥垂足分别是M 、N .求证:MN BC ∥,()1
2
MN AB AC BC =+-
N M
C
B
A
【巩固】(北京市中考模拟题)如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,过C 作E AB CE 于⊥,并
且)(2
1
AD AB AE +=
,则ADC ABC ∠+∠等于多少?
E
D
C
B
A
【例12】 如图,180A D ∠+∠=?,BE 平分ABC ∠,CE 平分BCD ∠,点E 在AD 上.
① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系. ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系.
E
D
C
B A
版块一、倍长中线
【例1】 已知:ABC ?中,AM 是中线.求证:1()2
AM AB AC <+. M C
B A
【例2】 如图,ABC ?中, D C B A 【例3】 如图,已知在AB C ?中,A D 是BC 边上的中线, E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于 F ,AF EF =, 求证:AC BE =. F E D C B A 【例4】 已知△AB C,∠B =∠C ,D ,E 分别是AB 及AC 延长线上的一点,且BD=CE ,连接DE 交底B C于G ,求证G D=GE . G E D C B A 【例5】 已知AM 为AB C ?的中线,AMB ∠,AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F .求证: BE CF EF +>. M F E C B A 【例6】 在Rt ABC ?中,90A ∠=?,点D 为BC 的中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且ED FD ⊥. 以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形? F E D C B A 【巩固】如图所示,在ABC ?中,D 是BC 的中点,DM 垂直于DN ,如果2222 BM CN DM DN +=+,求证()22214 AD AB AC =+. N M D C B A 【例7】 (2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ?中,F 是斜边AB 的中点,D 、E 分别在 边CA 、CB 上,满足90DFE ∠=?.若3AD =,4BE =,则线段DE 的长度为_________. F E D C B A 版块二、中位线的应用 【例8】 AD 是ABC ?的中线,F 是AD 的中点,BF 的延长线交AC 于E .求证:13 AE AC =. F A D E C B 【例9】 如图所示,在ABC ?中,AB AC =,延长AB 到 D ,使BD AB =, E 为AB 的中点,连接CE 、CD , 求证2CD EC =. E C B A 【巩固】已知△ABC 中,AB =A C,BD为AB 的延长线,且B D=AB ,CE为△AB C的AB 边上的中