山东省寿光现代中学2017届高三(实验班)10月月考理数试

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的. 1.设集合2|

11A x x ??

=≥??+??

，集合{}|2,0x B y y x ==<，则A B =（ ） A ．(]1,1- B ．[]1,1- C ．(],1-∞ D ．[)1,-+∞ 【答案】A 【解析】

考点：集合运算 【方法点睛】

1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ）

A ．ln ln a b >

B ．11

a b

< C ．2a ab > D ．222a b ab +> 【答案】D 【解析】

试题分析：

0a b >>时，ln ln a b >不成立；0a b >>时，1

1

a b

<不成立；=0a b >时，2a ab

>不成立；a b >时，2222()0a b ab a b +-=->，222a b ab +>，选D. 考点：不等式性质

3.,,m n l 为不重合的直线，,,αβγ为不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）

A ．,m l n l ⊥⊥，则//m n

B ． ,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥

C ．//,//m n αα，则//m n

D ．//,//αγβγ，则//αβ 【答案】D 【解析】

考点：线面关系

4.在复平面内，复数()2

12z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】

试题分析：()2

1234z i i =+=-+，对应的点位于第二象限，选B. 考点：复数几何意义

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运

算

，

要

切

实

掌

握

其

运

算

技

巧

和

常

规

思

路

，

如

()()()()++=-++∈a b i c d i a c b d a d b c i a b c d R

. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、

对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 5.三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形，三棱锥的外接球的体积记为1V ，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为2V ，则

1

2

V V =（ ）

A

．

．．12 D

．

【答案】B 【解析】

3

1

4

=

3

V

π

（；2

2

1

=21

3

Vπ

???，因此

1

2

V

V

= B.

考点：三视图，三棱锥外接球体积

【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

6.已知点(),

M a b在由不等式组

2

x

y

x y

≥

?

?

≥

?

?+≤

?

确定的平面区域内，则点()

,

N a b a b

+-所在平面区域的面积是（）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】

考点：线性规划

【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

7.已知A B P 、、是双曲线22

221x y a b -=上的不同三点，且A B 、关于坐标原点对称，若直线

PA PB 、的斜率乘积2

3

PA PB k k =

，则该双曲线的离心率等于（ ）

A 【答案】D 【解析】

考点：双曲线的离心率

【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

8.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）

A ．????

B ．?

C ．??

D ． 【答案】C 【解析】

试题分析：取111,BB B C 中点,M N ,则易证平面1A MN //平面AEF ，所以P 在侧面11BCC B

内轨迹为线段MN ，因此线段1A P 长度最大值为12

A M =

，最小值为1A 到线段MN 的距离

=，选C. 考点：面面平行

【思想点睛】垂直、平行关系中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

9.如图，12F F 、是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的

左右两支分别交于点A B 、． 若2ABF ?为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A ．4

B ．3

D 【答案】B 【解析】

考点：双曲线定义

【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.

10.设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，()01f =，且()()33f x f x '=-，则

()()4f x f x '>的解集为（ ）

A ．ln 4,3??+∞ ???

B ．ln 2,3??

+∞ ??? C ．?+∞???? D ．?+∞????

【答案】B

考点：利用导数解不等式

【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()

()x

f x

g x e =

，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()

()f x g x x

=

，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11.过抛物线()2

20y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于,A B 两点，交其准线于C 点，

若3CB BF =，则直线l 的斜率为___________．

【答案】k =±【解析】

试题分析：过B 作1BB 垂直准线于1B 点,则由抛物线定义得1=BB BF ,所以

111

cos ,tan 3

CBB CBB ∠=∴∠=l 的斜率k =±考点：抛物线定义

【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标．

2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2

＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p

2；若过焦点的弦AB

的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．

12.已知F 是双曲线

22

1412

x y -=的左焦点，()1,4,A P 是双曲线右支上的动点PF PA +的最小值为___________． 【答案】9 【解析】

试题分析：设F '是双曲线的右焦点，则=22459PF PA a PF PA a AF ''+++≥+=+= 考点：双曲线定义

13.若函数()222f x x x a =++与()1g x x x a =-++有相同的最小值，则不等式()5g x ≥的解集为__________． 【答案】(][),32,-∞-+∞

【解析】

考点：绝对值三角不等式

【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

14.半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是____________． 【答案】1：2

【解析】

试题分析：2

22

=4

h R r +，圆柱的侧面积2

2

2

4244222

h r h rh r R ππππ+=≤?=，当且仅当2h r =时取等号，此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为222:41:2R R ππ= 考点：圆柱侧面积

15.设1,1a b >>，若2

ab e =，则ln 2a

S b e =-的最大值为___________．

【答案】e - 【解析】

试题分析：2ln ln 2ab e a b =?+=，令ln a y b =，则2

ln ln ln ln ln ()12

a b

y a

b +=≤=，当

且仅当a b e ==时取等号，所以ln 2a S b e =-的最大值为2S e e e =-=- 考点：基本不等式求最值

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分12分）

已知命题:p 函数()()

2

lg 6f x ax x a =-+的定义域为R ，命题:q 关于x 的方程

223210x ax a -++=的两个实根均大于3，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的

取值范围． 【答案】5|32a a ?

?<≤????

【解析】

若q 真，令()2

2

321f x x ax a =-++，

则应满足()()()2

22

34210399210

a a f a a ??=--+≥?

?=-++>??．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

考点：命题真假

【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简

单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.

以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可. 17.（本题满分12分）

如图，在梯形ABCD 中，0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =． （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；

（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()

090θθ≤，

试求cos θ的取值范围．

【答案】（1）详见解析（2）1cos 2θ?

∈??

? 【解析】