导数的应用学案1
导数的应用学案
一．复习目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题的最大值和最小值．
二．知识要点：
1．函数的单调性：
设函数在某区间内可导，则()0()f x f x '>?在该区间上单调递增；
()0()f x f x '
反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；
若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．
2．函数的极值：
（1）概念：函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有点都有
0()()f x f x <（或0()()f x f x >）
，则称0()f x 为函数的一个极大（小）值，称0x 为极大（小）值点．
（2）求函数极值的一般步骤：
①求导数()f x '；②求方程()0f x '=的根；③检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()f x 在这个根处取得极大（小）值．
3．函数的最值：
①求函数()f x 在区间[,]a b 上的极值；②将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
三．课前预习：
1．在下列结论中，正确的结论有 （ A ） ①单调增函数的导函数也是单调增函数； ②单调减函数的导函数也是单调减函数；
③单调函数的导函数也是单调函数； ④导函数是单调，则原函数也是单调的．
()A 0个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个
2．如果函数428y x x c =-+在[1,3]-上的最小值是14-，那么c = （ B ）
()A 1 ()B 2 ()C 1- ()D 2-
2．若函数343y x bx =-+有三个单调区间，则b 的取值范围是 （ A ）
()A 0b > ()B 0b < ()C 0b ≤ ()D 0b ≥
3．函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值为
427，极小值为0．
4．函数32()1f x x ax bx =++-，当1x =时，有极值1，则函数
32()g x x ax bx =++的单调减区间为5(1,)3
． 5．函数321()252
f x x x x =--+，若对于任意[1,2]x ∈-，都有()f x m <，则实数m 的取值范围是(7,)+∞．
四．例题分析：
例1．已知函数()(1)()f x x x x a =--有绝对值相等，符号相反的极大值和极小值，试确定常数a 的值．
解：32()(1)()(1)f x x x x a x a x ax =--=-++，
∴2()32(1)f x x a x a '=-++，
令()0f x '=，得232(1)0x a x a -++=，
由题意，该方程必定有不相等两实根，可分别设为,m n ， 则2(1)3m n a +=+，3
a mn =， ∴3322()(1)()()f m n m n a m n a m n +=+-++++
32()3()(1)[()2]()m n mn m n a m n mn a m n =+-+-++-++
2(1)(2)(21)027
a a a =-
+--= ∴1a =-或2a =或12
a =．
例2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？
解：设船速度为(0)x x >时，燃料费用为Q 元，则3Q kx =，
由3610k =?可得3500k =，∴33500
Q x =， ∴总费用3231396(96)500500y x x x x
=+?=+， 2696500y x '=-，令0y '=得20x =， 当(0,20)x ∈时，0y '<，此时函数单调递减，
当(20,)x ∈+∞时，0y '>，此时函数单调递增，
∴当20x =时，y 取得最小值，
∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．
例3．如图，已知曲线1C ：3y x =(0)x ≥与曲线2C ：323y x x =-+(0)x ≥交于点,O A ，直线x t =(01)t <<与曲线1C 、2C 交于点,B D ，
（1）写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系()S f t =；
（2）讨论()f t 的单调性，并求()f t 的最大值．
解：（1）由3223y x y x x
?=??=-+??得交点,O A 坐标分别是(0,0)，(1,1)， 3111()|||1||||0|(33)222
ABD OBD f t S S BD t BD t t t ??=+=??-+??-=-+， ∴33()()2f t t t =--(01)t <<． （2）293()22f t t '=-+，令293()022f t t '=-+=，得
t =当03t <<时，()0f t '>，此时函数在(0,)3当13t <<时，()0f t '<，此时函数在(0,)3
单调递减． 所以，当t =
时，()f t ．
五．课后作业：
1．设函数3443)(x x x f -=则下列结论中，正确的是 （ ）
()A )(x f 有一个极大值点和一个极小值点()B )(x f 只有一个极大值点
()C )(x f 只有一个极小值点 ()D )(x f 有二个极小值点
2．若函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上无极值，则必有 （ ）
()A 230b ac -> ()B 230a bc -> ()C 230b ac -< ()D 230a bc -<
3．已知曲线313y x =上一点8(2,)3
P ，则点P 处的切线方程是 ；过点P 的切线方程是 ．
答：点P 处的切线方程是1643y x =-，过点P 的切线方程是1643
y x =-或23
y x =+． 4．抛物线24y x x =+上一点P 处的切线的倾斜角为45 ，切线与,x y 轴的交点分别是,A B ，则AOB ?的面积为 ．
5．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 ．
6．已知函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-，试确定,a b 的值，并求出()f x 的单调区间．
7．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f .
（1）若)(x f 的单调减区间为(0,4)，求k 的值；
（2）当k x >时，求证：x
x 132-
>.
8．已知a为实数，2
f x x x a
=--，
()(4)()
'；
（1）求()
f x
（2）若(1)0
-上的最大值和最小值；
f x在[2,2]
f'-=，求()
（3）若()
+∞上都是递增的，求a的取值范围．-∞-和[2,)
f x在(,2]