第2章 误差理论与误差分析
数据处理方法及应用
?误差的基本概念
?误差的基本性质与处理?误差的合成与分配?测量不确定度
参考资料：
费业泰主编. 误差理论与数据处理（第6版），机械工业出版社, 2010吴石林, 张玘编著. 误差分析与数据处理，清华大学出版社，2010
误差理论与误差分析讲课：钟伟民，研究生楼912，64251250-811，wmzhong@https://www.360docs.net/doc/af9900018.html,
误差理论与误差分析
阐述测量误差的基本概念、误差的表达形式、误差分类、误差来源；给出描述误差大小的精度概念及其与误差类型之间的关系；给出测量中的有效数字概念及其在数据处理中的基本方法；给出了误差的合成以及测量不确定度的概念等。
误差的基本概念
研究误差的意义
z实验方法和实验设备的不完善
z周围环境的影响
z人的认知能力的受限
使得测量和实验所得数据和被测量的真值之间，不可避免产生差异，在数值上表现为误差。
研究误差的意义：
z正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。
z正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。
z正确组织实验过程，合理设计实验方法和选用测量仪器等，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。
误差的基本概念
定义：Δx –测量误差x –测量结果x 0–真值
测量结果与其真值的差异
真值：被测量的客观真实值，是指在观测一个量时，该量本身所具有
的真实大小
理论真值：0
x x x ?=Δ理论上存在、计算推导出来如：一个整圆周角为360°约定真值：国际上公认的最高基准值
如：按定义规定的国际千克基准的值可认为真值是1kg
相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值
仪表检定
定性概念，定量表示
修正值≈-误差
误差的基本概念
绝对误差：
绝对误差=测得值-真值
相对误差：
相对误差=绝对误差/真值
作业
≈绝对误差/测得值
引用误差：一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对误差，采用仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母；绝对值最大的引用误差为仪器仪表的最大引用误差。
引用误差=示值误差/测量范围上限
如：测量范围为5MPaG的压力表，在标定示值为3.8MPaG处的实际压力是3.85MPaG，则该刻度点的引用误差为：
(3.8MPaG-3.85MPaG)/5MPaG=-1%
测量误差来源
测量装置误差
标准量具误差：如氪86灯管、标准线纹尺、标准电阻、标准砝码等，它们本身体现的量值，不可避免地含有误差。
仪器误差：凡用来直接或间接将被测量和已知量进行比较的器具设备，本身都具有误差。
附件误差：仪器的附件及附属工具引起的测量误差。
环境误差
由于各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起的测量装置和被测量本身的变化所造成的误差，如温度、湿度、气压、振动、电磁场等引起的误差。
方法误差
由于测量方法不完善所引起的误差，比如采用近似的测量方法所造成的误差。
人员误差
由于测量人员因习惯等引起的读数误差等。
测量误差分类
测量误差分类
系统误差(system error)：在同一条件下，多次测量同一
量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规
律变化的误差
性质：有规律，可再现，可以预测
原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差
处理：理论分析、实验验证→修正
粗大误差(abnormal error) ：超出在规定条件下预期的
误差，或称为“寄生误差”
性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起原因：装置误差、使用误差
处理：判断、剔除
测量精度
精度：测量结果与真值吻合程度定性概念
准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度；平均值与真值的偏差
精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度；随机误差的标准差
精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度；其定量特征可用测量的不确定度（或极限误差）来表示
如相对误差为0.01%，可笼统说其精度为10-4；若纯属随机误差引起，则说其精密度为10-4；若是由系统误差与随机误差共同引起，则说其精确度为10-4。
精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度也不一定高；但精确度高，则精密度和准确度都高。
测量精度
有效数字与数据运算
有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
如：0.0027，2位有效数字；0.00270，3位有效数字
2.4×103，2位有效数字；2.40×103，3位有效数字
在测量结果中，最末一位有效数字取位由测量精度决定，即最末一位有效数字应与测量精度是同一量级的，是不可靠的，而前一个数字是可靠的。
如：千分尺测量，精度只能达到0.01mm，若测出长度为L=18.231mm，则小数点后第2位数字已不可靠了，此时可取L=18.23mm，则此次测量可以表示为L=(18.23±0.01)mm
有效数字与数据运算
数字舍入规则
1）若舍弃部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1
2）若舍弃部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变3）若舍弃部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数
由于数字舍入而引起的误差称为舍入误差，其舍入误差不超过保留数
字最末位的半个单位。舍入规则第3条规定，使舍入误差成为随机误
差，在大量运算时，其舍入误差的均值趋于0，从而避免以往的四舍
五入规则时，由于舍入误差的累计而产生系统误差。
数据运算规则
在近似运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数据，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字，或称为安全数字。
误差的基本性质与处理
随机误差
对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规定，即前一个误差不能预定下一个误差的大小和方向，但就误差的总体而言，却具有统计规律性。
若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差一般具有：
对称性单峰性有界性抵偿性
服从正态分布
随机误差：正态分布
随机误差：正态分布
5
随机误差：算术平均值
n
随机误差：算术平均值
随机误差：算术平均值
举例
任选参考值65
.18790=l
误差理论与数据处理答案
《误差理论与数据处理》 第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于 真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下， 得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；
粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00 648002066018021802≈=''''''??''=''＝o
第二章 误差和分析数据处理
第二章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。(10)在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：（1）系统误差；校准砝码。 （2）系统误差；校准仪器。 （3）系统误差；校准仪器。 （4）系统误差；控制条件扣除共沉淀。 （5）系统误差；扣除试剂空白或将试剂进一步提纯。 （6）系统误差；在110℃左右干燥后称重。 （7）系统误差；重新选择指示剂。 （8）偶然误差；最后一位是估计值，因而估计不准产生偶然误差。 （9）系统误差；校准仪器。 （10）系统误差；重新选择分析条件。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。
误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 1-9、解： 由2122 4()h h g T π+=，得 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
第二章 误差理论及应用
第二章误差理论及应用 第一节误差的来源与分类 一、误差的来源与误差的概念 每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。 测量值与真值之差称为误差。在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。实际上，误差仍然是存在的。 由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。 二、测量误差的分类 在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。 1．系统误差 在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。在正确的测量结果中不应包含系统误差。 2．随机(偶然)误差 随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。误差的大小以及正负误差的出现，完全由概率决定，没有理由认为误差偏向一方比偏向另一方更为可能。因此，误差与测量的次数有关，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值将逐渐接近于零。因此，多次测量结果的算术平均值将更接近于真值。 3．过失误差 过失误差是一种显然与事实不符的误差，它主要由于测量者粗枝大叶、过度疲劳或操作不正确等引起，例如读错刻度值、记录错误、计算错误等。此类误差无规则可寻，只要多方注意，细心操作，过失误差就可以避免。包含过失误差的测量结果是不能采用的。 第二节系统误差
误差理论与数据处理实验报告
误差理论与数据处理 实验报告 姓名：小叶9101 学号：小叶9101 班级：小叶9101 指导老师：小叶
目录 实验一误差的基本概念 实验二误差的基本性质与处理 实验三误差的合成与分配 实验四线性参数的最小二乘法处理实验五回归分析 实验心得体会
实验一误差的基本概念 一、实验目的 通过实验了解误差的定义及表示法、熟悉误差的来源、误差分类以及有效数字与数据运算。 二、实验原理 1、误差的基本概念：所谓误差就是测量值与真实值之间的差，可以用下式表示 误差=测得值-真值 1、绝对误差：某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差。 绝对误差=测得值-真值 2、相对误差：绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差，因测得值与 真值接近，故也可以近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差。 相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值 2、精度 反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差大小相对应，因此可以用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。 3、有效数字与数据运算 含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。 数字舍入规则如下： ①若舍入部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。 ②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。 ③若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加1。 三、实验内容 1、用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。 2、按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位有效数字进行凑整。 原有数据 3.14159 2.71729 4.51050 3.21551 6.378501 舍入后数据
误差理论第一章课后答案
《误差理论与数据处理》 第1章 习题解答 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】：真值＝100.5Pa ，测得值＝100.2Pa 绝对误差＝测得值—理论真值＝100.2-100.5＝-0.3Pa 1-8在测量某一长度时,读数值为m 31.2,其最大绝对误差为m 20,试求其最大相对误 差。 【解】：最大相对误差≈（最大绝对误差）/测得值，所以：
最大相对误差%1066.8%1002.31 10204-6 -?=??≈ 1-9 使用凯特摆时，由公式由公式()22124T h h g +=π给定。今测出长度()21h h +为()m 00005.004230.1±，振动周期T 为()s 0005.00480.2±。试求g 及其最大相对误差。如果()21h h +测出为()m 0005.00422.1±，为了使g 的误差能小于2/001.0s m ，T 的测量必须精确到多少？ 解：由 ()2 2124T h h g +=π 令 ()21h h h += 得 222/81053.90480 .204230.14s m g =?=π 取对数并全微分得：T T h h g g ?-?=?2 g 的最大相对误差为： % 103625.50480 .20005.0204230.100005.024max max max -?=?+=?-?=?T T h h g g 因为 04790.281053 .90422.114159.34422=??== g h T π 可由 22 T g g h h T g g h h T T ????? ???-?
《误差理论与数据处理(第6版)费业泰》课后习题答案
《误差理论与数据处理》练习题 第一章 绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的 绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。 相对误差=0.3 100%0.3%100.5-?≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2 （h 1 +h 2 ）/T 2 给定。今测出长度（h 1 +h 2 ）为（1.04230 ±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1 +h 2 ）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2 ，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1 +h 2 ）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。 由2 1224()g h h T π=+,得： 22 2 4 1.042309.81053(/)2.0480 g m s π=?= 当12()h h +有微小变化12()h h ?+、T 有T ?变化时，令12h h h =+ g 的变化量为： 22 12121223122 1212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h T h h T T T T h h h h T T πππ???=?++?=?+-+??+??= ?+-+ 22 23224842()g g g h T h h T h T T T T h h T T πππ???=?+?=?-????=?- g 的最大相对误差为：
误差理论与大数据处理作业
第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数 据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理 想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定。 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？ 已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm， 解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L ＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm） 测件的真实长度Ｌ 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa）
误差理论第二章习题答案
2-4测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为，，，，。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 168.41168.54168.59168.40168.50 5 x ++++= 168.488()mA = )(082.01 55 1 2 mA v i i =-= ∑=σ 0.037()5 x mA n σ= = = 或然误差：0.67450.67450.0370.025()x R mA σ==?= 平均误差：0.79790.79790.0370.030()x T mA σ==?= 2-5在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为，，，，。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结 果。20.001520.001620.001820.001520.0011 5 x ++++= 20.0015()mm = 5 2 1 0.0002551 i i v σ== =-∑ 正态分布 p=99%时，t 2.58= lim x x t δσ=± 2.585 =± 0.0003()mm =± 测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=± 2-7用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差mm 004.0=σ，若要求测量结果的置信限为mm 005.0±，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。 正态分布 p=99%时，t 2.58=
lim x t n δ=± 2.580.004 2.064 0.005 4.265 n n n ?= ===取 2-10某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为，，，，，，，，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。 )(34.1020288 1 8 1Pa p x p x i i i i i == ∑∑== )(95.86)18(8 1 8 1 2 Pa p v p i i i xi i x ≈-= ∑∑==σ 2-11测量某角度共两次，测得值为6331241'''= α，''24'13242 =α，其标准差分别为8.13,1.321''=''=σσ，试求加权算术平均值及其标准差。 961:190441 : 1 :2 2 2 1 21== σσp p ''35'1324961 19044' '4961''1619044''20'1324 =+?+?+ =x ''0.3961 1904419044 ''1.32 1 ≈+? ==∑=i i i x x p p i σσ 2-12 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次，测得值如下： ; 5127,0227,5327,037,0227:''''''''''''''' 甲α ;5427,0527,0227,5227,5227:''''''''''''''' 乙α 试求其测量结果。 甲：20"60"35"20"15" 72'72'30"5 x ++++=+ =甲
误差理论与数据处理--课后答案
《误差理论与数据处理》练习题参-考-答-案
第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1－10 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解： 依题意，该电压表的示值误差为 2V 由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。 1-12用两种方法分别测量L 1=50mm ，L 2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
误差理论与数据处理第六课后习题第一章答案
《误差理论与数据处理》 第一章 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？ 解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。1-9、解： 由 2 12 2 4() h h g T π+ =，得 对 2 12 2 4() h h g T π+ =进行全微分，令 12 h h h =+，并令g，h，T代替dg，dh，dT得 2 180 20 00 180'' = -'' 'o o % 000031 .0 1 0000030864 .0 64800 2 06 60 180 2 180 2 ≈ = '' '' '' ? ? '' = '' ＝ o
误差理论与数据处理第5版 费业泰答案.
《误差理论与数据处理》练习题 参考答案 第一章绪论 1－1 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解： 绝对误差等于： 相对误差等于：1-4在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20，试求其最大相对误差。 1－6 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电表是否合格? 解： 依题意，该电压表的示值误差为 2V 由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。 1-6检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？
该电压表合格 1-8用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。测得值各为50.004mm，80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L1:50mm L2:80mm 所以L2=80mm方法测量精度高。 1－9 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 多级火箭的相对误差为： 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 1-10若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为和；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为，试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差
第三种方法的测量精度最高 第二章误差的基本性质与处理 2－4 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 解： 2—5 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm为20．0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。 解： 求算术平均值 求单次测量的标准差 求算术平均值的标准差 确定测量的极限误差
误差理论与数据处理第一章答案
《误差理论与数据处理》 《误差理论与数据处理》 习题答案 习题答案
主讲：王雅琳 wyllesson@https://www.360docs.net/doc/af9900018.html,
第一章 绪 论
1-1测得某三角块的三个角度之和为180°00′02″， 试求测量的绝对误差和相对误差。 绝对误差=02″ 相对误差≈3.1×10-4% 1-3用二等活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力 用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力 计测量值的误差为多少。 绝对误差=-0.3Pa
2
第一章 绪 论
1-4 在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最 大绝对误差为20um，试求其最大相对误差。
绝对误差max ×100% 相对误差 max = 测得值 20 ×10 = × 100% 2.31 -4 = 8.66 × 10 %
-6
3
给定。今测出长度 ( h1 + h 2 ) 为
2 4π（h1 + h2） 1-5 使用凯特摆时，由公式 g = 2 T
(1.04230 ± 0.00005)m , 振动时间 T 为
(2.0480 ± 0.0005)s 。试求 g 及最大相对
误差。如果 ( h1 + h2 ) 测出为
(1.04220 ± 0.0005)m，为了使g的误差 2 能小于 0.001m / s ，T 的 测量必须精确
到多少？ ,
4
解：由
4π 2 ( h1 + h 2 ) g = T2
2
得
4π × 1.04230 g = ＝9.81053 m / s 2 , 2.0480
4π 2 (h1 + h2 ) 进行全微分，令 对 g= 2 T
h = h1 + h2
5
误差理论与数据处理-实验报告
《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月
实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为：',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为：',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]);
p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断暂不存在粗大误差if g1 第二章：误差及分析数据的统计处理 思考题 １．正确理解准确度和精密度，误差和偏差的概念。 答：准确度是测定平均值与真值接近的程度，常用误差大小来表示，误差越小，准确度越高。精密度是指在确定条件下，将测试方法实施多次，所得结果之间的一致程度。精密度的大小常用偏差来表示。 误差是指测定值与真值之差，其大小可用绝对误差和相对误差来表示。偏差是指个别测定结果与几次测定结果的平均值之间的差别，其大小可用绝对偏差和相对偏差表示，也可以用标准偏差表示。 ２．下列情况分别引起什么误差？如果是系统误差，应如何消除？ （1）砝码被腐蚀； （2）天平两臂不等长； （3）容量瓶和吸管不配套； （4）重量分析中杂质被共沉淀； （5）天平称量时最后一位读数估计不准； （6）以含量为99%的邻苯二甲酸氢钾作基准物标定碱溶液。 答：（1）引起系统误差，校正砝码； （2）引起系统误差，校正仪器； （3）引起系统误差，校正仪器； （4）引起系统误差，做对照试验； （5）引起偶然误差； （6）引起系统误差，做对照试验或提纯试剂。 ３．用标准偏差和算术平均偏差表示结果，哪一种更合理？ 答：用标准偏差表示更合理。因为将单次测定值的偏差平方后，能将较大的偏差显著地表现出来。 ４．如何减少偶然误差？如何减少系统误差？ 答：在一定测定次数范围内，适当增加测定次数，可以减少偶然误差。 针对系统误差产生的原因不同，可采用选择标准方法、进行试剂的提纯和使用校正值等办法加以消除。如选择一种标准方法与所采用的方法作对照试验或选择与试样组成接近的标准试样做对照试验，找出校正值加以校正。对试剂或实验用水是否带入被测成 分，或所含杂质是否有干扰，可通过空白试验扣除空白值加以校正。 ５．某铁矿石中含铁39.16%，若甲分析得结果为39.12%，39.15%和39.18%，乙分析得39.19%，39.24%和39.28%。试比较甲、乙两人分析结果的准确度和精密度。 解：计算结果如下表所示 由绝对误差E可以看出，甲的准确度高，由平均偏差d和标准偏差s可以看出，甲的精密度比乙高。所以甲的测定结果比乙好。 ６.甲、乙两人同时分析一矿物中的含硫量。每次取样3.5g，分析结果分别报告为甲：0.042%，0.041%乙：0.04199%，0.04201% .哪一份报告是合理的？为什么？ 答：甲的报告是合理的。 因为取样时称量结果为2位有效数字，结果最多保留2位有效数字。甲的分析结果是2位有效数字，正确地反映了测量的精确程度；乙的分析结果保留了4位有效数字，人为地夸大了测量的精确程度，不合理。 《误差理论与数据处理》练习题参考答案 第一章 绪论 1－1 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1－6 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解： 依题意，该电压表的示值误差为 2V 由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。 1－9 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 多级火箭的相对误差为： 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 第二章 误差的基本性质与处理 2－4 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 解： )(49.1685 5 1 m A I I i i == ∑= 08.01 5) (5 1 =--= ∑=i I Ii σ 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o %001.000001.010000 1 .0==%002.00002.05001.0501===m m m cm 05.008.03 2 1 5) (3 25 1 =?= --≈ ∑=i I Ii ρ 06.008.05 4 1 5) (5 45 1 =?= --≈ ∑=i I Ii θ 2—5 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20．0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。 解： 求算术平均值 求单次测量的标准差 求算术平均值的标准差 确定测量的极限误差 因n ＝5 较小，算术平均值的极限误差应按t 分布处理。 现自由度为：ν＝n －1＝4； α＝1－0.99＝0.01， 查 t 分布表有：ta ＝4.60 极限误差为 写出最后测量结果 2－8 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm ，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm ，而置信概率P 为0.95时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有 0015.0≤±=±n t t x σ σ 根据题目给定得已知条件，有 5.1001 .00015 .0=≤ n t mm n l x n i i 0015.201==∑ =mm n v n i i 481 2 1055.2410261--=?=?=-=∑ σmm n x 44 1014.151055.2--??==＝σσmm t x x 44lim 1024.51014.160.4--?=??±=±=σδα() mm x x L 4lim 1024.50015.20-?±=+=δ 误差理论与水文测验误差分析 第三章流量测验 第六讲 一、动船法测流 （一）动船法测流的基本原理 动船法测流是流速仪置于水下某一深度（例如1m）并固定在测船上，测船沿着预定的与水流方向基本垂直的横断面，由一岸向另一岸不停地横渡，沿程按一定间距或一定时间采集测点数据（包括起点距、水深和流速的数据）。在横渡时，测船应尽可能在断面线上。 在测船横渡的过程中，回声测深仪记录横断面的几何形状，连续运转的流速仪测出水流与船的合成速度。在断面线采集到大约30～40个观测点的资料，据此可以推算流量。 在横断面上的每一观测点记录的流速是矢量，它代表水流与船的合成速度 v v ，即水流速度V 与测船航速 b v 的矢量和。欲求得水流速度 v ，有三种方法： 第一种，测量 v v 和 α,则 αsin v v v = （3—58） 第二种，测量 b v 和 α,则 αtg v v b = 第三种，测量 b v 和 v v ,则 22b v v v v -= 而 i i i b t l l v 1--= 式中： α——断面线（航线）与流速仪轴线之间的夹角； 1,-i i l l ——第i 及i-1测点到岸上固定标志的距 离； i t ——测船横渡部分宽度所需时间。 从图可知，测 点间距为： ?=dt v L v b αcos 式中： b L ——测船沿断面线横渡时两相邻测点的间距。 假定 α保持不变，可作为一个常数处理，则上式可改写成： ?≈dt v L v b αcos ?=dt v L v v 则 αcos v b L L ≈ 式中: v L ——水流通过两相邻测点之间的相对距离。 求出水流流速v 及两相邻测点的间距 b L ，由回声测深仪测得水深h ，就能计算部分流量，从而求得断面流量，计算方法同流速仪测流方法。 （二）改正系数 1．宽度改正系数 由上式计算的 b L ，是假定速度矢量间存在着直角三角形的关系，事实上由于水流与断面往往不垂直，因此所计算的 b L 就会使宽度有偏大或偏小的现象存在。因此，必须进行改正。在断面上的两浮子之间的宽度可以实测，各测点间计算宽度的总和 ∑=αcos v c L B ,而实际宽度为 m B ,则宽度改正系数 B K 为： C m B B B K = 然后按此改正系数 B K 改正所测的总面积和总流量。 2．流速改正系数 在动船法测流过程中，因流速仪安装在水下约1m 的固定深处测速，所以测得的流速v 不是垂线的平均流速 m v ，因此必须加以改正。流速改正系数 v K 为： v v K m v = 第四章误差理论与水文测验误差分析 第一讲 一、误差的基本概念 科学是从测量开始的，对自然界所发生的量变现象的研究，常常需要借助于各种各样的实验与测量来完成。由于受认识能力和科学水平的限制，实验和测量得到的数值和它客观真值并非完全一致，这种矛盾在数值上的表现即为误差。人们经过长期的观察和研究已证实误差产生有必然性，即测量结果都具有误差，误差自始自终存在于一切科学实验和测量过程中。 在科学研究和实际生产中，通常需要对测量误差进行的控制，使其限制在一定范围内，并需要知道所获得的数值的误差大体是多少。一个没有标明的误差的测量结果，几乎是一个没有用的资料。因此，一个科学的测量结果不仅要给出其数值的大小，同时要给出其误差范围。研究影响测量误差的各种因素，及测量误差的内在规律，对带有误差的测量资料进行必要的数学处理，并评定其精确度等，是水文测验工作中的又一项重要的工作。 二、真值和真误差 由于受观测者感觉器官的鉴别能力，测量仪器精密灵敏程度，外界自然条件的多样性及其变化，以及目标本身的结构和清晰状况等，都直接影响观测质量，使观测结果不可避免地带有或大或小的误差。一般将直接与观测有关的人、仪器、自然环境及测量对象这四个因素，合称为测量条件。显然，测量条件好，产生的误差小；测量条件差，产生的误差大；测量条件相同，误差的量级应该相同。测量条件相同的观测，称为等精度观测。反映一个量真正大小绝对准确的数值，称为这一量的真值。与真值对应，凡以一定的精确程度反映这一量大小的数值，都统称之为此量的近似值或估计值（包括测得值、试验值、标称值、近似计算值等），又简称估值。一个量的观测值或平差值，都是此量的估值。 设以X表示一个量的真值，L表示它的某一观测值，Δ表示观测误差，则有： Δ= L – X 其中：Δ是相对于真值的误差，称为真值误差，也称绝对误差。 真值通常是未知的，通常情况下真误差也无法获得。只有在一些特殊情况下，真值有可能预知，如平面三角形三内角之和为180度；同一值自身之差为零，自身之比为1等。 三、误差分类 测量误差按性质可分为以下三类： 误差理论与数据处理答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－＝（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 ，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： －＝－（ Pa ） 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00 648002066018021802≈=''' '''??''=''＝o第二章误差分析数据的统计处理
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