第十六章压杆稳定
第十六章 压 杆 稳 定
一、内容提要
1. 概念
稳定平衡 构件受力作用且经干扰后能保持原有平衡状态，称之为稳定平衡。
失稳 构件受力作用且经干扰后不能保持原有平衡状态，构件为不稳定平衡，即为压杆丧失稳定性，简称失稳。
临界力 临界平衡状态时作用在压杆上的压力。
2. 临界力或临界应力
细长压杆用欧拉公式
22)(l EI F cr μπ= 22λ
πσE cr = 中长压杆用经验公式
σcr =a －b λ
2 3. 压杆稳定计算
稳定条件
σ=A
F N ≤?[σ] 利用稳定条件可解决三方面问题
1. 压杆稳定校核
2. 计算压杆或结构的许用荷载
3. 确定压杆截面尺寸
二、典型例题解析
例16-1 图16-1所示压杆均为圆形截面细长压杆，各杆所用的材料及直径均相同。当压力从零开始以相同的速率增加时，问哪根杆最先失稳？
图16-1
知识点 压杆的临界力与失稳
解 临界力小的杆首先失稳。各杆均为细长压杆，临界力均用欧拉公式计算
A E F cr ?λ
π=22 由已知条件可知各杆EA 均相同。所以λ最大者临界力最小，杆最先失稳。
λ=i
l μ 各杆i 均相同，只需比较μl 的大小。 a 杆：μl =2a
b 杆：μl =1.3a
c 杆：μl =1.12a
a 杆的μl 最大，即λ最大，a 杆最先失稳。
例16-2 图16-2a 为一螺旋千斤顶，最大承载压力F P =120kN ，材料为Q235钢，[σ]=80MPa ，丝杠长l =500mm ，丝杠为圆形截面（轧制），直径D=52mm ，试校核其稳定性。
图16-2
知识点 压杆稳定性校核
解 （1）计算柔度
丝杆可简化为下端固定上端自由的压杆，见图16-2b
μ=2
i=mm mm d 134524== 柔度λ=13
5002?=i l
μ=77＜100 属于中长杆 (2) 稳定性校核
查教材表16-4得 ?=0.801
?[σ]=0.801×80MPa=64.08MPa
工作应力 σ=2
35214.3410120???=A F P MPa=56.5MPa ＜64.08MPa 稳定性满足要求.
三、思考题提示或解答
16-1 图示矩形截面杆，两端受轴向压力F 作用。设杆端约束条件是：在xy 平面内两端视为铰支；在xz 平面内两端视为固定端。试问该压杆的b 与h 的比值等于多少时，才是合理的？
思 16-1图
提示 在xy 平面内弯曲时z 为中性轴；在xz 平面内弯曲时y 为中性轴。使b 与h 的比值最合适时两个平面内的临界力相等。b/h=0.5
16-2 有一圆截面细长压杆，试问：（1）杆长增加一倍；（2）直径d 增加一倍。临界力各有何变化？
提示 按欧拉公式分析。
（1）杆长增加一倍时，临界力为原来的1/4
（2）直径d 增加一倍时，临界力为原来的16倍。
16-3 根据柔度大小，可将压杆分为哪些类型？这些类型压杆的临界应力σcr 计算式是什么？分别属于什么破坏？
解答 根据柔度大小，可将压杆分为细长、中长、短粗三类；
细长压杆临界应力用欧拉公式 σcr =22λ
πE 中长压杆临界应力用经验公式 σcr =a －b λ
2 短粗压杆临界应力用极限应力 σcr =σs 或σcr =σb
16-4 图示各种截面形状的中心受压直杆两端为球铰支承，试确定在压杆失稳时，将绕横截面的哪根轴转动。
思 16-4图
提示 压杆失稳时将绕惯性矩最小的轴转动。
16-5 图示四根压杆的材料及截面均相同，试判断哪个杆的临界力最大？
思16-5图
解答 柔度λ与临界力成反比，柔度λ最小的杆临界力最大。
λa =4l/i λb =5l/i
λc =4.9l/i λd =4.5l/i
λmin =λa =4l/i
所以a 杆的临界力最大.
16-6 试判断以下两种说法是否正确？
（1）临界力是使压杆丧失稳定的最小荷载。
（2）临界力是压杆维持直线稳定平衡状态的最大荷载。
解答 （1）正确；（2）不正确
16-7 何为折减系数？它随哪些因素变化？
提示 折减系数就是稳定系数；它随材料、柔度、截面类型而变。
16-8 何为柔度？柔度表征压杆的什么特性？它与哪些因素有关？
提示 柔度表征压杆的长细特性；它与压杆的支承情况、长度、截面形状及尺寸有关。
四、课后习题解答
题16-1～16-5为计算临界力
16-1两端铰支的№22a 工字钢的细长压杆。已知杆长l =6m ，材料Q235钢，其弹性模量E=200GPa 。试求该压杆的临界力。
题16-1图
解 细长压杆的临界力用欧拉公式计算 两端铰支 μ=1
查型钢表得 I min =225cm
4 F cr =N l EI 2
34
3222)1061(102251020014.3)(??????=μπ=123kN 16-2 一端固定一端铰支的圆截面细长压杆。已知杆长l =3m ，d =50mm ，材料Q235钢，其弹性模量E =200GPa 。试求该杆的临界力。
题16-2图
解 细长压杆的临界力用欧拉公式计算
一端固定另一端铰支 μ=0.7 圆截面的惯性矩 I=
644d π F cr =N l EI 234
3222)
1037.0(645014.31020014.3)(??????=μπ=137kN 16-3 图示结构由两个圆截面杆组成，已知二杆的直径d 及所用材料均相同，且二杆均为细长杆。问：当F P 从零开始逐渐增加时，哪个杆首先失稳？（只考虑图示平面）
题16-3图
解 (1) 求每根杆的压力
取B 点研究，如题解16-3图。
题解16-3图
由平衡方程
∑F x =0 得 F NAB cos45°－F NBC cos30°=0
∑F y =0 得 F NAB sin45°＋F NBC sin30°－F P =0
解方程得 F NAB =0.896F P
F NBC =0.732 F P 即 F NAB =1.22 F NBC
(2) 求每根杆的临界力
F crAB =22)(AB l EI μπ F crBC =2
2)(BC l EI μπ 由于两杆的μ EI 均相同，所以
22AB
BC crBc crAB l l F F ==2 (3) 判断失稳
压力先达到临界力的杆先失稳
当BC 杆上的压力达到临界力时 F NBC = F crBC BC 杆开始失稳时。
此时 AB 杆的压力为 F NAB =1.22 F NBC =1.22 F crBC ＜F crAB AB 杆仍处于稳定平衡状态 所以BC 杆先失稳。
16-4 图示压杆由Q235钢制成，材料的弹性模量E =200GPa 。在xy 平面内，两端为铰支；在xz 平面内，两端固定。试求该压杆的临界力。
题16-4图
解 查表可知Q235钢的λP =100
(1) 在xy 平面内，中性轴为z 轴
λz =12
40
104.213??=z z i l
μ=208＞100 按欧拉公式计算临界力
F cr =2
322220840601020014.3????=λπEA N=246kN (2) 在xz 平面内，中性轴为y 轴
λy =12
60
104.25.03??=y y i l
μ=69＜100 按经验公式计算临界力
F cr =(235－0.00668λ2)A=(235－0.00668×692)×60×40N=488kN
(3) 该压杆的临界力为两个平面内临界力中的较小值
F cr =246kN
16-5 两端铰支的木柱横截面为120mm×200mm 的矩形，l =4m ，木材的弹性E =10GPa, σp =20MPa 。试求木柱的临界应力。（提示：若需经验公式，可用σcr =28.7-0.19λ）
解 λP =20
101014.33??=P E
σπ=70.21 λ=1212010413
??=i
l
μ=115.47＞λP 木柱为细长压杆，按欧拉公式计算临界应力
σcr =2
4
22247.1151014.3?=λπE MPa=7.39 MPa 题16-6～16-9为压杆的稳定计算问题
16-6 图示三角架中，BC 为圆截面杆(扎制)，材料为Q235钢。已知F P =12kN ，a =1m ，d =40mm ，材料的许用应力[σ]=170MPa 。
（1）校核BC 杆的稳定性；
（2）从BC 杆的稳定条件考虑，求此三角支架所能承受的最大荷载F Pmax 。
题16-6图 解 (1) 校核BC 杆的稳定性
λ=10
101213
???=i l
μ=141 圆截面杆(扎制)为a 类，查教材表16-4
得 ?=0.378 ?[σ]=0.378×170MPa=64.26MPa
取B 点研究求BC 杆的压力。如题解16-6图
题解16-6图
由平衡方程 ∑F y =0
得 F NBC sin45°－F P =0
F NBC =2212450?=Sin F P
kN=16.97kN
又 σ=2
34014.341097.16???=A F NBC MPa=13.51MPa ＜?[σ] BC 杆稳定
(2) 求最大荷载
由 σ=A
F NBC ≤][σ? 得 F NBC ≤][σ?A=0.378×170×4
4014.32
?N=80.71kN 又由题解16-6图可知
F P =F NBC sin45°≤80.71×0.707kN=57.06kN
故 F Pmax =57.06kN
16-7 结构及受力如图示,试作梁ABC 的强度与柱BD 的稳定校核。梁ABC 为№22b 工字
钢，[σ]=170Mpa ；BD 杆为圆截面木杆，直径d =160mm ，木杆的许用应力[σ]=10MPa 。
题16-7图
解 (1) 求BD 杆的压力及梁ABC 的弯矩
取梁ABC 为研究对象，如题解16-7图a
题解16-7图
由平衡方程
∑M A =0 F NBD ×3－10×3×1.5－50×4=0
得 F NBD =81.67kN
梁ABC 的弯矩图见题解16-7图b
|M|max =50kN ·m
(2) 校核梁ABC 的强度
查型钢表得 W z =325cm
3 σmax =3
6
max 103251050??=z W M MPa=153.85MPa ＜[σ] 梁ABC 的强度满足要求.
(3) 校核BD 的稳定性
λ=416010313
??=i
l
μ=75＜91 22)65
75(11)65(11
+=+=λ
?=0.43 σ=2
316014.341067.81???=A F NBD MPa=4.06MPa ＜?[σ]=4.3MPa BD 杆满足稳定性要求
16-8 图示托架的斜撑BC 为圆截面木杆，材料的许用压应力[σ]=10MPa 。试确定斜撑BC 所需直径d 。
题16-8图
解 (1) 求BD 杆的压力，取AD 研究如题解16-8图
题解16-8图
由平衡方程
∑M A =0 得
(F NBC sin30°×2.4－50×3.2×1.6)kN=0
F NBC =213.33kN
(2) 求直径
由题16-8图可得
l BC =0
30cos 4.2m=2.77m 第一次试算。 设1?=0.5
由稳定条件 σ=A
F NBC ≤?[σ] 得 A 1≥10
5.01033.213][31??=σ?NBC F mm 2=42666mm 2 d 1≥14
.342666441
?=πA mm=233.14mm 取d 1=233.14mm
λ1=414.2331077.213
??=i
l
μ=47.5＜91 1221
'165.0)65
5.47(11)65(11
?λ?与=+=+==0.5相差较大 第二次试算。 设2
65.05.02'112+=+=???=0.58 A 2≥10
58.01033.213][32??=σ?NBC F mm 2=36781mm 2 d 2≥14
.336781442
?=πA mm=216.46mm 取d 2=216.46mm
λ2=446.2161077.213
??=i
l
μ=51.2＜91 2222
'262.0)65
2.51(11)65(11
?λ?与=+=+==0.58相差较大 第三次试算。 设2
62.058.02'223+=+=???=0.6 A 3≥10
6.01033.213][33??=σ?NBC F mm 2=35555mm 2 d 3≥14
.335555443
?=πA mm=212.8mm 取d 3=213mm
λ3=42131077.213
??=i
l
μ=52＜91
3223
'361.0)65
52(11)65(11
?λ?与=+=+==0.6较接近 取d=213mm 校核稳定性
35555
1033.2133?==A F NBC σMPa=6MPa ＜]['3σ?=6.1 满足稳定要求，故取d=213mm
16-9 图示压杆是由两根№18a 槽钢组成，杆两端为铰支。已知杆长l =6m ，两槽钢之间的距离a =0.1m ，材料的许用应力[σ]=170MPa 。试求该压杆能承受的最大荷载。
题16-9图
解 (1) 求柔度λ
查型钢表得 I z1=1272.7cm 4 I y1=98.6cm 4 A=25.69cm 2 Z 0=1.88cm
图示截面的惯性矩为
I z =2 I z1=2545.4 cm 4
I y =2[I y1＋A(Z 0＋a/2)2]=2629.24 cm 4
I min = I z =2545.4 cm 4 i min =7.04cm
λmax =04
.76001min ?=i l μ=85.2 图示截面属b 类，查教材表16-5得
?=0.655 (2) 计算最大荷载
由稳定条件 σ=A
F ≤?[σ] 得 F ≤A ?[σ]=(2×25.69×102×0.655×170)N=572.1Kn
所以 F Pmax =572.1Kn
《材料力学》压杆稳定习题解
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。 ?
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动） 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ \ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2).2(l EI P cr π=
工程力学 第十二章 压杆的稳定性 课后习题答案
第十二章 压杆的稳定性 12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==， 1.0;l m =（3）16号工字钢， 2.0l m =。 解：结构为两端铰支，则有22 1,0,lj EI P l πμ== (1)圆截面杆，4 34 932(0.025),2001037.61037.664 (1.0)64 lj d I P kN ππ?== ??=?=? (2)矩形截面杆， 323123493 2 2020401040,20010531053121212(1.0) lj bh I mm P N kN π-???==?=??=?=? (3)16号工字查型钢表知 284 932 113010200 1130,1046110461(2.0) lj I cm P N kN π-???== ?=?= 题12-1图 题12-2图 12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。
解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2 k EI ρ = ，则有微分方程： 2 2 V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++ 边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=- 0,0x v '==（转角为零），0A k ?=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=- 因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ?=，由于0δ≠，可得：cos 0,2 kl kl π == （最小值） 而2 k EI ρ = ，得22 (2)lj EI P l π= 注：由cos 0kl =，本有02 kl n π π=+ >，计算可见0n =（2 kl π = 时），对应的P 值 是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。 12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。 解：92.6,52.5,s P s a b σλλ-=== =式中338, 1.22a b == s σσs p 50 题12-3图 12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢， 210E GPa =。两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ） 的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。试求此杆的临界应力lj P 。
(整理)压杆稳定计算.
第16章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5 图16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于
第十一章压杆稳定
第十一章 压杆稳定 是非判断题 1 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。（ ） 2 同种材料制成的压杆，其柔度愈大愈容易失稳。（ ） 3 细长压杆受轴向压力作用，当轴向压力大于临界压力时，细长压杆不可能保持平衡。（ ） 4 若压杆的实际应力小于欧拉公式计算的临界应力，则压杆不失稳（ ） 5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（ ） 6 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，则其临界力也必定相同。（ ） 7 若细长杆的横截面面积减小，则临界压力的值必然随之增大。（ ） 8 压杆的临界应力必然随柔度系数值的增大而减小。（ ） 9 对于轴向受压杆来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。 （ ） 填空题 10 在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 以及 等不利因素的影响。 11 按临界应力总图，1λλ≥的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；1 2λλλ≤≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；2λλ≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 。 12 理想压杆的条件是① ；② ；③ 。 13 压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 ；所以在计算临界压力时，都采 用 的横截面面积A 和惯性矩I 。 14 图示两端铰支压杆的截面为矩形，当其失稳时临界压力F cr = ，挠曲线位于 平 面内。 z C 题15图 15 图示桁架，AB 和BC 为两根细长杆，若EI 1＞EI 2，则结构的临界载荷F cr = 。 16 对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。 17 提高压杆稳定性的措施有 ， ，以及 和 。 18 细长杆的临界力与材料的 有关，为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强度钢不经济， 原因时 。 19 b 为细长杆，结构承载能力将 。 B P
第十四章 轴向压杆的稳定计算
第十四章轴向压杆的稳定计算 【教学要求】 了解压杆稳定与失稳的概念； 理解压杆的临界力和临界应力的概念； 能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力； 熟悉压杆的稳定条件及其应用； 了解提高压杆稳定性的措施。 【重点】 1、计算临界力。 2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法【难点】 折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。 【授课方式】课堂讲解 【教学时数】共计4学时 【教学过程】 ?14.1 压杆稳定的基本概念0.5学时?14.2 压杆的临界力和临界应力 1.5学时★14.3 压杆的稳定条件及其应用 1.5学时?14.4 提高压杆稳定性的措施0.5学时【小结】 【课后作业】 ?14.1 压杆稳定的基本概念 ?
? 有实例提出问题，总结引申新的课题。 1、概念 压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。 压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。 研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。 在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。 2、平衡状态的稳定性 当P ＜cr P ，时，是稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，是随遇平衡状态，这种状态称为临界平衡状态 当P ＞cr P 时，是不稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，压杆的平衡状态是介于稳定和不稳定之间的临界平衡状态，因此定值cr P 。 3、压杆临界力F cr 14.2 压杆的临界力和临界应力 临界力的影响因素 临界力F cr 的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关： 杆的长度l 、抗弯刚度EI 、杆端支承。 14.2.1临界力的欧拉公式 22()cr EI P l πμ= 适用条件：弹性范围内。 式中，EI 称为压杆的抗弯刚度， I 是截面对形心轴最小的惯性矩。
材料力学_陈振中_习题第十四章压杆稳定
第十四章 压 杆 稳 定 14.1某型柴油机的挺杆长度l =25.7cm,圆形横截面的直径d =8mm,钢材的E=210Gpa,MPa p 240=σ。挺杆所受最大压力kN P 76.1=。规定的稳定安全系数 5~2=st n 。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支，μ=1, 1294 /008.0257.01== =?i l μλ 而 9.926 9 22102401021014.31== = ???p E σπλ 1λλ 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 kN P L EI lj 30.62 644 )5108(14.3922 2 ) 257.01(1021014.3)(== = ?? ??-??μπ 58 .376.130 .6=== P P lj n 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm ，内径d =44mm,l =950mm.材料为30CrMnS i N i 2A, 试求斜撑杆的临界压力lj P 和临界应力 lj σ。（原图见教材P173.）(GPa E MPa MPa p b 210,1200,1600===σσ) 解：斜撑两端按铰支座处理， 5 .419 .55017.0044.0052.06 921012001021014.31017.095.01224 1224 1 == = ====+= += ????p E i l m d D i σπμλλ 1λλ ，可用拉欧公式计算 2 )044.0052.0(1040164 ) 044.0052.0(14.3) 95.01(1021014.3)(/665401224 3 4 49 222m MN kN P A P lj l EI lj lj == = =?= = -?-???π σμπ 14.5三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,MPa s 240=σ.两端均为铰支，长度分别为l 1l 2和l 3，且m l l l 532321===。试求各杆的临界压力lj P 。 解：对于A3钢 1.57,10012 .1240 3042===≈--b a s σλλ 分别计算三杆的柔度 3 .31)3(5.62)2(125)1(4 /16.025.114/16.05.214/16.05 13 32 21 1== = ======???i l i l i l μμμλλλ
《材料力学》第9章压杆稳定习题解.pdf
第九章压杆稳定习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆， 按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式 2 2 l EI P cr 。试分析当分别取图 b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得 cr F 公式又 是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )(" x M EIw 。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)(" x M EIw ，显然，这微分方程与（ a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关， 与坐标系的选取、挠曲线的 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： 2 2 l EI P cr 。
[习题9-2]图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为：22 ) .(l EI P cr 。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与原压相的相当长度 l 的平方成反比，其中， 为与约束情况有关的长 度系数。（a ）m l 551（b ）m l 9.477.0（c ）m l 5.495.0（d ）m l 422（e ）m l 88 1（f ） m l 5.35 7.0（下段）； m l 5.25 5.0（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接， 但第一根杆（图a ）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为 2 min 2 ) .2(l EI P cr ？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
压杆稳定性最新计算
停车库的受力分析计算 一、停车状态如下图所示 二、分析立柱受力并校核 已知：立柱截面为环形，令钢管厚度﹩=(D-d)/2为20mm 即D-d=0.02,材料选为45#， 屈服强度s σ≥355Mpa,安全系数n 取为1.5，弹性模量取为210Gpa ，泊松比取为0.26。 解：简化模型如图1所示,显然Mx>My,故按照Mx 情况进行校核。板自重m1=500Kg ，小车自重为m2=2000Kg 。分析立柱受力知其受压力和弯矩（包含风载）， 故：需校核其强度 即，[]σσ≤ 1、起升载荷Q 的确定 起升载荷包括允许起升的最大汽车重量、以及载车板，因起 升高度＜50米，故钢丝绳质量不计。 因起升速度≤R v 0.2m/s,故起升载荷动载系数2?05.1min ==? 故，()2221m ???+=?=g m Q F 2、 风载荷W P 的确定 qA CK P W h = C ——风力系数，用以考虑受风结构物体型、尺寸等因素对风压的影响 h K ——风力高度变化系数 q ——计算风压() 2/m N A ——立柱垂直于风向的迎风面积() 2m 正视图左视图
1） 计算风压q 风压计算公式为 2613.0q v = 风压按照沿海地区工作状态风压计算v=20m/s,故q=245.22 m /N 风压按照工作状态下的最大计算风压计算，此时q 取2502m /N ，故最终q 取250 2m /N 。 2） 风力系数C 因为离地面高度≤10m,按照海上及海岛2 .010?? ? ??h ，风压高度变化系数h K 取1.00 因为是圆管结构且10q 2≈d （q 为计算风压，d 为圆管直径），故C 取0.9 3） 迎风面积A t A A ψ= ψ——结构的充实率，t A A = ψ，钢管桁架结构ψ值取0.2-0.4，故0.3 t A ——结构或物品外形轮廓面积在垂直于风向平面上的投影() 2m h D A t =() 2m D ——立柱外径；h ——立柱高度 D D qA CK P W 675 325000.19.0h =????== 3、 强度校核1 []n s σσσ= ≤ 即[]σσ≤+= W M A F max cmax 令W M A F + = σ 2??=Q F ;()g m m Q 21+= () 22 4 d D A -= π 21M M M += M1——由重力引起的弯矩；M2——由风载引起的弯矩 ()3.121m 1?+=g m M ;h P M W *=2 1 2
第十三章-压杆稳定
第十三章 压杆稳定 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。 1.2 临界压力 细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。 1.3 稳定计算 为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： st cr n F F n ≥= －稳定条件 2 重点与难点及解析方法 2.1临界压力 临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。 2.2稳定计算 压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。 解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据 柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。 3典型问题解析 3.1 临界压力
mm .h A I i min 55113 2===mm .a A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。 [解] 压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时 λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力 (2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时 所以 9.12910 55.113 5.031=??==-i l μλkN 37521 21=?=?=A E A F cr cr λπ σ 0.7d 图13－1
材料力学_陈振中_习题第十四章压杆稳定
第十四章压杆稳定 14.1某型柴油机的挺杆长度l=25.7cm,圆形横截面的直径d=8mm,钢材的 E=210Gpa, ；「p =240MPa 。挺杆所受最大压力 n st = 2 ~ 5。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支， 尸1, ，=银黑=129 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径 内径d=44mm,l=950mm.材料为30CrMnS i N i 2A,试求斜撑杆的临界压力 P lj 和临界应力 Gj 。(原图见教材 P173.) (6 =1600MPa,；「p = 1200MPa ,E = 210GPa ) 解：斜撑两端按铰支座处理, i =4-D 2 d 2 =1、0.0522 0.0442 = 0.017m 「縣=55.9 ■ - '1，可用拉欧公式计算 14.5三根圆截面压杆，直径均为 d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,匚s = 240 MPa 俩 端均为铰支，长度分别为 hb 和b ，且h =212 = 3I 3 =5m 。试求各杆的临界压力 P lj 。 分别计算三杆的柔度 P =1.76kN 。规定的稳定安全系数 =92.9 3.142 210 109 彳14(8 10 色)4 4 (1W.257)2 二 6.30kN P lj 6.30 n = 百=彳76 = 3.58 D=52mm , 3.14 210 109 1200 106 = 41.5 3.142 210 109 (1 0.95) 4 4 3.14(0.052" -0.0444) 64 = 401kN lj _ 401 103 _ -4 '(0.0522 -0.0442) 2 = 665MN /m 2 解：对于A3钢 100,十晋=57.1 '(1) (2) (3) =口 125 i 1 0.16/4 125 二.农=1 2.5 i 2 二— i 0.16/4 二 62.5 =31.3 /. 1 2 9 3.142 210 109 -------------- 6 ---- 240 10 P j
《材料力学》第9章压杆稳定习题解
第九章压杆稳定习题解 [ 习题9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线 形状，导出了临界应力公式 2 EI P cr 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形2 l 状时，压杆在F作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得F cr 公式又cr 是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 " M x EIw ( ) 。（c）、(d) 的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程： " M x EIw ( )，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： 2 EI P cr 。 2 l
1
[ 习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为： 2 EI P cr 。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，2 ( .l) 它们能承受的压力与原压相的相当长度l 的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。 （a）l 1 5 5m （b）l 0.7 7 4. 9m （c）l 0.5 9 4.5m （d）l 2 2 4m （e）l 1 8 8m （f ）l 0.7 5 3.5m （下段）；l 0.5 5 2. 5m （上段） 故图 e 所示杆F最小，图 f 所示杆F cr 最大。 cr [ 习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为P cr 2 EI min 2 ( 2.l ) ？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
建筑力学第11章压杆稳定
第11章压杆稳定 [内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。 11.1 压杆稳定的概念 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。 为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。 P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值 cr P时，杆件虽位置上保持平衡。但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P= cr 然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。 P= cr
!第八章压杆稳定性
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？ 解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。 15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。 解：(a) 柔度： 230 1500.4 λ?= = 相当长度：20.30.6l m μ=?= (b) 柔度： 150 1250.4 λ?== 相当长度：10.50.5l m μ=?= (c) 柔度： 0.770 122.50.4 λ?= = 相当长度：0.70.70.49l m μ=?= (d) 柔度： 0.590 112.50.4 λ?= = 相当长度：0.50.90.45l m μ=?= (e) 柔度： 145 112.50.4 λ?== 相当长度：10.450.45l m μ=?= 由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。即：() 22 cr EJ P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为： () 2948 2 2 2 320010 1.610640.617.6410cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==?
() 2948 2 2 2 320010 1.610640.4531.3010cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==? 15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。 解： 92.6 33827452.5 p s s a λπσλ===--=== 15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。试校核此挺杆的稳定性。 解：(1)
(整理)压杆稳定计算.
第16 章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时（图16-1a），在压力F 由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F 达到屈服强度载荷F s （或抗压强度载荷F b），杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a 所示的同样粗细而比较长的杆件（图16-1b），当压力F 比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F 逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s （或F b）。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转（图16-2）；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆（图 16-3）；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳（图16-4）。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的 稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的 O 点处于平衡状态，如图 16-5a 所示。先用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。 因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5c 所示。当用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置后， 小球将继续下滚， 不再回到原来的平衡位置。 因此， 小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5b 所示，当用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置 O 1 再次处于平 衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡 状态为随遇平衡。 图 16-5 图 16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏 离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于 图 16-3
第十四章 压杆稳定
一、是非题 14.1 由于失稳或由于强度不足而使构件不能正常工作，两者之间的本质区别在于：前者构件的平衡是不稳定的，而后者构件的平衡是稳定的。（） 14.2 压杆失稳的主要原因是临界压力或临界应力，而不是外界干扰力。（） 14.3 压杆的临界压力（或临界应力）与作用载荷大小有关。（） 14.4 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，其临界压力也一定相同。（） 14.5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（） 二、选择题 14.6 在杆件长度、材料、约束条件和横截面面积等条件均相同的情况下，压杆采用图（）所示的截面形状，其稳定性最好；而采用图（）所示的截面形状，其稳定性最差。 14.7一方形横截面的压杆，若在其上钻一横向小孔（如图所示），则该杆与原来相比（）。 A. 稳定性降低，强度不变 B. 稳定性不变，强度降低 C. 稳定性和强度都降低 D. 稳定性和强度都不变 14.8 若在强度计算和稳定性计算中取相同的安全系数，则在下列说法中，（）是正确的。
A. 满足强度条件的压杆一定满足稳定性条件 B. 满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件 C. 满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 D. 不满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 三计算题 14.9无缝钢管厂的穿孔顶针如图所示。杆端承受压力。杆长l =4.5m ，横截面直径d =15cm ，材料为低合金钢，E =210 Gpa 。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为=3.3 。试求顶杆的许可载荷。 14.10某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD 为20号槽钢，材料为A3 钢。起重机的最大起重量是P = 40 kN 。若规定的稳定安全系数为=5 ，试校核BD 杆的稳定性。 14.11 10 号工字梁的C 端固定，A 端铰支于空心钢管AB 上。钢管的内径和外径分别为30mm 和40mm ，B 端亦为铰支。梁及钢管同为A3 钢。当重为300N 的重物落于梁的 A 端时，试校核A B 杆的稳定性。规定稳定安全系数=2.5 。
新材料力学习题册答案-第9章 压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E πσ D 、λ≥s E π σ
压杆稳定性计算
第16章压杆稳定 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s (或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5
第十六章压杆稳定
第十六章 压 杆 稳 定 一、内容提要 1. 概念 稳定平衡 构件受力作用且经干扰后能保持原有平衡状态，称之为稳定平衡。 失稳 构件受力作用且经干扰后不能保持原有平衡状态，构件为不稳定平衡，即为压杆丧失稳定性，简称失稳。 临界力 临界平衡状态时作用在压杆上的压力。 2. 临界力或临界应力 细长压杆用欧拉公式 22)(l EI F cr μπ= 22λ πσE cr = 中长压杆用经验公式 σcr =a －b λ 2 3. 压杆稳定计算 稳定条件 σ=A F N ≤?[σ] 利用稳定条件可解决三方面问题 1. 压杆稳定校核 2. 计算压杆或结构的许用荷载 3. 确定压杆截面尺寸 二、典型例题解析 例16-1 图16-1所示压杆均为圆形截面细长压杆，各杆所用的材料及直径均相同。当压力从零开始以相同的速率增加时，问哪根杆最先失稳？ 图16-1 知识点 压杆的临界力与失稳 解 临界力小的杆首先失稳。各杆均为细长压杆，临界力均用欧拉公式计算 A E F cr ?λ π=22 由已知条件可知各杆EA 均相同。所以λ最大者临界力最小，杆最先失稳。 λ=i l μ 各杆i 均相同，只需比较μl 的大小。 a 杆：μl =2a b 杆：μl =1.3a c 杆：μl =1.12a a 杆的μl 最大，即λ最大，a 杆最先失稳。 例16-2 图16-2a 为一螺旋千斤顶，最大承载压力F P =120kN ，材料为Q235钢，[σ]=80MPa ，丝杠长l =500mm ，丝杠为圆形截面（轧制），直径D=52mm ，试校核其稳定性。
图16-2 知识点 压杆稳定性校核 解 （1）计算柔度 丝杆可简化为下端固定上端自由的压杆，见图16-2b μ=2 i=mm mm d 134524== 柔度λ=13 5002?=i l μ=77＜100 属于中长杆 (2) 稳定性校核 查教材表16-4得 ?=0.801 ?[σ]=0.801×80MPa=64.08MPa 工作应力 σ=2 35214.3410120???=A F P MPa=56.5MPa ＜64.08MPa 稳定性满足要求. 三、思考题提示或解答 16-1 图示矩形截面杆，两端受轴向压力F 作用。设杆端约束条件是：在xy 平面内两端视为铰支；在xz 平面内两端视为固定端。试问该压杆的b 与h 的比值等于多少时，才是合理的？ 思 16-1图 提示 在xy 平面内弯曲时z 为中性轴；在xz 平面内弯曲时y 为中性轴。使b 与h 的比值最合适时两个平面内的临界力相等。b/h=0.5 16-2 有一圆截面细长压杆，试问：（1）杆长增加一倍；（2）直径d 增加一倍。临界力各有何变化？ 提示 按欧拉公式分析。 （1）杆长增加一倍时，临界力为原来的1/4 （2）直径d 增加一倍时，临界力为原来的16倍。 16-3 根据柔度大小，可将压杆分为哪些类型？这些类型压杆的临界应力σcr 计算式是什么？分别属于什么破坏？ 解答 根据柔度大小，可将压杆分为细长、中长、短粗三类； 细长压杆临界应力用欧拉公式 σcr =22λ πE 中长压杆临界应力用经验公式 σcr =a －b λ 2 短粗压杆临界应力用极限应力 σcr =σs 或σcr =σb 16-4 图示各种截面形状的中心受压直杆两端为球铰支承，试确定在压杆失稳时，将绕横截面的哪根轴转动。 思 16-4图 提示 压杆失稳时将绕惯性矩最小的轴转动。 16-5 图示四根压杆的材料及截面均相同，试判断哪个杆的临界力最大？
压杆稳定
1、( )材料相同的压杆，柔度越大，稳定性越差，故它所能承受的外压力就越小。 1、( )压杆的临界应力是压杆处于临界状态维持直线平衡形式时横截面上的正应力。 2、( )材料相同，柔度相等的压杆，空心杆比实心杆的稳定性好，即空心杆所能承受的压力大。 3、对于压杆稳定，下面错误的伦述是( )。 A 、压杆的临界压力是保持稳定直线平衡的最大载荷。 B 、压杆的柔度越大，压杆越不稳定。 C 、大柔度压杆可以使用欧拉公式计算临界压力。 D 、矩形截面细长压杆，已知Iz>Ir ，计算临界载荷时，应取值Iz 为妥。 5、临界应力是压杆失稳时横截面上的应力（ ） 6、示Q235钢压杆，截面为矩形，面积为3.2*103mm 2， 已知E=200GPA ，σs =235MPA ，λp=100,λs=61.6，试计算其临界载荷。（15分） 7、( )压杆的稳定性主要与压杆的截面大小和压杆的长度有关。 一、是非判断题 9.1 所有受力构件都存在失稳的可能性。 （ × ） 9.2 在临界载荷作用下，压杆既可以在直线状态保持平衡，也可以在微弯状态下保持平衡。 （ × ） 9.3 引起压杆失稳的主要原因是外界的干扰力。 （ × ） 9.4 所有两端受集中轴向力作用的压杆都可以采用欧拉公式计算其临界压力。 （ × ） 9.5 两根压杆，只要其材料和柔度都相同，则他们的临界力和临界应力也相同。 （ × ） 9.6 临界压力是压杆丧失稳定平衡时的最小压力值。 （ ∨ ） 9.7 用同一材料制成的压杆，其柔度（长细比）愈大，就愈容易失稳。 （ ∨ ） 9.8 只有在压杆横截面上的工作应力不超过材料比例极限的前提下，才能用欧拉公式计算其 临界压力。 （ × ） 9.9 满足强度条件的压杆不一定满足稳定性条件；满足稳定性条件的压杆也不一定满足强度 条件。 （ ∨ ） 9.10 低碳钢经过冷作硬化能提高其屈服极限，因而用同样的方法也可以提高用低碳钢制成 的细长压杆的临界压力。 （ × ） 二、填空题 9.1 压杆的柔度λ综合地反映了压杆的 对临界应力的影响。 长度(l )，约束(μ)，横截 面的形状和大小（i ） 有应力集中时