实数第二课时教学设计

实数第二课时·教学设计

（一）创设情境，导入新课复习导入：

1．用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律． 2．用字母表示有理数的加法交换律和结合律． 3．平方差公式．完全平方公式． 4．有理数的混合运算顺序．（二）合作交流，解读探究

自主探索独立阅读，自习教材．

总结当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．讨论下列各式错在哪里？如何改正？

1．－32×3÷9×31

＝9×3÷3＝9； 2．21212

－＝）－（；

3．

6565－｜＝－｜

4．当x ＝2 时，22

－－x x ＝0．

【点拨】 1．－32表示3的平方的相反数，为－9，另外，在运算顺序上也出现错误． 2．1＜2，因而1－2＜0，而一个数的算术平方根应是非负数． 3．5＜6，因而5－6＜0，而一个数的绝对值应是非负数．

4．要使22

＋－x x 的值为0，必须要有x 2

－2＝0，且x ＋2≠0，故只有x ＝2．【练一练】计算下列各式的值：

（1）（3＋2）－2；解：（1）（3＋2）－2

＝3＋（2－2）（加法结合律）＝3＋0＝3；

（2）33＋23．（2）33＋23．＝（3＋2）3（分配律）＝53．

总结实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的．试一试计算：

（1）5＋π（精确到0.01）；

（2）3·2（结果保留3个有效数字）．解：（1）5＋π≈2.236＋3.142≈5.38；

（2）3·2≈1.732×1.414≈2.45．总结在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．【练一练】计算：

（1））－）（＋（2323；（2）33

12－；（3）（2－1）2．

【提示】（1）式的结构是平方差的形式；（3）式的结构是完全平方的形式．解：（1））－）（＋（2323＝（3）2－（2）2＝1；

（2）

；＝－＝）

－（＝

－11231433

（3）（2－1）2＝（2）2－2·2·1＋12＝3－22．

总结在实数范围内，乘法公式仍然适用．（三）应用迁移，巩固提高

例1 a 为何值时，下列各式有意义？

（1）2

a ；（2）a －；（3）2＋a ；

（4）3

1－a ；（5）a a －＋；（6）

．＋3

2a a

解：（1）∵ a 为任何实数时，a 2≥0，∴ a 为任意实数时，2

a 有意义．

（2）∵ 要使a －有意义，必须使－a ≥0，即a ≤0，∴ 当a ≤0时，a －有意义．（3）∵ 要使2＋a 有意义，必须使a ＋2≥0，即a ≥－2，所以当a ≥－2时，2＋a 有意义；（4）∵

1－a 有意义，a －1可取任意实数，即a 为任意实数，所以当a 为任意实数

时，3

1－a 有意义；

（5）∵ 要使a 有意义，必须使a ≥0，要使a －有意义，必须使－a ≥0，即a ≤0，∴ 要使a a －＋有意义，a 必须等于0．因此仅当a ＝0时，a a －＋有意义；

（6）∵ a a 1

2＋是分式，当a ≠0时有意义，∴ 当a ≠0时，

2a a ＋意义．

例2 计算：

（1）求5的算术平方根与2的平方根之和；（保留三位有效数字）（2）｜＋｜－｜－｜2552；（精确到0.01）

（3）|a －π|＋|2－a |（2＜a ＜π）．（精确到0.01）

解：（1）∵ 5的算术平方根为5，2的平方根为±2，∴ 5的算术平方根与2的平方根之和为5±2又因为5≈2.235，2≈1.414，所以 5±2≈2.236＋1.414＝3.65

5－

2≈2.236－1.414≈0.82

（2）因为2＜5，所以2－5＜0，所以 |2－5|－|5＋2|＝5－2－5－2 ＝－22≈－2×1.414≈－2.83．（4）因为2＜a ＜π，所以

|a －π|＝－（a －π）＝π－a ，|2－a |＝－（2－a ）＝a －2

因此|a －π|＋|2－a |＝π－a ＋a －2＝π－2＝3.142－1.414＝1.73．

例 3 已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图10—3—3所示．化简|a |＋|b |＋|a ＋b |－

2c a c －）－（的值．

解：由数轴可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，且a ＋b ＞0．所以|a |＋|b |＋|a ＋b |－2

2c a c －）－（

＝a ＋（－b ）＋（a ＋b ）－（a －c ）－2（－c ）＝a －b ＋a ＋b －a ＋c ＋2c ＝a ＋3c ．

例4 （学案点击中考）（2005年·宁波）

计算

322322－－－＋－???

?????? ?????? ??

【评析】有理数数域扩充到实数数域内后，所有的运算律及运算方法都是适合的．

解：原式＝42

＋1－49

＝－43

．【备选例题】

实数p 在数轴上的位置如图10—3—4所示，化简

()()2211－

＋－p p 的值．

【点拨】（1）1＜p ＜2 （2）算术平方根的非负性．－＝）－（，－＝）－（p p p p 22112

【答案】 1

（四）总结反思，拓展升华

总结 1．实数的运算法则及运算律． 2．实数的相反数和绝对值的意义．（五）课堂跟踪反馈夯实基础

1．a 、b 是实数，下列命题正确的是（D ）

A ．a ≠b ，则a 2≠b 2

B ．若a 2＞b 2

，则a ＞b C ．若|a |＞|b |，则a ＞b D ．若|a |＞|b |，则a 2＞b 2

2．如果3962

＝＋－＋a a a 成立，那么实数a 的取值范围是（B ） A ．a ≤0 B ．a ≤3 C ．a ≥－3 D ．a ≥3

3．|3

1－|＝1，|π－3.14|＝π－3.14，|2－1.42|＝242.1－． 4．23－的相反数是32－，3

9－的相反数是39．

5．当a ＞17时，|a －17|＝17－a ，2

17）－（a ＝17－a ．

6．当m ＝－1时，2

m ＋|m |＋2m ＝0． 7．比较下列各数的大小：

（1）－3和－1.7；（2）π和722

．

【答案】（1）－3＜－1.7；（2）π＜722

．提升能力

8．已知a 、b 、c 在数轴上如图所示，化简｜．＋＋｜

　）－（｜＋＋－｜c b a c b a a 2

【答案】由图示知，b ＜a ＜0，c ＞0，

∴ a ＋b ＜0，c －a ＞0，b ＋c ＜0， ∴ ｜．＋＋｜　）－（｜＋＋－｜c b a c b a a 2

＝|a |－|a ＋b |＋|c －a |＋|b ＋c |

＝－a ＋（a ＋b ）＋（c －a ）－（b ＋c ）＝－a ＋a ＋b ＋c －a －b －c

＝－a ．

9．（2005年·南京）10在两个连续整数a 和b 之间，即a ＜10＜b ，那么a ，b 的值是3，4． 10．（2005年·南昌）实数m 、n 在数轴上位置如图所示，则下列不等关系正确的是（A ）

A ．n 3＜m 3

B ．n 2＜m 2

C ．n 0＜m 0

D ．|n |＜|m |

开放探究

11．计算下列各题：

（1）211－；（2）221111－；

（3）222111111－；（4）222211111111－．

仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律吗？根据这个规律先写出下面的结果，并说明理由．

222211111个个n n -

【答案】（1）3 （2）33 （3）333 （4）3 333

观察各式，不难有

1222211111个个n n -＝

个

n 333

(完整)新人教版七年级下册第六章实数全章教案

6.1.1平方根（第一课时）】知识与技能：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；过程与方法：通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。情感态度与价值观：通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。教学重点：算术平方根的概念和求法。教学难点：算术平方根的求法。一、情境引入：问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为225dm 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？二、探索归纳： 1.探索：学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为dm 5。接下来教师可以再深入地引导此问题：如果正方形的面积分别是1、9、16、36、25 4，那么正方形的边长分别是多少呢？学生会求出边长分别是1、3、4、6、5 2，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2.归纳： ⑴算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。⑵算术平方根的表示方法：a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。三、应用：例1、求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵6449 ⑶9 71 ⑷0001.0 ⑸0 注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；③0的算术平方根是0。由此例题教师可以引导学生思考如下问题：你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？

八年级数学上册第二章实数7二次根式教案(新版)北师大版

八年级数学上册第二章实数7二次根式教案（新版）北师大版一、学生起点分析七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．二、教材任务分析本节分为三个课时．第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第一环节：明晰概念问题1 ：5，11，2.7， 121 49，))((b c b c -+（其中b =24，c =25），上述式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数．介绍二次根式的概念．一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式．a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．问题2：二次根式怎样进行运算呢？答：这是我们本节课要解决的新问题．意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．

第六章实数全章教案

6 .1平方根（第1课时）一、教学目标 1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念. 2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示. 二、重点和难点 1.重点：算术平方根的概念. 2.难点：算术平方根的概念. （本节课需要的各种图表要提前画好）三、合作探究请看下面的例子. 学校要举行美术作品比赛，扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？（师演示一张面积为25平方分米的纸）（一）谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？答：因为52＝25（板书：因为52＝25），所以这个正方形画布的边长应取5分米（板书：所以边长＝5分米）. 这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念. 正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根. 正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根. 说说6和36这两个数？ ……（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正）说说1和1这两个数？同桌之间互相说一说5和25这两个数.（同桌互相说）说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？还是先在小组里讨论讨论，说说自己的看法. （三）什么是算术平方根呢？如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读）（师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，另一面写1－10的平方.生

实数 (第一课时)

教学设计 1.教学目标. (一)知识技能 1、了解无理数和实数的概念以及实数的分类. 2、知道实数与数轴上的点是一对应的关系. (二)数学思考 1、经历对实数进行分类的过程,发展学生的分类意识. 2、经历从无理数的产生及数的范围扩充到实数的过程,让学生了解人类对数的认识是不断发展的. (三)解决问题学生对数的认识由有理数扩充到实数.会在数轴上表示√2 2学情分析评论 . 学生在上学期学习了有理数,在学习本节课前,已掌握平方根、立方根同时也初步接触过等具体的无理数,本节先将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来,再采用与有理数对照的方法引出无理数,揭示他们的区别与联系,进而产生实数。无理数的概念比较抽象,特别是无理数在数轴上的表示、实数与数轴上的一一对应关系都需要一个渐进的理解过程。这些要让学生充分讨论与思考,归纳与总结,历经知识发展与运用。 3重点难点评论 . 重点:了解无理数和实数的概念及实数的分类. 难点:对无理数的认识及π、√2在数轴上的表示

4教学过程 . 4.1.1教学活动 . 活动1【导入】创设情景，提出问题 1、把两个边长为1的小正方形通过剪、拼,得到一个面积为2的正方形。面积为2的正方形的边长为多少? 2、√2的小故事和它的计算机所算结果 3、√2、π满屏的数字,有什么共同特征? 无限的、不循环的小数活动2【活动】适时引导，探索新知评论 . 把有理数转换成小数的形式,它们又有什么特征? 第一组 3,-38 ,119 ,-13 第二组 52 ,0,911 ,227 归纳新知 1)任何一个有理数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式 2)反过来任何有限小数和无限循环小数都是有理数你能对照有理数的新定义给无限的不循环小数也下个定义吗? 活动3【讲授】分类举例, 剖析新知. 你能举出一些无限不循环小数的例子吗? 无理数的概念:无限不循环小数叫无理数 √2 ,-√5 ,3√3 ,-√33 ,√3?1 π,π/2,-π+2 3.01001000100001...

八年级数学上册第二章实数7二次根式第2课时二次根式的四则运算教案新版北师大版2020110239

第2课时二次根式的四则运算【知识与技能】 1.使学生能够利用积和商的算术平方根性质的反用进行二次根式的加减乘除运算. 2.让学生理解实数的运算法则和运算律对于二次根式同样适用. 3.学会运用把不是最简二次根式的要化成最简二次根式，如果被开方数相同，应当将这些项合并. 【过程与方法】 1.通过实数的运算与二次根式的运算比较体会类比的思想. 2.通过二次根式的运算培养学生的运算能力. 【情感态度】通过对二次根式运算的学习使学生认识到事物之间是相互联系的.激发学生学习热情，让学生充分参与到数学学习过程中来，使他们体验到成功的乐趣. 【教学重点】二次根式加减乘除的运算. 【教学难点】探讨二次根式运算的方法，快速准确地运用公式和运算律进行二次根式的运算 . 一、创设情境，导入新课前面我们学习了二次根式的两个性质：积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子，即现在把等号的左边与右边交换，就可得到二次根式的乘法法则和除法法则：【教学说明】通过回忆旧知识得出新知识，学生并不陌生，有一定的基础，掌握起来也很容易，增强了学生学习数学的自信心和勇气. 二、思考探究，获取新知二次根式的加减、乘除运算依据上面的法则，下面的式子你会计算吗？

例1计算：【教学说明】教师引导学生尝试着直接运用法则进行二次根式的乘除法运算，可以作适当点拨. 注：能约分的可以先约分，运算结果必须都是最简二次根式. 同样的，二次根式也可以进行加减运算，它和以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用.下面的计算不妨试一试？有困难的可以和同学交流. 例2计算：【教学说明】对于有些二次根式的运算可以运用完全平方公式和平方差公式使计算简便，这就要在解题之前观察式子的特点，教师可以引导学生合作做题，错误较多的地方教师再作矫正、强调. 注：对于化简运算的结果中，如果被开方数相同，应当将这些项合并.根号前面是带分数的要化成假分数. 通过上面的学习，我们已经知道了怎样进行二次根式的加减乘除运算.下面的题，你能独立做吗？例3计算：

新人教版第六章实数知识点归纳教学提纲

实数知识点总结一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的平方根。（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x叫做 a的立方根。 2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正（1）若a≥0，则a的平方根是a 的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。二、小数点移动规律平方根（如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位）立方根（开立方的小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位）三、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数

新人教版初中七年级数学下册《实数》教案

实数第一课时教学目标：了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。教学重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。教学难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算。教学过程一、导入新课：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 3 5- ，478 ，911 ，119 ，59 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，30.65-=- ， 47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29= ，50.59= 二、新课： 1、任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数；有理数和无理数统称为实数 ??????????→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数

像有理数一样，无理数也有正负之分。，π 是正无理数，，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类： ???????????????正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 2、探究如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 3、例1 （1）求下列各数的相反数和绝对值： 2.5，－7，5π-，0，32，π－3 （2）一个数的绝对值是3，求这个数。

新北师大版八年级数学上教案第二章实数

第二章实数 1. 认识无理数（第1课时）一、学生起点分析通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性．二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．本节课的教学目标是： ①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在； ②能判断三角形的某边长是否为无理数； ③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神； ④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．第一环节：质疑内容：【想一想】 ⑴一个整数的平方一定是整数吗？ ⑵一个分数的平方一定是分数吗？目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用第二环节：课题引入内容：1．【算一算】

人教版初一数学下册第六章实数复习教案

第六章实数复习课教案魏邱乡初级中学中学赵凤杰一、内容和内容解析 1．内容平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念、运算． 2．内容解析本章的内容是从典型的实际问题出发，首先介绍了算术平方根的概念和它的符号表示．然后学习了平方根和立方根的概念及符号表示，并通过开平方、开立方运算认识了不同于有理数的数-----无理数，使数的范围由有理数扩充到实数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，并能在实数范围内进行简单运算．本章的重点内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．算术平方根是学习平方根的基础，类比平方根的探究思路和方法，对立方根进行了探究；通过类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，体会类比的研究方法和作用．实数与数轴上的点是一一对应的，可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，体验数形结合的数学思想．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：复习平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，构建本章知识结构．二、目标和目标解析 1．学习目标： 1.知识与技能了解平方根与算术平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义掌握平方根的定义，会求一个数的平方根。了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 2.过程与方法经历有关归纳过程，归纳有关平方根，立方根的结论. 3.情感态度与价值观敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新问题.

2．目标解析达成目标（1）的标志是：通过复习本章的主要内容，进一步理解平方根、立方根、实数及有关概念，能建立这些概念之间的联系；明确算术平方根和平方根之间的区别和联系，平方根和立方根的之间的区别和联系，有理数和无理数之间的区别．达成目标（2）的标志是：学生能够运用乘方与开方是互逆运算及实数的运算律和运算性质进行实数的简单运算；能求实数的相反数与绝对值；能用有理数估计无理数的大致范围，会进行实数的大小比较．三、教学问题诊断分析学生对正数开平方会有两个结果感到不习惯，容易将算术平方根和平方根混淆．对于负数没有平方根，学生接受起来也有一定的难度．平方根和立方根虽都是开方运算，但它们的表示方法和性质及运用是学生在练习中经常出错的地方；无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，其定义比较抽象，学生没有任何感性认识，真正理解这个概念也有一定的困难．学生在复习课中既要对所学的知识能够重新回忆出来，又要在原有的基础上进行知识的建构，建立起不同知识之间的内在联系，从而建立起本章的知识结构，形成知识体系．基于以上分析，本课的教学难点是：本章知识点间的内在联系，知识体系的建构．四、教学过程设计 (一) 热身游戏明七暗七设计意图：用问题引导学生回忆平方根与立方根的概念及它们之间的联系，梳理知识，构建体系．头脑风暴议一议思考：平方根和立方根之间的联系与区别：师生活动：学生独立解答后，小组交流、全班展示.教师关注：学生对平方根及立方根

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第六章实数 6.1.1平方根第一课时【教学目标】知识与技能：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；过程与方法：通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。情感态度与价值观：通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。教学重点：算术平方根的概念和求法。教学难点：算术平方根的求法。教具准备：三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。教学方法：自主探究、启发引导、小组合作【教学过程】一、情境引入：问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？二、探索归纳： 1. 探索：学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为5dm。接下来教师可以再深入地引导此问题：如果正方形的面积分别是1、9、16、36、—，那么正方形的边长分别是多 25 少呢?

学生会求出边长分别是1、3、4、6、2 ，接下来教师可以引导性地提问： 5 上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2. 归纳： ⑴算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。 ⑵算术平方根的表示方法： a 的算术平方根记为、a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。三、应用：例1、求下列各数的算术平方根： 49 7 ⑴100 ⑵4 - ⑶1 7 ⑷0.0001 ⑸0 64 9 解：⑴因为102 100,所以100的算术平方根是10，即? 100 10 ； ⑵因为(7)2 49 ，所以49的算术平方根是-，即..49 -； 8 64 64 8 V 64 8 ⑶因为1 ,() ，所以1—的算术平方根是一，即：1 9 9 3 9 9 3 V 9 V 9 3 ⑷因为0.012 0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即?. 0.0001 0.01 ； ⑸因为02 0，所以0的算术平方根是0 ,即0 0。注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ② 求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解； ③ 0的算术平方根是0。由此例题教师可以引导学生思考如下问题：你能求出一1, - 36, - 100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根

北师版八年级数学上册第二章实数教案实数21认识无理数29

第二章实数 §2.1 认识无理数(一) 教学目标 (一)知识目标: 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由. (二)能力训练目标: 1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力. (三)情感与价值观目标: 1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情. 2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神. 3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神. 教学重点 1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数. 教学难点 1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 教学方法教师引导，主要由学生分组讨论得出结果. 教学过程一、创设问题情境,引入新课［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 二、讲授新课 1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

第二章实数回顾与思考(教学设计)

第二章实数回顾与思考一、学生起点分析本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础．二、教学任务分析本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法．因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流；本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念．本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握

实数第一课时教学设计

实数第一课时·教学设计教学目标 1．知识与技能了解无理数和实数的概念，知道实数和整轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算． 2．过程与方法注重主动参与与探索，同时注重有理数与实数的对比． 3．情感、态度与价值观养成主动参与意识与观察分析的能力．教学重点难点重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律．难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算．课时安排 2课时教与学互动设计第1课时（一）创设情境，导入新课问题1 用什么方法求2？其结果如何？用计算器可求得2＝1.414 213 562．问题2 你能利用平方关系验算所得的结果吗？用计算器计算1.412 135 62的平方，结果是1.999 999 99．问题3 验证的结果并不是2，而是接近于2，这说明了什么问题？说明所求得的2的值只是一个近似值．问题4 那么2到底是怎样的数呢？（二）合作交流，解读探究探究使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3， 53－，847，119，911，95．我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3＝3.0，53－　＝－0.6，847＝5.875，119＝18 .0 ，911＝2.1 ，95＝5.0 ．归纳任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．观察通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，π＝3.141 592 65…也是无理数．结论有理数和无理数统称为实数．试一试把实数试着来分类． ?????→??????无限不循环小数无理数数有限小数或无限循环小分数整数有理数实数像有理数一样，无理数也有正负之分．例如2，33，π是正无理数，2－，33－，－π是负无理数．由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：

第二章实数全章教案-

第二章实数 1．数怎么又不够用了第一课时数怎么又不够用了（1）教学目标 1．通过拼图活动，让学生感觉无理数产生的实际背景和学习它的必要性。 2．进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在实际生活中大量存在，并对无理数产生感性认识。重点：对无理数的感识难点：对无理数的认识教学过程一、复习 1．什么叫有理数，举出例子。 2．勾股定理的内容？若Rt △ABC 的两个直角边分别是5、12，求它的斜边。二、创设问题情境，引导学生思考，引入课题出示投影（一）P25页首图文1 教师指出：随着人类的认识不断发展，人们发现，现实生活中确实存在不同于有理数的数，本章我们将学习元理数、实数、平方根、立方根的概念，学习利用估算或借助计算器求出一个无理数的近似值，并解决有关的实际问题。出示课题：数怎么不够用了. 三、师生共同参与教学活动，获得生活中大量存在的不是有理数的认识 1．拼图活动（1）让学生把准备好的两块边长相同的正方形，通过剪一剪、拼一拼，拼成一个大的正方形。（2）鼓励学生充分思考，交流并给予引导。（3）教师把学生的几种做法在全班展示。 2．对拼图的结果作进一步分析（1）设大正方形的边长为a ，a 满足什么条件？（2）a 可能是整数吗？说说你的理由。（3）a 可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为分母的分数吗？说说你的理由。（4）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。教师鼓励学生充分进行思考、交流，给予适时引导。学生的回答可能是。“l 2 ＝1，22 ＝4，32 ＝9……越来越大，所以a 不可能是整数。”“（ 2 1）2 ＝ 4 1，（ 3 2） 2 ＝9 4……结果都是分数，所以a 不可能是分数。”“两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以a 不可

七年级数学《实数》单元教学设计

初中七年级数学“实数”单元教学设计课题：第六章“实数”单元教学设计教材版本：人教版数学教科书教学年级：七年级（下册）一．教材分析本章内容包括算术平方根、平方根和立方根，并通过开平方和开立方运算认识一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实数。随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展。在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算。在平方根、立方根、算术平方根、实数的概念的基础上，建立了完整的实数体系。本章教材在初中数学中具有重要的地位，是进行其他内容学习的理论基础和运算基础（如一元二次方程、解直角三角形、函数、二次根式等）。同时，在理论的运算中也常用开方运算，故务必要学好。二．学情分析本章包括平方根、算术平方根、立方根、用计算器求算术平方根、无理数、实数等内容。在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算，学习了有理数的概念，具备了学习数的开方和学习无理数的条件，大部分学生对后继知识的学习有较强的欲望，但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透，对无理数的学习信心不足，产生畏难和厌学情绪，教学中要注意及时引导。三．教学目标（一）知识与技能 1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求算术平方根和立方根； 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化，并会进行简单的实数运算。

平方根第一课时教学设计

平方根（13.1 算术平方根）第一课时韩友斌山阳县户垣中学教案依据《平《实数》第一节本节是人教版义务教育课程标准实验教材数学八年级上册第十三章方根》第一课时：算术平方根。算术平方根的教育价值不仅因为它初中数学的一个本课教材所处位置是本章的第一节，因为有些正有理数的算术平方根不能重要概念，也是学习二次根式及一元二次方程的基础，2为代表的这由于对于以用有理数来表示，很自然地要推动数的范围扩张——引进新数。类数求近似值的探讨，既能够让学生了解到这类数的本质特征是无限不循环小数，同时也能够通过求其近似值的过程，让学生体验到一种重要的数学思想——“逼近法”思想。由此看来，学生正确合理地建构算术平方根的意义，不仅影响到以后数学知识的学习，也影响到以后在数学思想方法及情感体验方面的发展。教学课题算数平方根设计思想 1、学情分析：学生已掌握一些平方数，能说出一些平方数是哪些有理数的平方，同时对乘方运算也有一定的认识。 2. 相应的教法：从一些完全平方数入手，引入概念，设置疑问，动手操作，再根据实践需要，教师从方法上指导师生合作探究、小组合作学习。 3. 具体措施：精讲多练，教师担任设计活动、调节气氛、整理归纳的导演作用，学生是表现者、活动者、实践者。运用多媒体提高课堂容量，增加形象感与趣味性。通过声像并茂、动静皆宜的表现形式，生动、形象地展示教学内容，扩大学生视野，有效促进课堂教学的大容量、多信息和高效率，有利于学生开发智能、培养能力和提高素质，将教学引入了一个新的境界。教学方法．教学方法动手实践、自主探索与合作交流是学习的重要方式，在教学中我采用先学后教，当堂训练，引导学生思考，探究，交流，学生在这样的学习过程中对知识进行认识、体会和内化。教学任务分析

2021年八年级数学上册第二章实数总复习教案北北师大版

2019-2020年八年级数学上册第二章实数总复习教案北北师大版 ●教学目标 (一)教学知识点 1.本章知识的网络结构. 2.重点内容归纳. (1)数怎么又不够用了，引出了无理数. (2)有理数与无理数的联系与区别. (3)算术平方根、平方根的定义，会求正数的算术平方根和平方根. (4)立方根，开立方的定义，会求一个数的立方根. (5)估算的方法. (6)用计算器开方. (7)实数的定义，实数的运算法则和运算律. (二)能力训练要求 1.熟练掌握本章的知识网络结构. 2.理解无理数，实数，算术平方根，平方根，立方根，开立方的定义. 3.理解有理数与无理数的区别与联系. 4.开方运算和乘方运算有什么联系？ 5.掌握估算的方法. 6.正确运用实数的运算法则和运算律. (三)情感与价值观要求通过本章内容的小结与复习培养学生学会归纳，整理所学知识的能力，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，并培养良好的学习品质. ●教学重点本章知识的网络结构，知识间的相互关系. ●教学难点知识的运用. ●教学方法启发引导式归纳教学法. ●教具准备投影片两张：第一张：本章知识网络结构图(记作§2.7 A)；第二张：小测验(记作§2.7 B). ●教学过程 Ⅰ.导入［师］本章的内容已全部学完.请同学们回忆并归纳本章所学的知识.

［生］本章的内容有：数怎么又不够用了；平方根，算术平方根的定义及求法；立方根的定义及求法；估算的方法，用计算器开方，实数的概念，实数的运算法则和运算律. ［师］本节将对本章知识内容进行系统归纳，总结. Ⅱ.讲授新课 1.［师］请看本章知识网络结构图投影片：(§2.7 A) 2.重点内容归纳［师］同学们根据网络结构图，可看出本章知识的主要内容及相互之间的关系，下面请同学们回顾主要知识点.首先回顾无理数的引入. (1)无理数的引入及它与有理数的联系与区别. ［生］由a2=2得a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，是无理数，就引入了无理数. ［师］对.在小学我们学的是正整数，正分数，零，在初一因为要表示具有相反意义的量就引入了负数，这时就由小学学的正数和零扩充到有理数范围，本章我们在解决实际问题时发现有一些数如a2=2中的a既不是整数，也不是分数，所以不是有理数，而是无理数.像a这样的数还有很多，所以就引入了无理数.那么无理数和有理数有什么联系呢？请大家分析一下. ［生］从定义看，有理数包括整数和分数，整数和分数都可化为有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.所以它们都能化为小数，但有理数能化为有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数；另外，有理数和小数可以互化，而无理数与小数不能互化. (2)算术平方根与平方根的联系与区别. ［师］这位同学总结得很好.下面继续回顾算术平方根与平方根的概念，以及它们之间的联系与区别. ［生］若一个正数x2=a，则x叫a的算术平方根；若一个数x2=a，则x叫a的平方根.它们的联系有：(1)平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根与算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0. 区别是：(1)从定义看不同.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同.正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.(4)

实数的运算教学设计

实数的运算教案第二课时【教学目标】知识与技能： ① 掌握实数的相反数和绝对值； ② 掌握实数的运算律和运算性质. 过程与方法：通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识. 情感态度与价值观：通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展. 教学重点： ① 会求实数的相反数和绝对值； ② 会进行实数的加减法运算； ③ 会进行实数的近似计算. 教学难点：认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充. 【教学过程】一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律： 1、相反数：有理数a 的相反数是a -. 2、绝对值：当a ≥0时，a a =，当a ≤0时，a a -=. 3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律. 二、实数的运算： 1.实数的相反数：数a 的相反数是a -. 2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的

绝对值是0. 3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用. 三、应用：例1、（1）求364-的绝对值和相反数；（2）已知一个数的绝对值是3，求这个数. 解：（1）因为4643-=-，所以44643=-=--，4)4(643=--=-- （2）因为33,33=-=，所以绝对值为3的数是3或3-. 例2、计算下列各式的值：（1）2)23(-+；（2）3233+. 分析：运用加法的结合律和分配律. 解：（1）303)2_2(32)23(=+=+=-+；（2）353)23(3233=+=+ 例3、计算：（1）π+5 （精确到01.0）（2）23? （结果保留3个有效数字）解：（1）38.5142.3236.25≈+≈+π；（2）45.2414.1732.123≈?≈?. 四、随堂练习： 1、计算：（1）2624-；（2）)23(3+；（3）3253+-；（4）23)5 4(198-+--. 2、计算：

人教版七年级下册数学第六章《实数》复习参考教案

第六章实数小结与复习教学过程（一）引导学生复习知识要点： 1、平方根和开平方：（1）如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根．a的平方根记作±a.若x≥0，则x叫a的算术平方根（2）求一个数平方根的运算叫开平方. 开平方互逆平方（3）一个正数有两个平方根,它们互为相反数； 0的平方根是0；负数没有平方根注：a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0. 练习1：（1）求下列各数的算术平方根： ①900；②1；③49 ;④14. 64 （2）求下列各数的平方根： ①11②49 121 ③0.0004④(-25)2 （3）25的算术平方根是；3的平方根是；16的平方根是.（4）-27的立方根与16的平方根之和是. （5）化简: ① 1.44- 1.21;②8+32-2; 2、立方根和开立方：（1）如果x3=a，那么x叫做a的立方根．a的立方根记作3a.

3 9 3 （2）求一个数平方根的运算叫开平方. 互逆开立方立方（3）正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0 的立方根为 0 练习 2：（1）．求下列各数的立方根： ① -27； ② 8 ; ③ 0.126; ④ -5. 125 （2）求下列各式的值： ① 3 - 8; ② 3 0.064; ③ - 3 8 125 ； ④ ( ) . 3、实数：（1）实数定义及分类： ①按定义分类 ② 按正负分类（2）数从有理数扩充到实数后，有理数的相反数、倒数、绝对值、大小比较、运算律、运算顺序、运算法则对实数同样适用. （3）两个一一对应：实数数轴上的点有序实数对坐标平面上的点练习 3：（1）下列说法正确的是( ) A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无限不循环小数是无理数 D. π 是无理数, 故无理数也可能是有限小数（2） 2 的相反数是， 3 5 的倒数是， 3 ，0，—π 的绝对值分别是，3—π 的绝对值是 . （3）判断下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数.

人教版初一数学下册实数·第一课时教学设计

实数·第一课时教学设计教学目标 1．了解有理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义； 2．了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数； 3．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数，进行实数的四则运算； 4．鼓励学生在独立思考的基础上，积极参与讨论，与他人交流，并发表白己的看法．教学重点难点 1．无理数、实数的意义； 2．实数的性质．教学过程一、复习旧知，引入新课．师：使用计算器，把下列有理数写成小数的形式，你们发现了什么？ 3、 53-、847、119、911、95 由学生独立使用计算器，将这些有理数写成小数形式． 3＝3.0，6.053-=-，875.5847= ??=18.0119，?=2.1911，?=5.095 点评：从学生熟悉的知识入手，很快地进入学习状态，很自然地引出无理数概念．生：我们通过计算后，发现3、53-、847可以写成有限小数的形式；119、911、95 可以写成无限循环小数的形式．师：不仅这六个数可以写成有限小数或无限循环小数的形式，事实上，同学们可以检验任何一个分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式；反之，任何一个有限小数或无限小数都可以化为分数．如果把整数视为分母为1的分数，那么，我们学过的有理数实际上都是分数，反之分数也都是有理数那么，我们思考一下2、3是不是有理数？为什么？生：通过前面的学习，我们知道2＝1.41421356……它是一个无限不循环小数，所以它不是有理数．师：同学们回答得很对，有兴趣的同学还可以研究一下2能写成分数吗？如果说明不能，我们就严格论证了2不是有理数．我们把有限小数或无限循环小数叫做有理数；无限不循环小数叫做无理数．很多数的平方根和立方根，例如33、5-、32、3……都是无理数，π＝3.14159265……也是无理数．如果我们把有理数、无理数统称实数，你能把我们学过的数进行一下分类吗？生1：

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a

实数 第二课时 教学设计