高一数学必修一公式--新版

高一数学必修一公式整理集合大全必修一

一、集合

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集

合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,

大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队

员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1）列举法：{a,b,c……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大

括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与注意：B

B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集

合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子

集，记作A B(或B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真

子集。 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集

二、函数

1、函数定义域、值域求法综合

2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略

3、恒成立问题的求解策略

4、反函数的几种题型及方法

5、二次函数根的问题——一题多解

&指数函数y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a 、b 属于Q)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a 、b 属于Q)

(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a 、b 属于Q)

指数函数对称规律：

1、函数y=a^x 与y=a^-x 关于y 轴对称

2、函数y=a^x 与y=-a^x 关于x 轴对称

3、函数y=a^x 与y=-a^-x 关于坐标原点对称

&对数函数y=loga^x

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：

○

1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N

M a log M a log －N a log ； ○

3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式

a

b b

c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 幂函数y=x^a(a 属于R)

1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂

函数，其中α为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点

（1，1）；

（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间)

,0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当

10<<α时，幂函数的图象上凸；

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在

第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限

地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限

地逼近x 轴正半轴．

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使

0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0

)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴

有交点?函数)(x f y =有零点．

3、函数零点的求法：

○

1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．

（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函

数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函

数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．

三、平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

AB ＋BC ＝AC ，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O 出发的两个向量OA 、OB ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OC 就是向量OA 、OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a ，有：0＋a ＝a ＋0＝a 。

|a ＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，－(－a)＝a ，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a ＋(－a)＝(－a)＋a ＝0（2）a －b ＝a ＋(－b)。

数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa 的方向和a 的方向相同，当λ < 0时，λa 的方向和a 的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa （3）λ(a ± b) = λa ± λb （4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a 、b ，那么|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积或内积，记作a?b ，θ是a 与b 的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a?b 的几何意义：数量积a?b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

四、三角函数

1、善于用“1“巧解题

2、三角问题的非三角化解题策略

3、三角函数有界性求最值解题方法

4、三角函数向量综合题例析

5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sin y x = cos y x = tan y x = 图

象

定

义

域

R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值

域

[]1,1- []1,1- R 最

值 当22x k π

π=+()k ∈Z 时，max 1y =；当当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ 既无最大值也无最小值 函 数 性 质

22x k π

π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． ()k ∈Z 时，min 1y =-．

周

期

性

2π 2π π 奇

偶

性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性 在2,222k k ππππ??-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数．

在[]()

2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ??-+ ??? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2

x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ??+∈Z ??? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心

(),02k k π??∈Z ??? 无对称轴

必修四

角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<

第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<

终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z

终边在坐标轴上的角的集合为{}

90,k k αα=?∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定()*

n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n

α终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

口诀：奇变偶不变，符号看象限．

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α 公式二： 设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α

公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos α tan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α

公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α

公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

其他三角函数知识：同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系: tanα?cotα＝ 1 sinα?cscα＝ 1 cosα?secα＝ 1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝ 1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

两角和差公式⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα?tanβ

tanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα?tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanαtan2α＝—————1－tan^2(α)

半角公式⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosαsin^2(α/2)＝—————2

1＋cosαcos^2(α/2)＝—————2

1－cosαtan^2(α/2)＝—————1＋cosα

万能公式

⒌万能公式2tan(α/2) sinα＝——————1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2) cosα＝——————1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2) tanα＝——————1－tan^2(α/2)

和差化积公式⒎三角函数的和差化积公式

α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—----?cos—--- 2 2

α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—----?sin—---- 2 2

α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos—-----?cos—----- 2 2

α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—-----?sin—----- 2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式sinα?cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）] cosα?sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）] cosα?cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）] sinα?sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]