2016北京朝阳区高一(上)期末数学
2016北京朝阳区高一（上）期末数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）
A．M={π}，N={3.14159}B．M={2，3}，N={（2，3）}
C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}D．，
2．（5分）若a＞b，则下列命题成立的是（）
A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc2
3．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
4．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）
A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？
5．（5分）给定函数①y=x②y=log（x+1）③y=|x2﹣2x|④y=（）x，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）
A．①④B．②④C．②③D．①③
6．（5分）已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
7．（5分）函数的图象的大致形状是（）
A．B．C．D．
8．（5分）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取
了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数
甲，
乙
和方差进行比较，下面结论正确的是（）
A．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定
B．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定
C．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定
D．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定
9．（5分）如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）
A．B．C．D．
10．（5分）已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g （x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11．（5分）已知函数则的值是．
12．（5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．
13．（5分）已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．
14．（5分）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）
15．（5分）若函数的图象关于y轴对称，则a=．
16．（5分）关于函数有以下四个命题：
①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；
②函数f（x）是偶函数；
③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；
④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．
其中正确命题的序号是．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.
17．（9分）已知函数的定义域为集合A ，函数g （x ）=lg （﹣x 2+2x +m ）的定义域为
集合B ．
（Ⅰ）当m=3时，求A ∩?R B ；
（Ⅱ）若A ∩B={x |﹣1＜x ＜4}，求实数m 的值．
18．（9分）空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重：
某市2012年3月8日﹣4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：
（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；
（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．
19．（10分）已知定义域为
R 的单调减函数f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）=﹣2x ． （Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求f （x ）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，求实数k 的取值范围． 20．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f （x ），如果对任意x ∈（0，+∞），都有f （kx ）=kf （x ）（k ≥2，k ∈N *）成立，则称f （x ）为k 阶伸缩函数．
（Ⅰ）若函数f （x ）为二阶伸缩函数，且当x ∈（1，2]时，，求的值；
（Ⅱ）若函数f （x ）为三阶伸缩函数，且当x ∈（1，3]时，
，求证：函数
在（1，+∞）上无零点；
（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】
A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，故排除
B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除
C：M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除
D：∵∴=，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D
故答案为D
2．【解答】∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立．
当b=0 时，显然B、C不成立．
对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．
故选D．
3．【解答】由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，
故应选C
4．【解答】程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈 2 4 是
第二圈 3 11 是
第三圈 4 26 是
第四圈 5 57 否
故退出循环的条件应为k＞4
故答案选A．
5．【解答】①y=，x增大时，增大，即y增大；
∴该函数在（0，1）上单调递增；
②，x增大时，x+1增大，减小；
∴该函数在（0，1）上单调递减；
③；
∴x∈（0，1）时，y=﹣x2+2x，对称轴为x=1；
∴该函数在（0，1）上单调递增；
④，∴指数函数在（0，1）上单调递减；
∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④．
故选：B．
6．【解答】∵，
∴b＞c＞a．
故选A．
7．【解答】∵y==
当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意
故选C．
8．【解答】根据茎叶图有：
①甲地树苗高度的平均数为=28cm，
乙地树苗高度的平均数为=35cm，
∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；
②甲地树苗高度分布在19～41之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右，
乙地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，相对分散些；
∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些；
故选：B．
9．【解答】根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，
可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，
故选：C．
10．【解答】由g（x）=2x﹣2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立，
从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立，
由于a（x﹣a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，
则必满足，
解得﹣4＜a＜0．
则实数a的取值范围是（﹣4，0）．
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11．【解答】f（）==﹣2，
故答案为：﹣2．
12．【解答】∵直方图中各个矩形的面积之和为1，
∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，
解得a=0.03．
由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．
其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，
所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．
故答案为：0.03，3．
13．【解答】∵y=4x（3﹣2x）=﹣8x2+12x=﹣8（x﹣）2+，
∴当x=时，函数取得最大值，
故答案为：．
14．【解答】∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，
记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，
∴P（A）==，
=平方米，
∴S
不规则图形
故答案为：．
15．【解答】由于函数的图象关于y轴对称，故该函数为偶函数，
故函数f（x）的定义域关于原点对称，故a=﹣，
故答案为：﹣．
16．【解答】对于①，若x是有理数，则f（x）=1，则f（1）=1，若x是无理数，则f（x）=0，则f （0）=1，
即对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正确，
对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是偶函数，故②正确；
对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
对于④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，
∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为：①②③④．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.
17．【解答】（Ⅰ）由的定义域得A={x|﹣1＜x≤5}．
当m=3时，B={x|﹣1＜x＜3}，
则?R B={x|x≤﹣1或x≥3}．
所以A∩?R B={x|3≤x≤5}．
（Ⅱ）因为A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，
所以有﹣42+2×4+m=0．
解得m=8．
此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意．
所以m=8．
18．【解答】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，
所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．…（4分）
（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．
样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），
（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），
（d，e），（d，f），（e，f），共15个．
其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个，
∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．
19．【解答】（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，
所以f（0）=0．（2分）
（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，
所以．
又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．
所以．
综上，（6分）
（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．
因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．
方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得．
方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R
则∴
故实数k的取值范围为．（10分）
20．【解答】（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，
∴．
∵函数f（x）为二阶伸缩函数，
∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．
∴．（4分）
（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．
由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．
∵x∈（1，3]时，．
∴．
令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．（7分）
∴函数在（1，+∞）上无零点．（8分）
（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），
且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．
∴当x∈（k n，k n+1]时，．
∵，所以．
∴当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n）．
当x∈（0，1]时，即0＜x≤1，
则?k（k≥2，k∈N*）使，
∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．
又，∴，即．∵k≥2，
∴f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．（12分）word下载地址