立体几何初步复习课

立体几何初步复习课

一、内容和内容解析

1．内容

人教版普通高中教科书数学必修第二册第167页至第171页第八章立体几何初步小结及复习参考题8．重点是通过分析常见几何图形及典型问题，梳理立体几何初步的核心概念、定理等内容与思想方法．

本章知识结构如下框图：

2．内容解析

本章包括两部分内容，第一部分是认识基本立体图形：包括从空间几何体的整体观察入手，通过认识柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其相互关

系，认识这些图形的几何结构特征，以及它们在平面上的直观图表示和它们的表面积和体积的计算．

第二部分是认识基本图形位置关系：主要是讨论组成立体图形的几何元素之间的位置关系．从组成立体图形的基本元素——点、直线、平面出发，研究平面基本性质，认识空间点、直线、平面的位置关系，重点研究直线、平面之间的平行和垂直这两种特殊的位置关系．

因此本节课的教学重点是通过分析常见几何图形及典型问题，梳理立体几何初步的核心概念、定理等内容与思想方法，从而构建立体几何的核心体系．难点是分析组合体的结构特征以及运用有关定理推理证明一些几何元素间的位置关系．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）在回顾与思考本章的主要内容的基础上，引导学生梳理立体几何的核心概念、定理等内容与思想方法，构建立体几何的核心体系，体会研究空间图形的基本思路：直观感知、操作确认、推理论证、度量计算．

（2）借助分析典型问题的通性通法，通过“图”（识图、画图、用图）提升学生直观想象素养，通过“写”（图形、文字、符号三种语言）培养学生逻辑推理能力，通过“悟”（直观感知、操作确认）发展学生数学抽象水平．2．目标解析

（1）通过问题的形式回顾主要内容，并不是简单的重复，而是深入思考、归纳概括、建立知识结构，形成研究空间图形的基本方法．

（2）借助正方体等常见几何体模型，设计一些综合性较强的问题让学生自主探究，建立一套解决复杂问题的处理模式．

三、教学问题诊断分析

学生虽然学完了立体几何初步的内容，但对几何图形的认识基本上停留在碎片化的就题论题的表层水平，对空间元素位置关系的研究不深入，需要在一两节复习课上以师生相互交流的方式更深入地认识立体几何．

四、教学支持条件分析

观察和展示现实生活中的实例与图片，“几何画板”的画图软件，投影仪等．

五、教学过程设计

问题1：我们是从哪些角度入手研究基本几何体的结构特征的？你能用基本几何体的结构特征解释身边物体的结构吗？请举例说明．

我们从对空间几何体（实物、模型、图片等）的整体观察入手，认识多面体、旋转体以及一些基本几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球）的结构特征，研究这些几何体的组成元素及其相互关系．

师生共同总结：（1）n棱锥：F=n+1,E=2n,V=n+1,V+F-E=2

n棱柱与n棱台：F=n+2,E=3n,V=2n,V+F-E=2

n棱锥的本质特征：有一个面是n边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．

n棱柱的本质特征：有两个面（均为n边形）相互平行，其余各面是每相邻两个面的公共边互相平行的四边形面．

n棱台是用一个平行于n棱锥底面的平面去截棱锥，所得的底面与截面之间的部分．

当n棱柱的一个底面“均匀”缩小变为面积较小的相似底面时，变成n棱台；继续“均匀”缩小成一个点时，便变成n棱锥．

（2）V+F-E=2

这个规律是欧拉拓扑公式：V+F-E=2,其中V,F,E分别是简单多面体的顶点个数、面数、棱的条数．

例2 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多

面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，半正多面体体现了数学的对称美．图2是图1“半正多面体”的直观图．

（1）请你数一数该几何体的面数F，棱数E，顶点数V，是否有例1的规律？

（2）请你说说是怎样数出来的？说说该半正多面体的结构特征．

师生共同总结：（1）F=26,E=48,V=24,F+V-E=2

（2）①该半正多面体可看成一个组合体，从上而下看，最上层与最下层是两个全等的多面体（如图3，图5），图3多面体的下底面是正八边形，上底面是正方形，且下底面与上底面平行，侧面有四个正方形，四个正三角形；中间是正八棱柱（如图4）．

②从上下、左右、前后三个方向看，该半正多面体都具有相同的结构，体现了数学的对称美，也展示了南北朝时期的审美观与几何文化．

问题2：利用斜二测画法可以画出空间几何体的直观图．你能结合实例说出用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤吗？

斜二测画法画空间几何体的直观图，是用平面图形表示空间图形的重要方法，我们能够根据直观图想象空间几何体的形状和结构．简单说，斜二测画法的规则是：横竖不变，纵减半，平行性不变．

我们可以例1中的正八棱柱为例，具体展示用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤（如图6）．

问题3：对于空间几何体，可以有不同的分类，你能选择不同的分类标准对柱、锥、台、球等空间几何体进行分类吗？如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？你能说出柱、锥、台、球的体积公式之间的联系吗？

空间几何体按照围成它的各个面的特征（平面还是曲面）分类，可以得到多面体、旋转体．进一步地，按照组成多面体和旋转体的面、棱、顶点等组成要素的特征及其位置关系分类，又可以得到棱柱、棱锥、棱台等基本的多面体以及圆柱、圆锥、圆台、球等基本的旋转体．

棱柱、棱锥和棱台的表面积就是组成它们的各个面的面积和，圆柱、圆锥、圆台的侧面与表面积可以通过侧面展开为平面图形来处理．

用运动变化的观点研究棱柱、棱锥和棱台的体积公式之间的关系：

分析：考虑旋转后得到怎样的几何体．

解析：图7旋转后形成的几何体是底面圆半径与高均为的圆柱挖去一个圆锥后的几何体，该圆锥的顶点为圆柱下底的圆心，底面与圆柱上底面重合（如图9中的右图所示）．

为什么这两个几何体的体积相等呢？课后同学们可上网查阅“祖暅原理”进行更多的了解．

探究1：问以该正方体的顶点为顶点的四面体有几种（全等的算一种）？比较这些四面体的结构特征．

展示同学们的作业，同时交流思路．

四面体的四个顶点不可能在正方体的同一个面上，应该分布在正方体的上、下两个面上，以在下底面的顶点为标准分类考虑．

归纳总结有以下四种（如图11）：

探究2：是否存在四个面都是直角三角形的四面体？

总结：（1）求四面体的体积一般可根据四面体的结构特征，确定高与底面，转化为求三棱锥的体积；图11（4）中的四面体是正四面体（各面都是全等的正三角形），也可通过割补法求得；定义法、转化法、割补法等是求几何体体积的重要方法．

（2）经计算发现，图11（4）中的正四面体的体积最大，表面积最小，这也是现实中经常要考虑的最优化问题．

探究4：怎样求图11中的四个四面体的外接球与内切球的半径？

四个四面体的外接球与正方体的外接球相同，其一条直径为正方体的体对

角线，半径．

如图12，可以类比三角形内切圆半径的面积计算思路，

可计算出四个内切球的半径．

问题4：刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形、进行逻辑推理的基础．实际上，三个基本事实刻画了平面的“平”、平面的“无限延展”，你能归纳一下刻画的方法吗？

平面的三个基本事实是按照从简单到复杂的顺序，刻画平面的基本性质．基本事实1是从点与平面关系的角度刻画平面的唯一存在性，基本事实2是从直线与平面关系的角度利用直线的“直”和“无限延伸”的属性刻画了平面的“平”和“无限延展”的属性，基本事实3是从平面与平面关系的角度进一步说明了平面的“平”和“无限延展”的特征：由于平面是“平的”，因而它们才可能交于一条直线，否则交线就不是“直”的，而是“曲”的了，例如圆柱的侧面和底面的交线就是一条曲线；另外，两个平面相交于一条直线，直线是“无限延伸”的，也说明平面的交点有无数个，平面是“无限延展”的．

空间直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系是从生活世界中找到模型，再根据公共点的个数、是否共面等进行逻辑分类建立起来的．

例5（复习参考题8第5题）三个平面可将空间分成几部分？请分情况说明．

探究1：一个平面将空间分成两个部分，两个平面有几种位置关系？它们将空间分成几部分？

图13（1）中αPβ，它们将空间分成三部分；图13（2）中αIβ=a，它们将空间分成四部分．

探究2：在图13中再增加一个平面，这三个平面可能产生哪些位置关系？每种位置关系可将空间分成几部分？

可能出现五种不同的位置关系如图14，三个不同的平面α，β，γ，直线a,b,c,l．

将12条分成三个共面组，侧棱组4条，上底面棱组4条，下底面棱组4条，若“异面直线组”含四条或以上的棱，则至少有两条棱在同一组，这样两条棱便共面，这与“异面直线组”的定义矛盾，故“异面直线组”最多有三条棱．

问题5：在直线、平面的位置关系中，“平行”和“垂直”是最重要的．（1）在研究这些位置关系的判定时，我们采用了哪些思想方法？以直线与平面垂直为例，总结一下研究判定的内容、过程和方法．

（2）研究这些位置关系的性质，实际上就是要研究什么问题？以两个平面相互垂直为例，总结一下研究性质的内容、过程和方法．

研究“什么是空间直线、平面的垂直？”以及“空间直线、平面垂直时其要素（直线、平面）有什么确定不变关系”；确立研究空间直线、平面垂直的内容（判定与性质）与路径：

“化繁为简”“以简驭繁”“空间问题平面化”是空间元素位置关系的一般思路．我们利用直线与直线的垂直研究直线与平面的垂直，利用直线与直线垂直、直线与平面垂直研究平面与平面垂直．反过来，由直线与平面垂直又可以得到直线与直线垂直，由平面与平面垂直又可以得到直线与直线、直线与平面垂直．

小结：正方体（或长方体）是重要的几何体模型，我们要深入研究正方体模型，对它进行变形，构建出新的模型，探求各种空间位置关系或几何模型与正方体之间的联系，彰显正方体的“母体”地位．

课后作业：

5．教材第170页复习参考题8第10题．

6．教材第170页复习参考题8第11题．

7．教材第171页复习参考题8第13题．

8．教材第171页复习参考题8第14题．

六、目标检测设计

（时间：90分，满分：100分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列说法错误的是（）．

（A）一个八棱柱有10个面

（B）任意n面体都可以分割成n个棱锥

（C）棱台侧棱的延长线必相交于一点

（D）矩形旋转一周一定形成一个圆柱

2．给出下列4个命题：

①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；

③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行．

其中正确的命题是（）．

（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③

3．给出下列4个命题：

①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；

③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．

其中正确的命题是（）．

（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③