第8章 静电场中的导体与电介质
第八章静电场中的导体与电介质
问题
8-1 有人说：“某一高压输电线的电压有500kV，因此你不可与之接触”。这
句话是对还是不对？维修工人在高压输电线路上是如何工作的？
解这种说法不正确，可以利用空腔导体的静电屏蔽原理，使维修工人穿上导电性能良好的屏蔽服，电场不会深入到人体，从而可以保证维修工人的安全。
8-2将一个带电小金属球与一个不带电的大金属球相接触，小球上的电荷会全部转移到大球上去吗？
解不会。带电小金属球与不带电的大金属球相接触后会达到静电平衡，内部电场强度为零。若小球上的电荷全部转移到大球上去，则两球组成的整体内部电场强度不可能为零。
8-3 在高压电器设备周围，常围上一接地的金属栅网，以保证栅网外的人安全，试说明其道理。
解这是利用空腔导体的静电屏蔽作用。金属栅网就是一个金属壳体，将栅网接地，栅网外部将不受栅网内部电场的影响。
8-4在绝缘支柱上放置一闭和的金属球壳，球壳内有一人，当球壳带电并且电荷越来越多时，他观察到的球壳表面的电荷面密度、球壳内的场强是怎样的？当一个带有跟球壳相异电荷的巨大带电体移近球壳时，此人又将观察到什么现象？此人处在球壳内是否安全？
解带电金属球壳由于静电平衡，电荷分布于球壳表面，当电荷越多，球壳表面的电荷面密度增大，球壳内场强为零。当带有异号电荷的巨大带电体移近球壳时，会发生放电现象，由于静电屏蔽作用，球壳空间电场不受外部空间场强的影响，所以人处于球壳内不会有危险。
8-5电介质的极化现象和导体的静电感应现象有些什么区别？
解导体的静电感应现象是在外电场作用下导体中的自由电荷作定向运动而使自由电荷重新分布；电介质的极化现象是在外电场的作用下介质表面产生极化电荷。二者有着实质的区别，静电感应所产生的电荷是导体内部的自由电荷，而极化现象中出现在介质表面上的电荷则是束缚电荷；而且它们形成的方式也不同，静电感应是导体内部自由电荷的运动，而极化实质是电介质内部电偶极矩的产生。
8-6 在下列情况下，平行平板电容器的电势差、电荷、电场强度和所贮的能量将如何变化。（1）断开电源，并使极板间距加倍，此时极板间为真空；（2）断开电
源，并使极板间充满相对电容率r 2.5ε=的油；（3）保持电源与电容器两极相连，使极板间距加倍，此时极板间为真空；（4）保持电源与电容器两极相连，使极板间充满相对电容率r 2.5ε=的油。
解 设最初平行平板电容器的电容为C 、电势差为U 、电荷为Q 、电场强度为
E 、所贮的能量为e W ，我们可以根据C s d ε=、C Q U =、E Q s ε=、e 1
2
W QU =等来判断不同情况下各物理量的变化.
（1）断开电源，极板间距加倍即d 变为2d ，电荷Q 不变，电场强度E 不变，电势差2U ，所贮的能量增为e 2W .
（2）断开电源，并使极板间充满相对电容率r 2.5ε=的油，电荷Q 不变，电场强度E 减为r E ε，电势差减少为r U ε，所贮的能量减少为e r W ε.
（3）保持电源与电容器两极相连，使极板间距加倍，极板间为真空，电容器电容变为原来的一半，电势差不变，电荷减少为原来的一半，电场强度减少为原来的一半，所贮的能量也减少为原来的一半.
（4）保持电源与电容器两极相连，极板间充满相对电容率r 2.5ε=的油，电容器的电容为原来的r ε倍，即2.5C ，电势差不变，电荷增为原来的r ε倍，所贮的能量增加为原来的r ε倍.
8-7 一平行板电容器被一电源充电后，将电源断开，然后将一厚度为两极板间距一半的金属板放在两极板之间，试问下述各量如何变化？（1）电容；（2）极板上面电荷；（3）极板上的电势差；（4）极板间的电场强度；（5）电场的能量。
解 设极板间距为d ，断开电源后电容器带电为Q ，插入金属板达到静电平衡后，金属板与电容器极板相对应的两表面分别带上大小为Q 的异种感应电荷。此时的电容器可以看作是两个带电为Q 、间距为4d 的平行板电容器的串联。则插入金属板后的电容为02s d ε，即为原来的两倍；极板上电荷不变；极板上的电势差为
原来的12；极板内除金属板内电场强度为零，剩余空间场强不变；电场能量减少为原来的12.
8-8 如果圆柱形电容器的内半径增大，使两柱面之间的距离减为原来的一半，此电容器的电容是否增大为原来的两倍？
解 不是.圆柱形电容器电容 0r B A
2ln l
C R R εεπ=
,其中B R 为外半径，A R 为内半
径，设两柱面间距为d ，即B A R R d -=，当两柱面之间的距离减为原来的一半，即B A 2R R d -=，此时2C C '≠.
8-9 （1）一个带电的金属球壳里充满了均匀电介质，外面是真空，此球壳的电势是否等于
0r 1
4Q
R
εεπ？为什么？（2）若球壳内为真空，球壳外是无限大均匀电介
质，这时球壳的电势为多少？Q 为球壳上的自由电荷，R 为球壳半径，r ε为介质的相对电容率。
解 （1）此时球壳内的电势等于
014Q
R
επ；（2）若均匀电介质充满球壳外空间，
球壳电势为0r 1
4Q R
εεπ.
8-10 把两个电容各为1C 和2C 的电容器串联后进行充电，然后断开电源，把它们改成并联，问它们的电能是增加还是减少？为什么？
解 两电容器串联后电容器等效电容为
12
12
C C C C +，小于之前两电容器的电容，
并联后两电容器的等效电容为12C C +，大于之前电容器的电容，可见两电容器并联后的等效电容大于串联后的等效电容，又因为充电后断开电源，串联与并联的两种
情况电容器电荷总量Q 不变，由2
e 12Q W C
=可知，改为并联之后电能减少。
习题
8-1 一真空二极管，其主要构件是一个半径4
1 5.010m R -=?的圆柱型阴极和一个套在外、半径为3
2 4.510m R -=?的同轴圆筒型阳极。阳极电势比阴极电势高
300V ，阴极和阳极的长均为22.510m L -=?.假设电子从阴极射出时的初速度为
零,求:(1)该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（2）电子刚从阴极射出时所受的力。
解 由于二极管内圆柱半径远远小于圆柱长（1R L <<），所以可将两极看作两无限长同轴圆柱面，两极之间的电场呈轴对称分布。
（1）电子从阴极射出，初速度为零，经过两极电场受到电场力的作用，到达阳极时所获得的动能等于电场力所作的功，即电势能的减少，所以
17
k P 4.810J E E eV -=-==?
此时，电子所具有的速度为
7
1
1.0310m s v -==??
（2）由高斯定理可知，两极间距离中心轴为r 的一点处电场强度为 02r r
λ
ε=-πE e 两极间的电势差为 2
2
1
1
2001
ln 22R R R R R V d dr r R λλ
εε=
?=-
-ππ?
?E r = 其中负号表示阴极电势比阳极电势低.
由上可知，阴极附近的电场强度为 2
11
ln r V R R R =
E e
其中300V V =-
所以电子刚从阴极射出时所受的电场力为
14
4.3710N r e -=-?F E =e
8-2 一导体球半径为1R ，外罩一半径为2R 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为0V ，求此系统的电势和电场分布。
解 假设内球带电量为q ，当达到静电平衡后，两球电荷分布如图所示，由于导体球壳电荷分布呈球对称，我们可以取半径为r 同心球面为高斯面。由高斯定理
0s
d q
ε?=∑??E S 可得此系统各区域的电场
分布为
()10
E r =
1r R <
()22
04q E r r ε=
π 12R r R <<
()32
04q Q
E r r ε+=
π 2r R >
利用电势与电场强度的积分关系，可得各区域电势分布如下： 当1r R <时
12
1
2
1123()R R r
r
R R V r d d d d ∞
∞
=?=?+?+??
???E l E l E l E l
01
02
44q Q
R R εε=
+
ππ
当12R r R <<时
2
2
223()R r
r
R V r d d d ∞
∞
=
?=?+??
??E l E l E l
q
002
44q Q
r R εε=
+ππ 当2r R >时
330()4r
r
q Q
V r d d r
ε∞
∞
+=
?=?=
π?
?E l E l 又由题意可得，内球的电势为0V ，即100102
44q Q V V R R εε==
+
ππ
所以内球带电量为 1
0102
4R q RV Q R ε=π- 将q 值带入到各区域电场、电势表达式中可得 当1r R <时 10E =，10V V =； 当12R r R <<时 101222024RV R Q E r R r ε=
-π， ()110
2024r R Q RV V r R r
ε-=+π； 当2r R >时 ()2110322024R R Q RV E r R r ε-=+π，()2110
3024R R Q RV V r R r
ε-=+π.
8-3 在两块面积均为S 且相互平行带电薄导体板A 、B 之间，平行插入两块不带电薄导体板C 、D[如图（a ）]，其中A 和C 、C 和D 、D 和B 的间距均为3d ，已知C 、D 未插入时，A 、B 之间的电势差为U .(1) 分析各导体板上的电荷分布，求各
区域的电场强度和电势差AC U 、CD U 、DB U ；（2）用导线将C 、D 相连后[如图（b ）]，
将导线撤去，再求（1）；（3）最后用导线将A 、B 相连[如图（c ）]，然后断开，再
求（1）.
（a ）
A C D B
q -q q
-q （b ） A C D B 1q 1q - 2q - 2q 1q 1
q -（c ）
解 (1)根据静电平衡条件，设板A 内表面带电为q ，则平衡后电荷分布如（a ）所示，各板间电场为匀强电场且电场强度相同。所以有
3AB CD DB U U U U ===
123U
E E E E d ====
00SU
q S E S d εσε===
（2）用导线将C 、D 相连后断开，则0CD U =，此时电荷分布如图（b ）所示。由于C 、D 板电势相等，所以C 、D 之间电场强度为零，既20E =. 由静电平衡知，A 与C 、 D 与B 相对的表面电荷分布不变，所以这两个区域内的电势与场强分布不变，即
13
AC DB U U U == 13U E E d
==
(3) 用导线将A 、B 相连后断开，则0AB U =，静电平衡后电荷分布如图（c ）所示。由于导体板C 、D 分别所带的电荷仍不变，即
012SU
q q q d
ε+== （1）
又因为A 、B 电势差为零，即
1210000333
AB q q q d d d
U S S S εεε=
-+= （2） 由（1）（2）式可得
013S
q U d
ε=
，0223S
q U d
ε=
所以C 、D 之间的电场强度与电势差为 223U E d =-
，2
9CD U U =- A 与C 、D 与B 之间的电场强度和电势差分别为 133U E E d ==
， 1
9
AC DB U U U ==
8-4 如图所示,在真空中将半径为R 的金属球接地，在与球心O 相距为r （r R >）处放置一点电荷q ，不计接地导线上电荷的影响，求金属球表面上的感
应电荷总量。
解 由题可知，金属球为等势体，且电势为零。设金属球表面感应电荷总量为q '，其内任意一点的电势等于球外点电荷q 与球面上感应电荷
q '在球心O 激发的电势的叠加。又感应电荷在球
心O 处激发的电势为04q V R
ε''=
π，球外点电荷在球心O 激发的电势为04q
V r ε=π.
由上分析可知在球心O 的电势为 00044O q q V r R
εε'
=
+=ππ 所以,金属球表面的感应电荷总量为 R q q r
'=-
8-5 有一个平板电容器，充电后极板上电荷面密度为52
0 4.510C m σ--=??，
现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为r 2.0ε=的电介质插入两极板之间。此时电介质中的D 和E 各为多少？
解 电容器冲电后断开电源,插入电介质, 极板上自由电荷面密度不变,由介质中的高斯定理可得介质中的电位移矢量大小为
0D σ==524.510C m --??
其方向由正极板指向负极板.
由0r εε=D E 可得介质中的电场强度大小为 610r
2.510V m D
E εε-=
=??
其方向也是由正极板指向负极板.
8-6 在一半径为1R 的长直导线外套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为2R ，相对电容率为r ε，设沿轴线单位长度上导线的电荷密度为λ，试求介质层内的D 和
E .
解 我们可将此导线看作无限长、且自由电荷均匀分布于表面。导线上自由电荷密度为λ，同时在绝缘介质层内、外表面分别有极化电荷产生，且呈轴对称分布。
由电荷分布的对称性，我们可以取与导线同轴、半径为r 、长为L 的圆柱面为高斯面（如图），由介质中的高斯定理有
2S
d D rL =L λ?=?π??D S
即 2r r
λ
=
πD e
由0r εε=D E 可得介质层内的电场强度为
0r
0r 2r r
λ
εεεε=
=
πD
E e
8-7 地球和电离层可当作一个球形电容器,它们之间相距约为100km ,试估算地球-电离层系统的电容.设地球与电离层之间为真空.
解 地球相当于球形电容器的内壳层，电离层相当于电容器的外壳层，即
61 6.3710m R =?，56211.0010m 6.4710m R R =?+=?
由球形电容器电容公式可得 212
021
4 4.5810F R R C R R ε-=π=?-
8-8 两线输电线的导线半径为3.26mm ,两线中心相距0.50m .输电线位于地面上空很高处,因而大地影响可以忽略.求输电线单位长度的电容.
解 由教材8-4节例4可知两输电线的电势差为 0ln d R U R
λε-=
π 所以，输电线单位长度的电容为
ln C d R
U R
ελ
-π=
=
又导线半径远小于两线间距（R d <<），所以
120
4.8610F ln C d R
ε-π≈
=?
8-9 如图所示,两块相距为0.50mm 的薄金属板A 、B 构成的空气平板电容器，被屏蔽在一个金属盒K ，金属盒上、下两壁与A 、B 分别相距0.25mm ，金属板面积为2
3040mm ?.求:(1)被屏蔽后的电容器电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。 解 （1）薄金属板A 、B 与金属盒一起相当
于三个电容器串联构成的一个回路（如图(a )），其中1C 为A 、B 板构成, 2C 为A 板与金属盒上壁构成, 3C 由B 板与金属盒X 下壁构成. A 、B 间的等效电容相当于2C 、3C 串联之后再与1C 并联所得的电容. 又
12322d d d ==, 所以2312C C C ==, 因此A 、
B 间的总电容为 23
1123
2C C C C C C C ?=
+=+
即被屏蔽后电容器电容增大为原来的2倍.
(2)若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于2C 或3C 极板短接(如图（b ）), 被短接的电容为零. 则总电容为 13C C '=
即被屏蔽后电容器电容增大为原来的3倍.
8-10 如图所示，在点A 和点B 之间有五个电容器，其连接如图所示。（1）求A 、B 两点之间的等效电容；（2）若A 、B 之间的电势差为12V
，
K
A B
A B
(a)
A B
(b)
2
4
求AC U 、CD U 、DB U .
解 （1）由电容器的串、并联可得 AC 之间电容为
1212F AC C C C μ=+=
CD 之间电容为
348F CD C C C μ=+=
所以AB 之间电容满足
5
1111AB AC CD C C C C =++ 由上可知，AB 之间等效电容为
4F AB C μ=
（2）由于 AB AB AB U Q =，AC AC AC U Q =，
CD CD CD U Q C =，DB DB DB U Q =
根据A 、B 、C 、D 各处电流相等可知AB AC CD DB Q Q Q Q ===, 所以有
4V AB
AC AB AC
C U U C =
= 6V AB
CD AB CD
C U U C =
= 2V AB
DB AB DB
C U U C ==
8-11 一片二氧化钛晶片，其面积为2
1.0cm ，厚度为0.10mm ，把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧。求（1）电容器的电容；（2）电容器两极加上12V 电压时，极板上的电荷为多少，此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3）求电容器内的电场强度。
解 (1)二氧化钛相对电容率为r 173ε=. 将平行板电容器充满此介质后,其电
容
90r 1.5310F S
C d
εε-=
=?
(2)若在电容器两极加上12V 电压，极板上的电荷 8
1.8410C Q CU -==?
此时极板上自由电荷面密度 420 1.8410C m Q
S
σ--==?? 晶片表面极化电荷面密度为
42
r 00r 1 1.8310C m εσσε--??-'==??
???
(3) 电容器内的电场强度 511.210V m U
E d
-==??
8-12 如图所示，球形电极浮在相对电容率为r 3.0ε=的油槽中，球的一半浸
没在油中，另一半在空气中，已知电极所带净电荷6
0 2.010C Q -=?，问球的上下
两部分各有多少电荷？
解 由于球形导体一半浸在油中,一半在空气中,球面电荷不再是均匀分布,上下两部分电荷也不相同, 但由于静电平衡, 导体为一个等势体, 我们可以将导体球等效为两个孤立半球电容器的并联, 这两个半球电容器分别处于空气和油中.
处于空气中的上半球的电容为
102C R ε=π 处于油中的下半球的电容为
20r 2C R εε=π
设这上、下两个半球所带电荷分别为1Q 、2Q ，则120Q Q Q += 又两个半球电势相等，即
1122Q C Q =
由以上两式可得上下两半球所带的电荷分别为
6110012r 1
0.5010C 1C Q Q Q C C ε-=
==?++
62r 20012r 1.510C 1
C Q Q Q C C ε
ε-=
==?++
8-13 如图，有一空气平板电容器极板面积为S ，间距为d ，现将该电容器接
在端电压为U 的电源上充电。当（1）充足电后；（2）然后平行插入一块面积相同，厚度为()d δδ<，相对电容率为r ε的电介质板；（3）将上述电介质换为相同大小的导体板时，分别求极板上的电荷Q ，极板间的电场强度E 和电容器的电容C .
解 （1）空气平板电容器电容 00S
C d
ε=
将电容器接在电源上充电，两极板间电势差等于为电源端电压. 充电后，极板上的电荷为
000S
Q C U U d
ε==
极板间电场强度为
0E U d =
(2)插入电介质板后, 两极板间电势差保持不变, 设极板上电荷为1Q ,则有
()1100r Q Q
U d S S
δδεεε=
-+ 此时电容器电容为 ()
0r 11r S
C Q U d εεδεδ==
+-
极板上电荷为 ()
0r 1r SU
Q d εεδεδ=
+-
极板间空气中电场强度为 ()
1r 10r Q U
E S d εεδεδ=
=+-
U
介质中电场强度为 ()
1
10r r Q U
E S
d εεδεδ'=
=
+-
(3)若将介质换为导体板, 达到静电平衡后, 导体为等势体, 此时的电容器相 当于极板间距减少为()d δ-, 其电容和极板上的电荷分别为
02S
C d εδ=
- 02S
Q U d εδ
=-
空气中电场强度为 2U
E d δ
=
- 导体中电场强度为 20E '=
8-14 如图所示，在平板电容器中填入两种介质，每一种介质各占一半体积。试证其电容为0r1r22
S
C d
εεε+=
证明 此电容器可视为极板面积均为2S ，分
别充满相对电容率为r1ε、
r2ε的两个平板电容器的并联。
这两个平板电容器的电容分别为
0r112S
C d
εε= 0r222S C d
εε=
所以原平板电容器的电容为
0r1r2122
S
C C C d
εεε+=+=
8-15 为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视为相对电容率为r ε的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A 、B 为平板电容器的导体极板，0d 为两极板间的间距。试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量厚度d 之间的函数关系。如果要检测铜板等金属材料的厚度，结果又将如何？
解 将待测材料（厚度为d ）平行放置于平板电容器两极板间。由8-13题第（2）问可知，此时电容器的电容与材料厚度之间的关系式为
()
0r 0r 0S
C d d d εεε=
+-
当我们直接测得电容C ，由上式即可得到待测材料的厚度
()
0r r 0r r 1
1S
d d C εεεεε=
-
--
以此判断待测材料是否符合要求。
如果要检测金属材料的厚度，同样将材料平行放于电容器两极板间。由8-13题第（3）问可知，此时电容器的电容与材料厚度之间的关系为
00S
C d d
ε=
-
00S
d d C
ε=-
8-16 有一平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01mm 的聚四氟乙烯薄膜所隔开。求该电容器的额定电压。
解 聚四氟乙烯的击穿电场强度为71
b 1.910V m E -=??, 所以此电容器两极
板间的电场强度应满足b E E ≤, 同时极板间所能承受的最大电压、即额定电压的大小为
b 190V U E d ==
8-17 一空气平板电容器，空气层厚1.5cm ，两极间电压为40kV ，这电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30cm 的玻璃板插入此电容器，并与两板平行，若该玻璃的相对电容率r 7.0ε=，击穿电场强度为1
10MV m -?，这时电容器会被击穿吗？
解 空气的击穿场强为61
b 3.010V m E -=??
当电容器极板间电压为40kV 时，极板间电场强度为
612.710V m U
E d
-=
=?? 可见两极间的电场强度b E E <，所以电容器不会被击穿。
插入玻璃板后，8-13题第（2）问可知，电容器两极板间空气中的电场强度为
()
61r 1r 3.210V m U
E d εδεδ-=
=??+-
此场强大于空气的击穿场强（1b E E >），空气层将被击穿，此时玻璃板间的电压为
40kV ，其内部电场强度为
712 1.310V m U
E δ
-=
=??
而玻璃的击穿场强为1b 10MV m E -'=?，可见2b E E '>，玻璃层也会被击穿。 由以上分析可知，当插入玻璃板后，电容器会被击穿。
8-18 某介质的相对电容率为r 2.8ε=，击穿电场强度为1
18MV m -?，如果用它来作平板电容器的电介质，要获得电容为0.047F μ而耐压为4000V 的电容器，它的极板面积至少要多大？
解 电容器的最大电压m 4.0kV U =，由题可知其内的电场强度必须满足
1b 18MV m E E -≤=?
所以此电容器两极板间的最小距离为
4
m m 2.2210m d U E -==?
由0r S C d
εε=
可知，要获得0.047F μ的电容，则两极板面积至少为
20r
0.42m Cd
S εε==
8-19 一平行板空气电容器，极板面积为S ，极板间距为d ，充电至带电Q 后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极间距拉开到2d ，求：（1）电容器能量的改变；（2）在此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。
解 （1）充电后断开电源，电容器所带电荷保持不变，板间电场强度也保持不变，所以板间电场能量密度为
22
e 02
0122Q E S
εε==w 当极板间距被拉开，则电场空间增大，电容器能量随之增大，当间距变为2d ，电
容器能量增加
22e e 2
0022Q Q d
W V d S S S
εε?=?=?=w （2）此过程中两极板被缓缓拉开，外力必须克服静电力作功，且外力e =-F F ，
e F 为一极板上电荷所受的静电力，所以外力所作的功为
202Q d
A Fd QEd S
ε===
可见外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加.
第13章静电场中的导体和电介质
思考题 13-1 尖端放电的物理实质是什么？ 答： 尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去。 13-2 将一个带电+q 半径为R B 的大导体球B 移近一个半径为R A 而不带电的小导体球A ，试判断下列说法是否正确？并说明理由。 (1) B 球电势高于A 球。 答： 正确。不带电的导体球A 在带电+q 的导体球B 的电场中，将有感应电荷分布于表面。另外，定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电势逐点降低，又由图看出电场线自导体球B 指向导体球A ，故B 球电势高于A 球。 (2) 以无限远为电势零点，A 球的电势: V A < 0 答： 不正确。若以无穷远处为电势零点V ∞＝0，从图可知A 球的电力线伸向无穷远处。所以，V A ＞0。 13-3 怎样能使导体净电荷为零 ，而其电势不为零? 答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有∑=0q 而导体的电势V ≠0 。 图13-37 均匀带电球体的电场能
13-4 怎样理解静电平衡时导体内部各点的场强为零？ 答： 必须注意以下两点： （1） 这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元。对于微观点，例如导体中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零； （2） 静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电荷除静电场力以外不受其他力（如“化学力”）的情况下才能成立。 13-5 怎样理解导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比？ 答： 不应产生这样的误解：导体表面附近一点的场强，只是由该点的一个面电荷元S ?σ产生的。实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强。如果场中不止一个导体，则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献。 13-6 为什么不能使一个物体无限制地带电？ 答： 所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷。当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电量的增加而增大。带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子和离子，这些游离的电子和离子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附近的大气被击穿。在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到带电体上，使带电体的电量减少。所以一个物体不能无限制地带电。如尖端放电现象。 13-7 感应电荷的大小和分布怎样确定？ 答： 当施感电荷Q 接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷±q ′。其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷
10静电场中的导体和电介质习题解答
第十章 静电场中的导体和电介质 一 选择题 1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 2 02 00π4 . D ) (π4 . C π4 . B π4 .A R) (a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势 ??'±'±='= ' = 'q q q R R q V 0d π41π4d 00 εε 点电荷q 在球心处的电势为 a q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a q V V V 00π4ε= '+=。 所以选（A ） 2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( ) 2 . D . C 2 . B 2 .A εd E= εE= E E σσεσ εσ= = 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0 εσ= E 。 所以选（C ） 3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d 103 第八章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。 2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。 3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡 导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量 在均匀各向同性介质中 E E D r εεε0== 介质中的高斯定理 ∑??=?i i s Q s d D 自 3．电容器的电容 U Q C ?= 电容器的能量 C Q W 2 21= 4．电场的能量 电场能量密度 D E w ?= 2 1 电场能量 ? = V wdV W 三、例题 8-1 下列叙述正确的有（Ｂ） （Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。 104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。 解：选（B ）。由高斯定理??∑=?0/εi i q s d E ，由 ∑=?=00φq ，但场强则 不一定为零，如上题。 （C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。 8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为 R Q U 0114πε- = 点电荷Ｑ2在球心的电势为 R Q R Q U 02 0221234πεπε= ?= 所以，O 点的总电势为 R Q Q U U U 01 2210123ε-= += 由于整个导体球壳为等势体，则 0U U A =R Q Q 01 2123ε-= 8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。 解：连接前，空心球电势R Q U 2401 1πε= ，所以带电量为 第6章 静电场中的导体与电介质 一、选择题 1. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高 (C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过 [ ] 2. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 [ ] 3. 当一个带电导体达到静电平衡时 (A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高 [ ] 4. 一个带正电的小球放入一个带等量异号电荷、半径为R 的球壳中，如图1所示．在距球心为r (R r <)处的电场与放入小球前相比将 (A) 放入前后场强相同 (B) 放入小球后场强增加 (C) 因两者电荷异号, 故场强减小 (D) 无法判定 [ ] 5. 设无穷远处电势为零, 半径为R 的导体球带电后其电势为V , 则球外离球心距离为r 处的电场强度大小为 (A) 23R V r (B) V r (C) 2RV r (D) V R [ ] 6. 有两个大小不等的金属球, 其大球半径是小球半径的两倍, 小球带有正电荷．当用金属细线连接两金属球后 (A) 大球电势是小球电势的两倍 (B) 大球电势是小球电势的一半 (C) 所有电荷流向大球 (D) 两球电势相等 [ ] 7. 在某静电场中作一封闭曲面S ．若有 ??=?s S D 0d ? ρ, 则S 面内必定 (A) 没有自由电荷 (B) 既无自由电荷, 也无束缚电荷 (C) 自由电荷的代数和为零 (D) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 [ ] 8. 有一空气球形电容器, 当使其内球半径增大到两球面间的距离为原来的一半时, 此电容器的电容为 (A) 原来的两倍 (B) 原来的一半 (C) 与原来的相同 (D) 以上答案都不对 [ ] 9. 一均匀带电Q 的球体外, 罩一个内、外半径分别为r 和R 的同心金属球壳，如图2所示．若以无限远处为电势零点, 则在金属球壳r ＜R ＇＜R 的区域内 q 图1 大学物理课后答案第 七章静电场中的导 体和电介质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 习题7 7-2 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题7-2图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少以地的电势为零，则A 板的电势是多少 解: 如题7-2图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为 2σ 题7-2图 (1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d 21===AC AB AB AC E E σσ 且 1σ+2σS q A = 得 ,32S q A = σ S q A 321=σ 而 711023 2 -?-=- =-=A C q S q σC C 10172-?-=-=S q B σ (2) 30 1 103.2d d ?== =AC AC AC A E U εσV 3 7-3 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算： (1)外球壳上的电荷分布及电势大小； (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势 题7-3图 ? ? ∞ ∞==?=2 2 020π4π4d d R R R q r r q r E U εε (2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生： 0π4π42 02 0=- = R q R q U εε (3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且 0π4' π4'π4'2 02 01 0=+-+ - = R q q R q R q U A εεε 第6章静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. 一个不带电的导体球壳半径为r , 球心处放一点电荷, 可测得球壳内外的电场．此后将该点电荷移至距球心r/2处, 重新测量电场．试问电荷的移动对电场的影响为下列哪 一种情况? [ ] (A) 对球壳内外电场无影响 (B) 球壳内外电场均改变 (C) 球壳内电场改变, 球壳外电场不变 T6-1-1图 (D) 球壳内电场不变, 球壳外电场改变 2. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 [ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高 (C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过 3. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 [ ] (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 4. 当一个带电导体达到静电平衡时 [ ] (A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高 T6-1-5图 5. 一点电荷q放在一无限大导体平面附近, 相距d, 若无限大导体平面与地相连, 则导体平面上的总电量是 [ ] (A) qq (B) - (C) q (D) -q 22 6. 在一个绝缘的导体球壳的中心放一点电荷q, 则球壳内、外表面上电荷均匀分布．若 使q偏离球心, 则表面电荷分布情况为 [ ] (A) 内、外表面仍均匀分布 (B) 内表面均匀分布, 外表面不均匀分布 (C) 内、外表面都不均匀分布 (D) 内表面不均匀分布, 外表面均匀分布 7. 带电量不相等的两个球形导体相隔很远, 现用一根细导线将它们连接起来．若大球半径为m, 小球半径为n, 当静电平衡后, 两球表面的电荷密度之比σ m／σ n 为 mnm2n2 [ ] (A) (B) (C) 2 (D) 2 nmnm 8. 真空中有两块面积相同的金属板, 甲板带电q, 乙板带电Q．现 将两板相距很近地平行放置, 并使乙板接地, 则乙板所带的电量为 [ ] (A) 0 (B) －q (C) - q+Qq+Q (D) 22 T6-1-8图 9. 在带电量为+q的金属球的电场中, 为测量某点的电场强度E, 现在该点放一带电量为(+q/3)的试验电荷, 电荷受力为F, 则该点的电场强度满足 6F 3F[ ] (A) E> (B) E> qq 3F 3FT6-1-9图 (C) E< (D) E= qq 测得它所受力为F．若考虑到q不是足够小, 则此时F/q比P点未放q 时的场强 [ ] (A) 小 (B) 大 (C) 相等 (D) 大小不能确定 10. 在一个带电量为Q的大导体附近的P点, 置一试验电荷q, 实验 第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明： R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+==??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π4100εε+ ? 03π4π400=+'= R q R q εε 故 - ='q 3 q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。 （1）求导体球和球壳的电势1V 和2V ； （2）如果将球壳接地，求1V 和2V ； （3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求1V 和2V 。 解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。 半径为R 、带电量为q 的均匀带电球面产生的电势分布为 ???????>≤=)( 4)( 400 R r r q R r R q V πεπε 导体球外表面均匀带电q ；导体球壳表面均匀带电q -，外表面均匀带电Q q +，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。 导体球是等势体，其上任一点电势为 )( 413 210 1R Q q R q R q V ++-= πε 球壳是等势体，其上任一点电势为 第七章 静电场中的导体、电介质 一、选择题： 1. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为：[ ] （A ）E=0 2εσ （B ）E=02εσ （C ）E=0εσ （D ）E=02d εσ 2. 两个同心薄金属体，半径分别为R 1和R 2（R 2>R 1），若分别带上电量为q 1和q 2的电荷，则两者的电势分别为U 1和U 2（选无穷远处为电势零点），现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为[ ] （A ）U 1 （B ）U 2 （C ）U 1+U 2 （D ）2 1 （U 1+U 2） 3.如图所示，一封闭的导体壳A 内有两个导体B 和C ，A 、C 不带电，B 带正电，则A 、B 、C 三导体的电势U A 、U B 、U C 的大小关系是[ ] （A ）U A =U B =U C （B ）U B > U A =U C （C ）U B >U C >U A （D ）U B >U A >U C 4.一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ，则板的两侧离板的距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为： [ ] （A ）零 （B ）02εσ （C ）0εσh （D ）0 2εσh 5. 当一个带电导体达到静电平衡时： [ ] (A) 表面上电荷密度转大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势。 (C)导体内部的电势比导体表面的电势高。 (D)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。 6. 如图示为一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、 外半径分别为r 1、r 2的金属球壳、设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为： [ ] （A ）E= r Q U r Q 02 04,4πεπε= （B ）E=0， 1 04r Q πε （C ）E=0， r Q 04πε （D ）E=0，2 04r Q πε 7. 设有一个带正电的导体球壳，若球壳内充满电介质，球壳外是真空时，球壳外一点的场强大小和电势用E 1，U 1表示；若球壳内、外均为真空时，壳外一点的场强大小和电势用E 2、U 2表示，则两种情况下，壳外同一处的场强大小和电势大小的关系为： [ ] （A ）E 1=E 2， U 1=U 2 （B ）E 1=E 2， U 1>U 2 （C ）E 1>E 2， U 1>U 2 （D ）E 1 一、选择题 [ B ］1（基础训练2） 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它 平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷 面密度为+σ ，则在导体板B 的两个表面 1和2上的感生电荷面密度为： (A) σ 1 = - σ， σ 2 = + σ． (B) σ 1 = σ21- ， σ 2 =σ2 1 +． (C) σ 1 = σ21- ， σ 1 = σ2 1 -． (D) σ 1 = - σ， σ 2 = 0． 【提示】“无限大”平面导体板B 是电中性的：σ 1S+σ 2S=0， 静电平衡时平面导体板B 内部的场强为零，由场强叠加原理得： 02220 2010=-+εσεσεσ 联立解得： 122 2 σ σ σσ=- = [ C ］2（基础训练6）半径为R 的金属球与地连接。在与球心O 相距d =2R 处有一电荷为q 的点电荷。如图所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q ' 为： (A) 0． (B) 2q ． (C) -2 q ． (D) -q ． 【提示】静电平衡时金属球是等势体。金属球接地，球心电势为零。球心电 势可用电势叠加法求得： 000'044q dq q R d πεπε' +=?， 00' 01'44q q dq R d πεπε=-?， 'q q R d =-，其中d = 2R ，'2q q ∴=- ［ C ］3（基础训练8）两只电容器，C 1 = 8 μF ，C 2 = 2 μF ，分别把 它们充电到 1000 V ，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的电势差 为： (A) 0 V ． (B) 200 V ． (C) 600 V ． (D) 1000 V 【提示】反接，正负电荷抵消后的净电量为 661212(82)101000610Q Q Q C U C U C --=-=-=-??=? 这些电荷重新分布，最后两个电容器的电压相等，相当于并联。并联的等效电容为 512C'10C C F -=+=，电势差为'600()' Q U V C = =。 ［ D ］4（基础训练10）两个完全相同的电容器C 1和C 2，串联后与电源连接。现将一各向同性均匀电介质板插入C 1中，如图所示，则(A) 电容器组总电容减小． (B) C 1上的电荷大于C 2上的电荷． (C) C 1上的电压高于C 2上的电压 ．(D) 电容器组贮存的总能量增大． 【提示】(A) C 1↑，1/C=(1/C 1)+(1/C 2)，∴C ↑ (B) 串联，Q 1=Q 2 (C) U 1=Q/C 1，U 2=Q/C 2 ，∴U 1 第十章 大学物理辅导 静电场中的导体和电介质 ～53 ～ 第十章 静电场中的导体和电介质 一、教材的安排与教学目的 1、教材安排 本章的教材安排，讲授顺序可概括为以下五个方面： （1）导体的静电平衡； （2）电介质的极化规律； （3）电位移矢量和有介质时的高斯定理； （4）电容和电容器； （5）电容器的储能和电场的能量。 2、教学目的 本章的教学目的是： （1）使学生确切理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡导体的基本性质； （2）使学生了解电介质极化的机构，了解极化规律；理解电位移矢量的定义和有介质时的高斯定理； （3）使学生正确理解电容概念，掌握计算电容器的方法。 （4）使学生掌握电容器储能公式，并通过电容器的储能了解电场的能量。 二、教学要求 1、掌握导体的静电平衡条件，明确导体与电场相互作用的大体图象； 2、了解电介质的极化规律，清楚对电极化强度矢量是如何定义的，明确极化强度由总电场决定，并且'=σθP cos ； 3、理解电位移矢量的定义，注意定义式 D E P =+ε0是普遍适用的，明确 D 是一个 辅助矢量； 4、掌握有介质时的高斯定理； 5、掌握电容和电容器的概念，掌握电容器电容的计算方法； 6、了解电容器的储能和电场能量 三、内容提要 1、导体的静电平衡条件 （1）导体的静电平衡条件是导体内部场强处处为零。所谓静电平衡，指的是带电体系中的电荷静止不动，因而电场分布不随时间而变化。导体的特点是体内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以移动从而改变电荷的分布。电荷分布的改变又会影响到场的分布。这样互相影响，互相制约，最后达到静电平衡。 （2）从导体的静电平衡条件出发，可以得出三个推论 导体是个等势体，表面是个等势面； 导体表面外侧的场强方向处处垂直于表面，并且有导体内部无净电荷，即电荷体密度，电荷只分布在导体表面。 ；E =??? ??? =σερ00 2、电介质的极化规律 大学物理第7章静电 场中的导体和电介质课后习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球 上电荷分布的影响。试证明：R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+= =??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π41 00εε+ ? 03π4π400=+'=R q R q εε 第9章静电场中的导体和电介质 什么是导体什么是电介质 静电场中的导体静电平衡 9.1.1 静电感应静电平衡 金属导体：金属离子+、自由电子- 1、静电感应：在外电场作用下，导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。（感应电荷与外加电场相互影响，比如金属球置于匀强电场中，外电场使电荷重新分布，感应电荷的分布使均匀电场在导体附近发生弯曲。） 2、导体静电平衡条件 不受外电场影响时，无论对整个导体或对导体中某一个小部分来说，自由电子的负电荷和金属离子的正电荷的总量是相等的，正负电荷中心重合，导体呈现电中性。 若把金属导体放在外电场中，比如把一块金属板放在电场强度为0E r 的匀强电场中，这时导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力作用下作宏观定向运动，自由电子逆着电场方向移动，从而使导体中的电荷重新分布。电荷重新分布的结果使得金属板两侧会出现等量异号的电荷。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。 感应电荷在金属板的内部建立起一个附加 电场，其电场强度'E r 和外在的电场强度0E r 的方向相反。这样，金属板内部的电场强度E r 就是0 E r 和'E r 的叠加。开始时0'E E <，金属板内部的 电场强度不为零，自由电子会不断地向左移动， 从而使'E r 增大。这个过程一直延续到金属板内部的电场强度等于零，即0'0E E E =+=r r r 时为止。这时，导体上没有电荷作定向运动，导体处于静电平衡 状态。 当导体处于静电平衡状态时，满足以下条件： 静电场中的导体与电介质考试题及答案 6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ） （A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。 6 －2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地 分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。因而正确答案为（A ）。 6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0= = （B ）d εq V d εq E 02 0π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）R εq V d εq E 020π4,π4== 分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q ′，导体球表面的感应电荷±q ′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（A ）。 6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( ) （A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关 分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为（E ）。 6 －5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ） （A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该 第十章静电场中的导体和电介质§10-1 静电场中的导体 一、导体的静电平衡 1、金属导体的电结构及静电感应 （1）金属导体：由带正电的晶格和带负电的自由电子组成. 带电导体：总电量不为零的导体； 中性导体：总电量为零的导体； 孤立导体：与其他物体距离足够远的导体. “足够远”指其他物体的电荷在该导体上激发的场强小到可以忽略. （2）静电感应过程：导体内电荷分布与电场的空间分布相互影响的过程. （3）静电平衡状态：导体中自由电荷没有定向移动的状态. 2、导体静电平衡条件 （1）从场强角度看： ①导体内任一点，场强； ②导体表面上任一点与表面垂直. 证明：由于电场线与等势面垂直，所以导体表面附近的电场强度必定与该处表面垂直. 说明：①静电平衡与导体的形状和类别无关. ②“表面”包括内、外表面； （2）从电势角度也可以把上述结论说成：静电平衡时导体为等势体. ①导体内各点电势相等； ②导体表面为等势面. 证明：在导体上任取两点A，B，.由于=0，所以. （插话：空间电场线的画法. 由于静电平衡的导体是等势体，表面是等势面.因此，导体正端发出的电场线绝对不会回到导体的负端.应为正电荷发出的电场线终于无穷远，负电荷发出的电场线始于无穷远.） 二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布 如图所示，导体电荷为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 导体静电平衡时其内， ， 即. S面是任意的，导体内无净电荷存在. 结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上. 2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况 如图所示，导体电量为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 教学要求 了解有极分子和无极分子，有极分子的取向极化、无极分子的位移极化、电极化强度。了解电介质的静电场。 理解静电平衡的条件、推论及其性质、静电平衡时导体上的电荷分布，空腔导体内外的静电场、静电屏蔽，有电介质时的高斯定理及应用、电位移的定义、D ，E ，P 之间的关系。 9.5 静电场中的导体 9.5.1 导体的静电平衡 导体的特点是导体内存在着大量的自由电荷,对金属导体（本书讨论都是金属导体）而言，就是自由电子。即金属导体在它内部有可以自由移动的电荷—自由电子。一个不带电的中性导体放在静电场中，在电场力作用下，它内部自由电子将受静电场的作用而产生定向运动而改变导体上的电荷分布。这电荷的分布的改变又将反过来改变导体内外的电场分布。这种现象叫做静电感应。导体由于静电感应而带的电荷叫感应电荷。因此，当电场中有导体存在时，电荷分布和电场分布相互影响、相互制约。当导体内部和表面都没有电荷的宏观定向运动时，我们称导体处于静电平衡状态。导体达到静电平衡状态所满足的条件叫静电平衡条件。 如图9-27，我们将一块导体板放入一均匀电场E 中，电场力则驱动金属板内部的自由 电荷逆着电场的方向运动，使得金属板的两个侧面出现等量异号的电荷。这些电荷将在金属 板的内部建立一个附加电场'E ，附加电场'E 的方向与原场E 相反。金属板内部的电场强度就是E 和'E 的叠加。开始时，E E <'，金属板内部的电场不为零，自由电子会不停地向左移动，从而使' E 增大。这个过程一直达到静电平衡状态为止。 int 0 E = 'E E 图9－27 导体的静电平衡 E E 静电平衡状态只有在导体内部场强处处为零时才有可能达到和维持。否则，导体内部的自由电子在电场的作用下将发生定向移动。同时，导体表面附近的电场强度必定和导体表面垂直。显然，导体的静电平衡条件是：导体内部场强处处为零，即int 0E ≡ ，导体表面紧邻 处的场强s E 垂直于导体表面。这里所说的电场强度，指的是外加的静电场E 和感应电荷产 生的附加电场'E 叠加后的总电场，即=E E E '+ 总。由于将导体放入电场中到建立静电平衡 的时间是极短的（610s -的数量级），所以通常在我们处理静电场中的导体问题时，若非特别说明，总是把它当作已达到静电平衡的状态来讨论。 处于静电平衡状态的导体，除了电场强度满足上述的静电平衡条件外，还具有以下性质： （1)导体是等势体，导体表面是等势面。当导体处于静电平衡时，因为其内部电场强度处处为零，而且表面紧邻处的电场强度都垂直于表面，所以导体中以及表面上任意两点间的电势必然为零。 （2)导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只分布在导体的表面上。 为了证明上述结论，我们在导体内部围绕任意点P 作一个小闭合曲面S （如图9-28），由于静电平衡时导体内部电场强度处处为零，因此通过此封闭曲面的电通量必然为零。按高斯定理，此闭合曲面内电荷的代数和为零，由于P 点是任意的，封闭曲面也可以作得任意地小，所以导体内部各处净电荷为零,电荷只能分布在表面。 （3) 导体以外，靠近导体表面附近场强大小和导体表面在该处的面电荷密度 的关系 为 E σε= （9-30 图9-29导体表面电荷与场强的关系 ' S ?int 0 E = E 图9-28 导体内无净电荷 p σ 《大学物理》练习题 No .4 静电场中的导体 电介质及能量 班级 ___________ 学号 ___________ 姓名 ___________ 成绩 ________ 一、 选择题 1. 如图4.1,真空中有一点电荷Q 及空心金属球壳A, A 处于静电平衡, 球内有一点M, 球壳中有一点N, 以下说法正确的是 [ E ] (A) E M ≠0, E N =0 ,Q 在M 处产生电场,而在N 处不产生电场； (B) E M =0, E N ≠0 ,Q 在M 处不产生电场,而在N 处产生电场； (C) E M = E N =0 ,Q 在M 、N 处都不产生电场； (D) E M ≠0,E N ≠0,Q 在M 、N 处都产生电场； (E) E M = E N =0 ,Q 在M 、N 处都产生电场. 2.如图4.2,原先不带电的金属球壳的球心处放一点电荷q 1 , 球外放一点电荷q 2 ,设q 2 、金属内表面的电荷、外表面的电荷对q 1的作用力分别为F 1、F 2、F 3 , q 1受的总电场力为F , 则 [ C ] (A) F 1=F 2=F 3=F =0. (B) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2 = 0 , F 3 = 0 , F =F 1 . (C) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2 = 0 ,F 3 =- q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) (即与F 1反 向), F =0 . (D) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2 = - q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) (即与F 1反 向) ,F 3 =0, F =0 . (E) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2=- q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) (即与F 1反向), F 3 = 0, F =0 . 3. 一导体球外充满相对电容率为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为： [ B ] (A) ε0E . (B) ε0εr E . (C) εr E . (D) (ε0εr -ε0)E . 4. 两个半径相同的金属球,一为空心,一为实心,把两者各自孤立时的电容值加以比较,则： [ C ] (A) 空心球电容值大. (B) 实心球电容值大. (C) 两球电容值相等. (D) 大小关系无法确定. 5.平行板电容器充电后与电源断开,然后在两极板间插入一导体平板,则电容C , 极板间电压V ,极板空间(不含插入的导体板)电场强度E 以及电场的能量W 将(↑表示增大,↓表示减小) [ B ] (A) C ↓,U ↑,W ↑,E ↑. (B) C ↑,U ↓,W ↓,E 不变. (C) C ↑,U ↑,W ↑,E ↑. (D) C ↓,U ↓,W ↓,E ↓. ?Q 图4.1, q 图4.2 习题二 一、选择题 1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。 设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］ （A ）200, 44Q Q E U r r εε= = ππ； （B ）01 0, 4Q E U r ε==π； （C ）00, 4Q E U r ε==π； （D ）020, 4Q E U r ε== π。 答案：D 解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得 00 0202 Q Q Q Q U r r r r εεεε-= + += 4π4π4π4π 2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］ （A ）0； （B ）2 q ； （C ）2q -； （D ）q -。 答案：C D? 解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U d R πεπε'=+ =（球面上所有感应电荷到 球心的距离相等，均为R ），由此解得2 R q q q d '=-=-。 3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2 200,44r Q Q E D r r εεε= =ππ； （B ）22 ,44r Q Q E D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）22 00,44Q Q E D r r εε==ππ。 答案：C第八章 静电场中的导体和电介质
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