山东省泰安市2019年中考数学试题(解析版)

泰安市2019年初中学业水平考试数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

1.在实数| 3.14|-，3-，π中，最小的数是（ ）

A. B. 3- C. | 3.14|- D. π 【答案】B

根据实数的比较大小的规则比较即可. 【详解】解：-3.14=3.14；

因此根据题意可得-3是最小的

故选B.

【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小.2.下列运算正确的是（ ）

A. 633a a a ÷=

B. 428a a a ?=

C. ()32626a a =

D. 224a a a += 【答案】A

根据整式的运算法则逐个计算即可.

【详解】A 正确，63633a a a a -÷==

B 错误，44262a a a a +==?

C 错误，()32628a a =

D 错误，2222a a a +=

故选A.

【点睛】本题主要考查整式的计算法则，关键在于幂指数的计算法则，是常考点.

3.2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里，远地点约42万公里的地月转移轨道.将数据42万公里用科学记数法表示为（ ）

A. 94.210?米

B. 84.210?米

C. 74210?米

D. 74.210?米

【答案】B

根据科学记数法的表示方法表示即可.

详解】解：42万公里=84.210?米

故选B. 【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法，关键在于指数的计算. 4.下列图形：

其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ） A. ①② B. ②③

C. ②④

D. ③④ 【答案】A

根据题意首先将各图形的对称轴画出，在数对称轴的条数即可. 【详解】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形

故选A. 【点睛】本题主要考查图形的对称轴，关键在于对称轴的概念的掌握.5.如图，直线12l l ，130∠=?，则23∠+∠=（ ）

A. 150°

B. 180°

C. 210°

D. 240°

【答案】C

【

根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：作直线l 平行于直线l 1和l 2

12////l l l

1430;35180??∴∠=∠=∠+∠=

245∠=∠+∠

2+3=4+5+3=30180210???∴∠∠∠∠∠+=

故选C.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.6.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：

下列结论不正确的是（ ）

A. 众数8

B. 中位数是8

C. 平均数是8.2

D. 方差是1.2 【答案】D

首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.

【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是102+92+83+72+61=8.210

????? 方差是22222

2(108.2)2(98.2)3(88.2)2(78.2)(68.2) 1.5610

?-+?-+?-+?-+-=

故选D

【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.7.不等式组542(1)253213

2x x x x +≥-??+-?->??的解集是（ ） A. 2x ≤

B. 2x ≥-

C. 22x -<≤

D. 22x -≤<

【答案】D

根据不等式的性质解不等式组即可.

【详解】解： 542(1)253213

2x x x x +≥-??+-?->??化简可得：22x x ≥-??

故选D.

【点睛】本题主要考查不等式组的解，这是中考的必考点，应当熟练掌握.8.如图，一艘船由A 港沿北偏东65

°方向航行至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km .

A. 30+

B. 30+

C. 10+

D. 【答案】B 根据题意作BD 垂直于AC 于点D ，根据计算可得45DAB ?∠=，60BCD ?∠=;根据直角三角形的性质求解即可

.

【详解】解：根据题意作BD 垂直于AC 于点D.可得AB= ，652045DAB ???∠=-=

204060DCB ???∠=+=

所以可得cos 45302

AD AB ?===

sin 45302

BD AB ?===

tan 60BD CD ?===

因此可得30AC AD CD =+=+

故选B.

【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可.9.如图，ABC ?是O 的

内接三角形，119A ∠=?，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为（ ）

A. 32°

B. 31°

C. 29°

D. 61°

【答案】A 根据题意连接OC ，COP ?为直角三角形，再根据BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的COP ∠的度，再根据直角三角形可得P ∠的度数.

【详解】根据题意连接OC.因为119A ∠=?

所以可得BC 所对的大圆心角为2119238BOC ??∠=?=

因为BD 为直径，所以可得23818058COD ???∠=-=

由于COP ?为直角三角形

所以可得905832P ???∠=-=

故选A.

【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.10.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（ ） A. 15 B. 25 C. 35 D. 45

【答案】C

根据树状图首先计算出总数，再计算出小球标号之和大于5的数，利用概率的计算公式可得摸出的小球标号之和大于5的概率.

【详解】解：根据题意可得树状图为：

一共有25种结果，其中15种结果是大于5的

因此可得摸出的小球标号之和大于5的概率为

153255= 故选C.

【点睛】本题主要考查概率计算的树状图，关键在于画树状图，根据树状图计算即可.11.如图，将O 沿

弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为3，则AB 的长为（ ）

A. 12π

B. π

C. 2π

D. 3π

【答案】C 根据题意作OC AB ⊥,垂足为C ，根据题意可得OC=32

，因此可得30OAB ?∠=,所以可得圆心角120AOB ?∠=,进而计算的AB 的长.

【详解】根据题意作OC AB ⊥,垂足为C

O 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为3

32OC ∴=

,30OAB ?∠= ∴圆心角120AOB ?∠=

∴AB =

120232360ππ??= 故选C.

【点睛】本题主要考查圆弧的计算，关键在于确定圆心角.12.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ）

A. 2

B. 4

C.

D.

【答案】D 根据题意要使PB 最小，就要使DF 最长，所以可得当C 点和F 点重合时，才能使PB 最小，因此可计算的

PB 的长.

【详解】解：根据题意要使PB 最小，就必须使得DF 最长，因此可得当C 点和F 点重合时，才能使PB 最小.

当C 和F 重合时，P 点是CD 的中点

2CP ∴=

BP ∴===

故选D.

【点睛】本题主要考查矩形中的动点问题，关键在于问题的转化，要使PB 最小，就必须使得DF 最长.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

13.已知关于x 的一元二次方程22

(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_____. 【答案】114

k <- 根据根与系数的关系可得要使22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则必须>0?，进而可以

计算出k 的取值范围.

【详解】解：根据根与系数的关系可得要使22

(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则>0?. 22(21)4(3)k k ?=--+

114

k ∴<- 故答案为114

k <-. 【点睛】本题主要考查二元一次方程的根与系数的关系，根据方程根的个数，列不等式求解.14.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为____.

【答案】911(10)(8)13x y y x x y =??+-+=?

根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同.故可得911x y = ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得(10)(8)13y x x y +-+=,因此可得二元一次方程组.

【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得911x y =，

再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得(10)(8)13y x x y +-+=.

因此911(10)(8)13x y y x x y =??+-+=?

所以答案为911(10)(8)13x y y x x y =??+-+=?

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握.15.如图，90AOB ∠=?，30B ∠=?，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A ，点C ，交OB 于点D ，若3OA =，则阴影部分的面积为_____.

【答案】34

π

根据题意连接OC ，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC 所对的阴影部分面积等于弧AC 所对圆心角的面积减去OAC ?的面积，而不规则图形BCD 的面积等于OBC ?的面积减去弧DC 所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.

【详解】解：根据题意连接OC

,90903060OA OC OAB B ????=∠=-∠=-=

ACO ∴?为等边三角形

60AOC ?∴∠=

∴阴影部分面积1=26013333cos3036022ππ???-??=

∴阴影部分面积2=2133033223604

ππ?-??= ∴阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2=34

π 故答案为34

π。 【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.16.若二次函数2

5y x bx =+-的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25213x bx x +-=-的解为_____.

【答案】12x =，24x =

首先根据对称轴求出参数b,再将参数代入方程中求解方程即可. 【详解】解：二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x = 22

b ∴-= 4b ∴=-

因此方程为251423x x x -=--

所以可得122,4x x ==

故答案为12x =，24x =.

【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的问题，关键在于根据对称轴确定参数.17.在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形

2333C A B C ，正方形3444C A B C ，…，点1A ，2A ，3A ，4A ，…在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ,…在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线的和是_____.

【答案】(21n -根据题意可得11OA =,212A C =,324A C =, 112n n n A C --=,进而计算每个正方形的对角线,再求和即可.

【详解】解：根据根据题意可得11OA =,212A C =,324A C =,

112n n n A C --=

所以可得正方形111OA B C

正方形1222C A B C 的对角线为

正方形2333C A B C 的对角线为

正方形3444C A B C 的对角线为

正方形1n n n n C A B C -的对角线为2n -所以前n 个正方形对角线的和为

1122(1248+2)2n n --+=++++ =(21n -

故答案为(21n -【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据前面的简单的规律，总结出后面的规律.18.如图，

矩形ABCD 中，AB =12BC =，E 为AD 的中点，F 为AB 上一点，将AEF ?沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是____.

【答案】首先根据题意连接EC.再根据勾股定理计算EC 、GC 的长，设BF=x ,根据勾股定理列方程进而求解未知数x .再计算EF 的长度.

【详解】根据题意连接EC,

AEF ?沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处

EFG ∴?为直角三角形，,AF FG EG AE ==

在直角三角形EGC ?中，EC =

==

所以GC ===

设BF=x ,所以FC x = ，BC=12

根据勾股定理可得22212)x x +=

所以可得x

所以可得EF ===

因此答案为.

【点睛】本题主要考查矩形的知识，关键在于折叠的图形的性质不变,和原来的图形是全等的.三、解答题（本大题共7小题，满分78分）

19.先化简，再求值：25419111a a a a a -????-+

÷-- ? ?++????，其中a =

【答案】1-

首先将分式化简，化成最简式，再将参数代入计算即可. 【详解】原式22892514111

a a a a a a --+--+=+++ 2(4)11(4)

a a a a a -+=?+- 4a a

-=

当a =1

==- 【点睛】本题主要考查分式的化简，根据化简的分式求值，这是中考的必考题，应当熟练掌握.20.为了弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（高成都绩于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）；

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）求出a 、b 的值；

（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；

（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人.

【答案】（l ）12a =，7b =；（2）27? ；（3）成绩高于80分的共有900人

（1）根据第三组的学生人数除以所占的百分比，计算出总人数，再利用第二组所占的百分比乘以总人数，可计算的a 的值，进而计算b 的值.

（2）首先计算第五组人数所占的百分比，再利用圆周角的性质计算即可.

（3）首先计算样本中大于80分人数的百分比，再利用总数乘以样本比例，可得出成绩高于80分的人数.

【详解】（l ）抽取学生的人数：1025%40÷=（人）

4030%12a =?=，408121037b =----=

（2）33602740

?

=?? （3）812180090040+?=（人） 所以，成绩高于80分的共有900人

【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于总人数的求解，这是中考的必考题,必须熟练掌握.21.已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =

的图象交于点A ，与x 轴交于点(5,0)B ，若OB AB =，且152

OAB S ?=.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）若点P 为x 轴上一点，ABP ?是等腰三角形，求点P 的坐标.

【答案】（l ）27y x = ，31544y x =- ；（2）1(0,0)P 、2(10,0)P ，3(13,0)P ，465,08P ?? ???

（1）根据152OAB S ?=

可计算出A 点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A 点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式.

（2）根据题意可得有三种情况，一种是AB 为底，一种是AB 为腰，以A 为顶点，一种是AB 为腰，以B 为顶点.

【详解】（l ）过点A 作AD x ⊥轴于点D ∵152OAB S ?=

∴11155222

OB AD AD ??=??= ∴3AD =

∵(5,0)B ∴5AB OB ==

在Rt ABD ?

中，4BD =

==

∴9OD =∴(9,3)A ∵m y x =

经过点A ∴39

m = ∴27m = ∴反比例函数表达式为27y x = ∵y kx b =+经过点A ，点B

∴9350k b k b +=??+=?解得34154k b ?=????=-??

∴一次函数表达式为31544

y x =-

（2）本题分三种情况

①当以AB 为腰，且点B 为顶角顶点时，可得点P 的坐标为1(0,0)P 、2(10,0)P

②当以AB 为腰，且以点A 为顶角顶点时，点B 关于AD 的对称点即为所求的点3(13,0)P

③当以AB 为底时，作线段AB 的中垂线交x 轴于点4P ，交AB 于点E ，则点4P 即为所求

由（1）得，150,4C ?

?- ???

在Rt OBC

中，254BC === ∵4cos cos ABP OBC ∠=∠

∴4BE OB BP BC =∴4552254

BP =∴4258BP =∴42565588

OP =+= ∴465,08P ?? ???

【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB 为腰和底，为腰又要分顶点是A 还是B.22.端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进A 、B 两种粽子1100个，购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同，已知A 粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍.

（1）求A 、B 两种粽子的单价各是多少？

（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买A 、B 两种粽子共2600个，已知A 、B 两种粽子的进价不变，求A 中粽子最多能购进多少个？

【答案】（l ）A 种粽子的单价是3元，B 种粽子的单价是2.5元；（2）A 种粽子最多能购进1000个. （1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证.

（2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解.

【详解】（l ）设B 种粽子的单价为x 元，则A 种粽子的单价为1.2x 元

根据题意，得

1500150011001.2x x

+= 解得： 2.5x =

经检验， 2.5x =是原方程的根

1.2 1.2

2.53x =?=

所以A 种粽子的单价是3元，B 种粽子的单价是2.5元

（2）设A 种粽子购进m 个，则购进B 种粽子(2600)m -个

根据题意，得

3 2.5(2600)7000m m +-…

解得1000m ≤

所以，A 种粽子最多能购进1000个

【点睛】本题主要考查分式方程的应用，关键在于分式方程的解需要验证.23.在矩形ABCD 中，AE BD ⊥于点E ，点P 是边AD 上一点.

（1）若BP 平分ABD ∠，交AE 于点G ，PF BD ⊥于点F ，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；

（2）若PE EC ⊥，如图②，求证：AE AB DE AP ?=?；

（3）在（2）的条件下，若1AB =，2BC =，求AP 的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12

AP = （1）根据若BP 平分ABD ∠，可得AP PF =，再利用APB BGE ∠=∠，可证明AP AG =，进而可得AP AG PF == 和PF AG ，所以可证四边形AGFP 是菱形.

（2）只要证明~AEP DEC ??，再结合CD AB =，即可证明AE AB DE AP ?=?.

（3）根据题意可得tan ADB ∠ 再利用（2）的结论即可得AP.

【详解】（1）证明：∵BP 平分ABD ∠，PF BD ⊥，PA AB ⊥

∴AP PF = ABP GBE

∠=∠ 又∵在Rt ABP ?中，90APB ABP ∠+∠=?

在Rt BGE ?中，90BGE GBE ∠+∠=?

∴APB BGE ∠=∠

又∵BGE AGP ∠=∠ ∴APB AGP ∠=∠

∴AP AG = ∴AG PF =

∵PF BD ⊥，AE BD ⊥ ∴PF AG

∴四边形AGFP 是平行四边形

∴AGFP 是菱形

（2）∵AE BD ⊥，PE EC ⊥

∴90AEP PED ∠+∠=?，90CED PED ∠+∠=?

∴AEP CED ∠=∠

又∵90PAE ADE ∠+∠=?，90CDE ADE ∠+∠=?

∴PAE CDE ∠=∠

∴~AEP DEC ?? ∴AE AP DE CD

= ∴AE CD DE AP ?=? 又∵CD AB = ∴AE AB DE AP ?=?

（3）∵1AB =，2BC = ∴1tan 2

AE AB ADB DE AD ∠=

== 由（2）知 12

AP AE CD DE == ∴1122

AP CD == 【点睛】本题主要考查矩形的综合性问题，关键在于利用相似求相似比例,这是中考的必考点，必须熟练掌握.24.若二次函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -. （1）求二次函数表达式；

（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PAB S ?=,求点P 的坐标；

（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.

【答案】（l ）224233y x x =-- ；（2）点P 的坐标为104,3?? ???

；（3）点M 到y 轴的距离为118 . （1）根据待定系数法，计算即可.

（2）首先设出P 点的坐标，再利用PAB POA AOB POB S S S S ????=+-求解未知数，可得P 点的坐标. （3）首先求出直线AB 的解析式，过点M 作ME y ⊥轴，垂足为E ，作MD x ⊥轴交AB 于点D ，再利用平行证明MD MB =，列出方程求解参数，即可的点M 到y 轴的距离.

【详解】（l ）因为抛物线2

y ax bx c =++过点(0,2)-，∴2c =-，

又因为抛物线过点(3,0)，(2,2)- ∴93204222a b a b +-=??+-=-?

解，得234

3a b ?=????=-??

所以，抛物线表达式为224233

y x x =-- （2）连接PO ，设点224,233P m m m ?

?-- ??

?. 则PAB POA AOB POB S S S S ????=+-

212411323222332

2m m m ??=??--+??-?? ??? 23m m =-

由题意得234m m -=

∴4m =或1m =-（舍） ∴224102333

m m --= ∴点P 的坐标为104,

3?? ???.

（3）设直线AB 的表达式为y kx n =+，因直线AB 过点(3,0)A 、

(0,2)B -，

∴302k n n +=??=-?

解，得232

k n ?=???=-?

所以AB 的表达式为223

y x =- 设存在点M 满足题意，点M 坐标为22

4,233t t t ??-- ???

，过点M 作ME y ⊥轴，垂足为E ，作MD x ⊥轴交AB 于点D ，则D 的坐标为2,

23t t ??- ???，2223MD t t =-+，22433BE t t =-+. 又MD y 轴

∴ABO MDB ∠=∠

又∵ABO ABM ∠=∠

∴MDB ABM ∠=∠

∴MD MB =

的