人教版(理)高考数学《大一轮复习讲义》第1章 集合
§1.1集合
2014高考会这样考 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．复习备考要这样做 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．
1．元素与集合
(1)集合中元素的两个特性：确定性、互异性．
(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈或?.
(3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图．
(4)常见集合的符号表示
数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集
符号N N＋或N*Z Q R C
2.
表示
关系
文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同A?B，B?A?A＝B
子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素A?B或B?A
真子集集合A中任意一元素均为集合B的元素，
且集合B中至少有一个元素不是集合A中
的元素
A B或
B A
空集空集是任意一个集合的子集，是任何非空
集合的真子集
??A，?B(B≠?)
3.
集合的并集集合的交集
集合的补集
图形
符号A∪B＝{x|x∈A
或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A
且x∈B}
?U A＝{x|x∈U，
且x?A}
4.
并集的性质：
A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
交集的性质：
A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
补集的性质：
A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A.
[难点正本疑点清源]
1．正确理解集合的概念
正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的“确定性和互异性”，在解题中要注意运用．解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况．
3．正确区分?，{0}，{?}
?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?.
1．(2012·江苏)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
答案{1,2,4,6}
解析A∪B是由A，B的所有元素组成的．
A∪B＝{1,2,4,6}．
2．已知集合A＝{x|a－1≤x≤1＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是________．
答案(2,3)
解析 集合B 中，x 2－5x ＋4≥0，∴x ≥4或x ≤1. 又∵集合A 中a －1≤x ≤1＋a .
∵A ∩B ＝?，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2 3．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，则m 的可能取值组成的集合为________． 答案 ? ?? ? ??0，1，－12 解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ?A ， ∴当B ＝?时，m ＝0； 当－1∈B 时，m ＝1； 当2∈B 时，m ＝－1 2. ∴m 的值为0,1，－1 2 . 4．(2012·江西)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为 ( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 C 解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝－1； 当x ＝1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝1； 当x ＝－1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝1； 当x ＝1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝3， 由集合中元素的互异性可知集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }＝{－1,1,3}，即元素的个数为3. 5．(2011·北京)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞) C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 答案 C 解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ?P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 题型一 集合的基本概念 例1 (1)下列集合中表示同一集合的是 ( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2} C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1} D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} (2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝? ?? ? ??0，b a ，b ，则b －a 的值为________． 思维启迪：要解决集合问题首先要考虑集合的确定性和互异性，理解集合中元素的特征． 答案 (1)B (2)2 解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合． (2)因为{1，a ＋b ，a }＝? ?? ? ??0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得b a ＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性． 若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________. 答案 0或98 解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2 3 符合要求． 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或9 8. 题型二 集合间的基本关系 例2 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1 思维启迪：若B ?A ，则B ＝?或B ≠?，要分两种情况进行讨论． 解 当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图． 则???? ? m ＋1≥－2 2m －1≤7m ＋1<2m －1 ，解得2 综上，m 的取值范围为m ≤4. 探究提高 (1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解时，要对参数进行分类讨论． 已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ?B ，则实数a 的取值范 围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 4 解析 由log 2x ≤2，得0 由于A ?B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. 题型三 集合的基本运算 例3 设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(?U A )∩B ＝?，则m 的值是________． 思维启迪：本题中的集合A ，B 均是一元二次方程的解集，其中集合B 中的一元二次方程含有不确定的参数m ，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(?U A )∩B ＝?对集合A ，B 的关系进行转化． 答案 1或2 解析 A ＝{－2，－1}，由(?U A )∩B ＝?，得B ?A ， ∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠?. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1； ②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}； ③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2. 经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2. 探究提高 本题的主要难点有两个：一是集合A ，B 之间关系的确定；二是对集合B 中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联 系，这些联系通过Venn 图进行直观的分析不难找出来，如A ∪B ＝A ?B ?A ， (?U A )∩B ＝??B ?A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法． 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(?R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵A ＝{x |1 2≤x ≤3}， 当a ＝－4时，B ＝{x |－2 ∴A ∩B ＝{x |1 2≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2 (2)?R A ＝{x |x <1 2 或x >3}， 当(?R A )∩B ＝B 时，B ??R A ，即A ∩B ＝?. ①当B ＝?，即a ≥0时，满足B ??R A ； ②当B ≠?，即a <0时，B ＝{x |－－a －a }， 要使B ??R A ，需 －a ≤12，解得－1 4 ≤a <0. 综上可得，实数a的取值范围是a≥－1 4. 题型四集合中的新定义问题 例4(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是() A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的 思维启迪：本题是一道新定义问题试题，较为抽象，题意难以理解，但若“以退为进”，取一些特殊的数集代入检验，即可解决． 答案 A 解析不妨设1∈T，则对于?a，b∈T，∵?a，b，c∈T，都有abc∈T，不妨令c ＝1，则ab∈T，故T关于乘法是封闭的，故T、V中至少有一个关于乘法是封闭的； 若T为偶数集，V为奇数集，则它们符合题意，且均是关于乘法是封闭的，从而B、C错误；若T为非负整数集，V为负整数集，显然T、V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T，?x，y，z∈V，有xyz∈V，但是对于?x，y∈V，有xy>0，xy?V，D错误．故选A. 探究提高本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理． 已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1?A，且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有______个． 答案 6 解析由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个． 集合中元素特征认识不明致误 典例：(5分)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}， 则B 中所含元素的个数为 ( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．10 易错分析 本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B 是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B 中的元素(x ，y )，不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B 的元素的性质中的“x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A ”，只关注“x ∈A ，y ∈A ”，而忽视“x －y ∈A ”的限制条件导致错解． 解析 ∵B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，A ＝{1,2,3,4,5}，∴x ＝2，y ＝1；x ＝3，y ＝1,2；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝5，y ＝1,2,3,4. ∴B ＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}， ∴B 中所含元素的个数为10. 答案 D 温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x 、y 、(x ，y )；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x |y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )的定义域，{y |y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )的值域，{(x ，y )|y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )图象上的点． 2．遗忘空集致误 典例：(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ?P ，则由a 的可取值 组成的集合为__________． 易错分析 从集合的关系看，S ?P ，则S ＝?或S ≠?，易遗忘S ＝?的情况． 解析 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝?，满足S ?P ； 当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ， 为满足S ?P 可使－1a ＝－3或－1 a ＝2， 即a ＝13或a ＝－1 2. 故所求集合为??? ???0，13，－12. 答案 ? ?? ? ??0，13，－12 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考考查的一个重点内容．解答此类问题 的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S ＝?时，a ＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－1 a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意进行分类讨论，避免漏解. 方法与技巧 1．集合中元素的两个特性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化． 2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号． 3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范 1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． 2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． 4．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 5．要注意A ?B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、?U A ??U B 、A ∩(?U B )＝?这五个关系式的等价性． A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·广东)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则?U M 等于 ( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6} 答案 C 解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}， ∴?U M ＝{3,5,6}． 2．(2011·课标全国)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有 ( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 答案 B 解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}． ∴M ∩N 的子集共有22＝4个． 3．(2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(?U A )∪B 为 ( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4} 答案 C 解析 ∵?U A ＝{0,4}，B ＝{2,4}，∴(?U A )∪B ＝{0,2,4}． 4．已知集合M ＝{x |x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．? B ．{x |x ≥1} C ．{x |x >1} D ．{x |x ≥1或x <0} 答案 C 解析 由x x －1≥0，得????? x ≠1，x (x －1)≥0， ∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}， M ∩N ＝{x |x >1}． 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ?A ，则a ＝__________. 答案 －1或2 解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1， 由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2. 6．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝__________. 答案 {(0,1)，(－1,2)} 解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可． 7．(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________. 答案 －1 1 解析 A ＝{x |－5 8．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ??R B ，求实数m 的取值范围． 解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴????? m －2＝0，m ＋2≥3. ∴m ＝2. (2)?R B ＝{x |x 9．(12分)设符号@是数集A 中的一种运算：如果对于任意的x ，y ∈A ，都有x @y ＝xy ∈A ，则称运算@对集合A 是封闭的．设A ＝{x |x ＝m ＋2n ，m 、n ∈Z }，判断A 对通常的实数的乘法运算是否封闭？ 解 设x ＝m 1＋2n 1，y ＝m 2＋2n 2，那么xy ＝(m 1＋2n 1)×(m 2＋2n 2)＝(m 1n 2＋m 2n 1)2＋m 1m 2＋2n 1n 2. 令m ＝m 1m 2＋2n 1n 2，n ＝m 1n 2＋m 2n 1，则xy ＝m ＋2n ， 由于m 1，n 1，m 2，n 2∈R ，所以m ，n ∈R . 故A 对通常的实数的乘法运算是封闭的． B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分) 1．(2012·湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D 解析 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 2．(2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ?A 且S ∩B ≠?的集合S 的个数是 ( ) A ．57 B ．56 C ．49 D ．8 答案 B 解析 由S ?A 知S 是A 的子集，又∵A ＝{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S ?A 的S 共有26＝64(种)可能．又∵S ∩B ≠?，B ＝{4,5,6,7,8}，∴S 中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S ?A 的所有子集S 中，不含4,5,6的子集共有23＝8(种)，∴满足题意的集合S 的可能个数为64－8＝56. 3．(2011·湖北)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}，则?U P 等于 ( ) A.????1 2，＋∞ B.??? ?0，1 2 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0]∪??? ?1 2，＋∞ 答案 A 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}， P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0 ∴?U P ＝{y |y ≥1 2}＝????12，＋∞. 二、填空题(每小题5分，共15分) 4．(2012·陕西改编)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝____________. 答案 (1,2] 解析 M ＝{x |lg x >0}＝{x |x >1}， N ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}， ∴M ∩N ＝{x |x >1}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |1 5．已知M ＝{(x ，y )|y －3 x －2＝a ＋1}，N ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，若M ∩N ＝?，则 a 的值为____________． 答案 1，－1，5 2 ，－4 解析 集合M 表示挖去点(2,3)的直线，集合N 表示一条直线，因此由M ∩N ＝?知， 点(2,3)在集合N 所表示的直线上或两直线平行，由此求得a 的值为1，－1，5 2，－4. 6．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝?，则实数t 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3) 解析 A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ≤t }， 由A ∩B ＝?知，t <－3. 三、解答题 7．(13分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋52， 0≤x ≤3}． (1)若A ∩B ＝?，求a 的取值范围； (2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(?R A )∩B . 解 (1)A ＝{y |y a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}． 当A ∩B ＝?时，? ???? a 2＋1≥4， a ≤2， ∴3≤a ≤2或a ≤－ 3. (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2. ∴a 的最小值为－2. 当a ＝－2时，A ＝{y |y <－2或y >5}． ∴?R A ＝{y |－2≤y ≤5}，∴(?R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．