求偏导数的方法小结-求偏导数公式法

求偏导数的方法小结

（应化2，闻庚辰，学号：130911225）

一， 一般函数：

计算多元函数的偏导数时， 由于变元多， 往往计算量较大． 在求某一点的偏导数时 ， 一般的计算方法是， 先求出偏 导函数， 再代人这一点的值而得到这一点的偏导数． 我们发 现 ， 把部分变元的值先代人函数中， 减少变元的数量， 再计 算偏导数， 可以减少运算量。

求函数f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数f ’x(a,b)及f ’y(a,b)的方法是：

1) 先求出偏导数的函数式，然后将（a,b ）代入计算即可.

2) 先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g ’(b),h ’(a)便得到f ’x(a,b)和f ’y(a,b).

3) 若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.

复合具体函数的导数求解:

基本法则：x z

??=u z

??x u ??+v z ??x v ?? y z ??=u z

??y u ??+v z

??y v ??

其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy ,求f ’

x （1，1），f ’y （1，0）；

法一：设u=x+y,v=xy,则z=u v 函数的复合关系为：z 是u,v 的函数，u,v 分别是x,y 的函数.

则：x z

??=u z

??x u ??+v z ??x v ??

=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy ln(x+y)

=y(x+y)xy [)(y x x +ln(x+y)]

f ’

x (x,y)= y(x+y)xy [)(y x x ++ln(x+y)]

所以：f ’

x (1,1)=1+2ln2

由于f(x,y)的表达式中的 x,y 依次轮换，即x 换y 成，同时将换y 成x ，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y 交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f ’

x 的表达式中将x,y 调换即得到f ’y 。即：f ’y （x,y ）=

y(x+y)xy [)(y x x ++ln(x+y)]

所以f ’y （1，0）=0

法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如：

Lnz=xyln(x+y)

上式两边求导得： z 1

x z ??=y[ln(x+y)+ )(y x x +] 从而：x z ??=z y[ln(x+y)+ )(y x x +]

所以：f ’

x (1,1)=1+2ln2

有函数的对称轮换性得：f ’y （1，0）=0

例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。

设z=e u sin(v),而u=xy,v=x+y 。求x z

??+y z ??在（1，1）处的值。

dz=d(e u sin(v))= e u sin(v)du+e u cos(v)dv

du=d(xy)=ydx+xdy

dv=d(x+y)=dx+dy

代入后合并同类项得：

dz=(e u sin(v)y+e u cos(v))dx+(e u sin(v)x+ e u cos(v))dy 将点（1，1）代入得： x z

??+y z ??=2e(sin2+cos2).

二，隐函数的求偏导。

求隐函数的偏导时，我们一般有两种方法选择：

1) 公式法

2) 对函数两边直接求导。（但必须明确谁是谁的函数）。然后按复合函数求

导法则来求。

例一：方程组o z y x a z y x =++=++2222{（注：x2为x 的平方）

法一：题中有3个自变量，明确了x=x(z),y=x(z),既z 是自变量。我们可以利用公式求但比较繁。我们可以采用下面的方法：

法二：对方程组两边对求z 导得： 01022{

=++=++dz dy dz dx dz dy dz dx z y zx 求得此解得：

dz dx =y x z y --，dz dy =y x x z --