7.1 现代控制理论-发展历程回顾

7.1 现代控制理论—发展历程回顾（参考译文）

引言

本文介绍现代控制理论的主要方法及其发展的数学基础-控制系统理论。现在，学术界认为控制理论是一个跨学科的研究领域，有许多数学概念和方法，这些概念和方法使现代控制理论成为一个重要的、引人注目的应用数学分支。控制系统理论有各种各样的方法并经历了不同的发展阶段。本文将简单地进行描述。对控制系统理论的方法基础、起源、历史和各种应用进行总体回顾，它与数学和技术的相互作用促进了这一学科的发展。可以这样说：控制论的这些方法都有它们各自的价值并且继续在理论和实践中作出重要的贡献。

控制一词有两个主要的含义。首先，检测实物或数学装置是否能够达到令人满意的性能。其次，对装置进行操作或施加影响，使其按要求运行。控制就是使装置“从混乱到有序”（拉丁铭文）。

控制论的思想可以追溯到亚里士多德时期。在他的最有影响的著作“政治”一书中，写道：“……如果每个仪器可以完成自己的工作，遵循或预见其它装置的意愿……，如果梭子编织纬纱和拨子弹奏七弦琴而不需要手引导他们，那么首领将不需要仆人，主人也不需要奴隶。”

我们看到，亚里士多德用非常明晰的方式描述了控制理论的目标：使生产过程自动运行，完成人们要求的目标，并让人类获得自由。

首先，人类至高无上。自然或人工系统的描述更多的是人为的，往往不是它们是什么，而更多的是它们像什么。即使由欧几里得和亚历山大时期（200 - 284年）的丢番图的工作综合形成的古代数学，都是用三段论法进行描述。可以将世界看作是一个名词或动词。古代哲学家断言，世界在“没有太多”戒律下按照法律、所有生物体支配的方法进行论述。斐波那契（1170年至1250年）在他的书《算术宝典》中第一次尝试引入计算。然而，经过三个世纪后计算的重要性才得到体现。

笛卡尔（1596 ?1650年）提出了方法的概念。伽利略（1564年?1642年）开始使用物理实验，后来艾萨克·牛顿爵士（1642年?1727年）和拜伦·戈特弗里德·莱布尼茨（1646年至1716年）引入微积分学，完成科学的第一次质变，将科学的运算基础（这主要是继承了亚里士多德的思想）转变成我们今天所知的现代形式。这些运算基础建立了数学的首要地位，从而产生了我们今天仍将生存的现实世界。这一新的思想包括物理实验的使用和涉及微分方程的数学模型的使用。至高无上的数学如此活跃，以致于科学家仍在继续涉及万事万物的数学表示，即数学模型，避免着手考虑存在性。他们有兴趣来求解这些数学模型，得到它们的特性，并研究这些数学模型的解。

然而，科学的性质和结构，主要是在过去的一个世纪里，经历了第二次质变，这是由于两类发现的结果[杰克逊，1994]。第一类发现指从数学模型获取万事万物的动态行为的限制。结果发现，所有的数学模型都有局限性：分析数学推理，确定性物理预测，闭环系统的结构稳定模型。另外，库尔特发现，任何足够一般的数学系统的一致性或完备性都无法用被广泛接受的逻辑原则证明。这与数学系统可以建立任何真实结果的数学基础相抵触。第二类发现与计算机科学和信息学的发展密切相关。通过引入计算机实验，这就扩大科学研究的运算基础。科学的第二次质变扩大了物理实验和数学模型的运算基础，包括将知识作为计算或数值实验的第三次运算基础。这些数值实验使科学家进入一个陌生的世界。用数学模型进行的深入的和非常复杂的计算实验确定了重新处理实际存在。为了更好地描述，数值实验恢复了存在的首要地位，而完成这一恢复的学科就是信息学。基本上，信息学可以定义为：“来自数学概念——计算，把这些数学概念转变为算法，以及受收敛性和复杂性约束的相关算法的研究。”这就是信息学的本质，将先进的数学概念成算法，用计算程序执行算法。从某种意义上说，信息学是可计算的线性代数。控制系统理论在科学的各个方面决定了科学的发展，这反过来又影响了控制理论的发展。

本文的结构如下。第2节介绍控制理论中的关键概念，重点是反馈、波动和优化的概念。第3节给出系统控制理论的频域方法，基本的概念是传递函数。第4节中描述基于微分方程理论的时域

代数方法。第5节阐述多项式矩阵域频率方法，这就非常自然地将经典的传递函数描述推广到多输入-多输出系统。下一节将集中阐述作为代数法外延的几何法。最后，再下一节涉及结构有向图方法，对控制设计来说系统的结构是至关重要的。

控制理论中的基本概念

基于物理系统的数学模型，控制问题的数学描述本质上相当复杂，控制理论的基本思想相当简单且非常直观。这些重要思想可以在自然界中发现，也可以在人类进化和人类行为中发现。在控制理论中有三个基本概念。

第一个概念是反馈。查尔斯·达尔文（1805年至1882年）最重要的贡献之一就是长期存在着的反馈是物种进化的原因这一理论。后来，维托·伏特拉（1860年至1940年）使用这一概念来解释在一个封闭池塘里两个种群的鱼之间的平衡。但是，最有影响的是维纳（1885年至1964年）在生物学中引入了富有成果的正反馈和负反馈的概念。在贝尔电话实验室[迈尔，1970]，这个词已经被早期的工程师引入到了工程中。现在，在几乎所有领域中，都是一个使用频繁的概念。反馈过程就是系统的状态（即输出）决定着在任何时刻控制量的计算方式的这样一个过程。

第二个关键概念是波动。这是在我们的日常生活中我们使用了多次的一个基本原理。基本上，这一概念的思想是，我们没有必要施加过大和过猛的信号立即或直接驱动系统到希望的状态。常常控制系统让其波动会更有效且能够实际实现，并试图找到不会施加太大的信号就能驱动系统到期望状态的动力学。这一概念早期由霍尔[1907年]和一些工程师提出，霍尔[1907年]在比较政治经济学家的行为时，认为供需定律的合理作用必须允许波动，而工程师们还没有认识到在蒸汽发动机调速器中需要波动。需要有波动是一个非常普遍的原理，我们从数学规划的罚函数或内点法中同样发现了这一原理。

第三个非常重要的概念是优化。这是一个非常成熟的数学分支，其目标是找到变量值，以便在受到一些限制时使利润最大和成本最低。与控制理论具有密切关系，主要是因为在系统和控制理论中的大量的各种问题可归结为几个标准凸或准凸优化问题的线性矩阵不等式。重要的一点就是，由此产生的优化问题利用内点法可以非常有效地进行数值求解。因此，控制问题简化为优化问题构成原始问题的求解，显然具有很实际的意义[安德烈，2001]，[Boyd，El Ghaoui，Feron 和Balakrishnan，1994]。此外，理查德·贝尔曼（1920 ?1984）提出的动态规划和Lev Pontryagin（1908 ?1988年）提出的用于非线性最优控制的最大值原理，奠定了现代控制理论的基础。

频域方法

首先对控制系统进行数学分析的方法之一就是频域方法。这是基于皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（1749年至1827年），约瑟夫·傅立叶（1768 ?1830），奥古斯丁·路易·柯西（1789年至1857年）等的研究结果。频域法的核心概念是传递函数。线性时不变系统的传递函数定义为Y(s) / U(s)，其中Y(s)是输出的拉普拉斯变换，和U(s)是系统输入的拉普拉斯变换。可以证明，传递函数是系统脉冲响应h(t)的拉普拉斯变换。因此，H(s) = Y(s) / U(s)，即H(s)体现了系统传递特性。这种方法适用于线性时不变系统，特别是图形技术非常有效的单输入-单输出系统。

频域法是在解决大量长距离通讯系统的主要问题的过程中产生的。为了减少放大器失真，Harold S. Black（1898年至1983年）经过六年的坚持，于1927年在放大器中引入负反馈使长途通讯发生了一场革命[Black，1934]。作为一种系统控制方法，在众多的应用领域造成了很大的影响。

Harry Nyquist在贝尔实验室提出了设计稳定放大器的理论（1889至1976年）。他推导出了基于传递函数极坐标图的一个稳定判据，一般称为奈奎斯特稳定性判据[Nyquist，1932]。

后来，同样是在贝尔实验室，Hendrik Bode（1905 ?1982年）使用传递函数的幅值和相位频率响应图研究闭环稳定性，并引入了增益和相位裕量的概念[Bode，1940]。1947年，在麻省理工学院辐射实验室，Nathaniel B. Nichols（1914年?1997年）提出了设计反馈系统的尼科尔斯图，建

立了伺服系统理论[James，Nichols和Phillips，1947 ]。控制系统设计的一个重要进展是由北美航空的Walter R. Evans（1920至1999年）引入的根轨迹法。这种方法的基本思想就是使用开环系统的极点和零点确定当某一个参数发生变化时闭环系统的特性。

经典控制理论就是在频域和s–平面中使用Nyquist、Bode、Nichols和Evans的方法来描述。需要的所有条件就是频率响应的幅值和相位，或开环传递函数的极点和零点。对于单输入-单输出系统，所有这些条件非常容易得到，频率响应以及传递函数的极点和零点可以准确地确定。除此之外，可以使用增益和相位裕量的概念进行鲁棒设计。要确定复杂系统的传递函数，方框图代数用得很普遍。不需要系统动力学的内部描述，也就是说，只需要系统的输入/输出特性。

图形技术很难应用到多输入／多输出或多回路系统。由于多变量系统中控制回路间的相互关联，即便每个单输入／单输出转递函数都有可接受的阶跃响应特征和鲁棒性，整个系统也将不再如此。Horowitz提出的定量反馈理论，克服了许多的这些限制，提供了设计多变量系统的一个有效的办法[Horowitz，1963]，[Horowitz和Sidi，1972]。定量反馈理论是一种频域技术，在对象不确定性的指定范围内运用尼科尔斯图实现鲁棒设计。基本方法是将所期望的时域响应变为频域容限，从而导出传递函数界。对于非线性系统，古典技术可被视为非线性系统的线性形式，在平衡点处系统特性是近似线性的。

在某些情况下，系统的上述描述是很有用的，但仍然非常有限。省略的重要因素是动态变化和系统中将输入变成输出的内部机理。因此，就要考虑一些新的系统描述，下面予以介绍。

时域代数方法

这种方法基于微分方程理论。微分方程理论是在Newton、Leibniz、Bernoulli兄弟、Jacopo Riccati （1676年~ 1754年），Leonhard Euler（1707 ~ 1783年）等创建的微积分的基础上发展起来的。约瑟夫·路易斯·拉格朗日（1736年至1813年）和威廉·罗文·汉密尔顿（1805至1865年）运用微分方程研究了动力系统的运动分析。

在这种表达式中最重要的问题就是稳定性。乔治·艾里（1801年至1892年）第一个使用微分方程讨论闭环系统的不稳定性[艾里，1840年]。詹姆斯·克莱克·麦克斯韦（1831年~ 1879年）分析了瓦特的蒸汽机调速器的稳定性[麦克斯韦，1868年]。基本思想是将运动微分方程进行线性化以便找到系统的特征方程，并且证明了如果特征方程的根具有负实部则系统是稳定的。后来，Edward Routh（1831年至1907年）提供了一种数值方法可以确定何时多项式具有负实部根，发表了一篇有关给定运动状态的稳定性的论文[Routh，1877]。Vishnegradsky[1877] 独立地利用微分方程分析了蒸汽机调速器的稳定性。但是，最完美和最一般的稳定性理论是由亚历山大·李雅普诺夫（1857至1918年）创建，他采用广义能量的概念研究了非线性微分方程的稳定性[李雅普诺夫，1893年]，引入了一些一直沿用至今的概念和技术。根据李雅普诺夫的思想，Yakov Tsypkin（1919 - 1997）研究了稳定非线性控制设计的相平面，而瓦西里·米哈伊·波波夫[1961年]提出了非线性稳定性分析的园判据。

时域中另一个重要的问题是最优控制和估计。约翰·贝努利（1667 ~ 1748年）第一次清晰地阐述了最优性原理。伯努利和牛顿独立解决了最速降线问题，从而牢固确立了微积分的强有力地位。后来，皮埃尔·德·费马（1601 ~ 1665年）（光学）、卡尔·弗里德里希·高斯（1777 ~ 1855年）、让·达朗贝尔（1717 ~ 1783年）、顾拜旦·莫佩屠斯（1698 ~ 1759年）、欧拉、拉格朗日、汉密尔顿和阿尔伯特·爱因斯坦（1879 ~ 1955）（力学）明确地阐述了各种最优性原理。理查德·贝尔曼在1957年明确地提出了离散时间系统最优控制的动态规划原理[贝尔曼，1957年]，而列夫·庞特里亚金于1958年提出了求解非线性最优控制问题的最大值原理[庞特里亚金等，1962年]，这两个最优性原理描述最优反馈控制律的特性。贝尔曼的主要思想是引入一个满足汉密尔顿-雅可比方程的价值函数（贝尔曼函数）。另一方面，庞特里亚金最大值原理的基本思想是利用协态方程使与系统相关的哈密顿函数最大化。值得指出的是这两种方法的结论是相同的。然而，庞特里亚金最大值原理推

广了力学中的拉格朗日乘子的概念，贝尔曼最优性原理提供了一个新颖的观点，那就是价值函数及其随时间的变化具有重要作用[约内斯库和波比亚，1981年]。现代控制理论起始于鲁道夫·卡尔曼的工作，他出版了一系列著作，在这些著作中提出了非线性系统理论的主要问题。[卡尔曼和贝塔朗姆，1960年]研究了在时域中非线性系统的李雅普诺夫稳定性。[卡尔曼，1960a ]讨论了系统的最优控制以及线性二次型调节器的设计。[卡尔曼，1960b] 提出了最优滤波、估计理论与离散卡尔曼滤波的设计方程。[卡尔曼和布希，1961]提出了连续型卡尔曼滤波器。为了克服频域方法的限制（需要很多设计技巧，并且不能提供唯一的反馈），卡尔曼引入了状态的概念，它是一种在输入与输出之间起中介作用的数学实体。这个概念的重要性是基于这样一个事实，即动力系统的状态强调因果关系和内部结构的观念。对于有限维系统，即状态属于一个有限维向量空间的系统，可以用下列形式的一阶向量微分方程来描述：

(7.1) 其中，x(t )为内部变量向量，即系统的状态，u(t)为控制输入向量，y(t)为测量输出向量。矩阵A、B和C描述了系统的动态关联。

卡尔曼在控制和估计理论中使用这种描述形式明确地阐述了反馈控制和最优化的概念。他在控制理论中引入了可控性、可观测性、可检测性等基本概念，并用它们来确定一个如下形式的反馈控制律：

(7.2) 以便达到合适的闭环性能。在标准线性二次型调节器问题中，通过极小化一个二次型性能指标来确定反馈矩阵K：

(7.3) 其中Q和R为加权矩阵，这是设计参数。线性二次型调节器设计的重要性在于，如果Q和R选择正确，那么就可以计算反馈增益矩阵K使J取有限值，即涉及u(t)和x(t )加权范数的积分是有界的，因此，u(t)和x(t )最终趋向于零。这种特性保证了闭环系统的稳定性[卡尔曼，Falb和Arbib，1969年]。像u(t) = -Kx(t) 这样的反馈控制律称为静态的。另一种是动态反馈补偿形式：

(7.4) 其中补偿器的输入是系统的输入和输出。现在的设计问题就是如何选择矩阵E、F、G和H才能使系统获得良好的闭环性能。线性系统理论这一根本问题的有效求解方法包括：极点配置、局部和精确扰动抑制、受限解耦、扩展解耦、左可逆性，并行解耦和极点配置，并行扰动定位和解耦等，都可以通过动态补偿来获得。然而，使用动态补偿进行设计的缺点和限制在于补偿器的维数和被控对象的维数一样大，可控性或可观测性子空间不是最小维数，缺乏透明度，与频率响应方法的关系不明显。几何方法和结构有向图方法考虑这些最小子空间，因而为解决线性系统理论的根本问题给出了非常优美的和有效的设计算法。此外，使用静态或动态反馈设计方法得到的线性二次型调节器不能保证鲁棒性。

设计控制器以满足鲁棒稳定性和一些性能指标的问题就称为鲁棒控制。H∞控制理论是现代控制理论的基石之一，发展鲁棒控制理论就是要解决那些实用性很强的实际问题。被广泛接受的解决鲁棒控制问题的现代技术就是将其简化成线性矩阵不等式问题（LMI问题）。历史上，LMI问题第一次出现在1890年，当时李雅普诺夫证明线性动态系统

(7.5)

是稳定的，即其所有轨迹收敛于零，当且仅当矩阵不等式有解：

(7.6)

上式对未知矩阵P是线性的。在1940年，Lu’re、Postnikov和其他学者将李雅普诺夫方法应用到驱动器中带非线性的控制问题，从而获得了用LMI形式表示的稳定性准则。这些不等式是依赖于频率的多项式不等式。

后来，在1960年弗拉基米尔·雅库波维奇、波波夫、卡尔曼、安德森和其他学者研究得到了正实引理，该引理将LMI问题简化成简单的图形准则：波波夫圆判据和Tsypkin判据。可以公正地说，雅库波维奇是LMI领域之父。他早在1962年发表的有关某些特殊矩阵不等式的求解的一些结果是众所周知的。约内斯库和斯托伊卡[1999年] 基于广义波波夫-雅库波维奇理论研究了鲁棒镇定和H∞问题。将鲁棒控制问题简化成LMI问题提供了一种解答方案。关键的思想是卡尔曼-雅库波维奇-波波夫引理：

已知一个数γ≥0，单输入单输出最小系统（A，b，c）的两个n维向量b、c和一个n×n维赫尔维茨矩阵A，如果矩阵对（A，b）是完全可控的，那么存在q满足：

(7.7) 当且仅当

(7.8) 对所有实数ω成立。

卡尔曼-雅库波维奇-波波夫引理将控制理论的两个领域联系起来：频率法和时域代数法。这导致了正实引理，有界实引理，圆判据，网络理论，自适应控制等。波波夫[ 1962 ]提出了用于判定非线性的绝对稳定性的著名的波波夫频域稳定性判据。波波夫的判据可以使用图形化的手段检查，方法是验证非线性系统“线性部分”的奈奎斯特图仅限于复平面的一个特定区域中。雅库波维奇[1962年，1964年]建立了波波夫判据和满足某些矩阵不等式的正定矩阵的存在性之间的联系，从而创建了控制理论中的线性矩阵不等式分支。LMI的重要性在于它可以有效地利用内点法求解。由于发表于1984年的卡马卡的工作，内点法开始了数学规划的革命。在1988年，涅斯捷罗夫和涅米洛夫斯基发展了直接应用于线性矩阵不等式的内点法，表明LMI可以用凸优化技术有效地求解[Boyd，Ghaoui，Feron和Blakrishnan，1994年]。一般来说，在控制问题中我们没有遇到规范型或半定型的LMI问题，而更多的是存在矩阵变量。大多数软件包用来求解规范型或半定型的LMI问题。因此，预处理阶段是必要的。将非线性凸矩阵不等式转换成LMI问题，我们可以使用Schur补：

(7.9)

在鲁棒性中一个非常有用的技巧是由保罗·芬斯拉（1894 ~ 1970年）给出的引理，该引理直接来源于LMI理论的另一个定理：

下面的描述是等价的

(7.10)

最近，涅斯捷罗夫证明，多项式的正性可以表示为一个线性矩阵不等式。这就给出了对控制中

遇到的几个问题的新的统一的认识：多项式的谱分解（以及H2和H∞最优控制），多项式全局优化（鲁棒稳定性分析），正实和有界实引理（非线性系统控制及H∞控制），多项式稳定的充分条件（鲁棒分析和设计）。

多项式矩阵域频率方法

这个方法考虑了一个矩阵分数描述和多项式方程的设计，它扩展了经典的具有强大设计能力的传递函数表述法，将多输人多输出系统表述成输入输出形式，而不是状态空间形式。

Rosenbrock[1974年]和Wolovich[1974年]认为这种方法的基础是在零初始条件下微分方程的拉氏变换得到的复变量s的多项式。m-输入、p-输出的线性时不变系统的动态行为可以由一个真分数p×m传递矩阵T(s)表示

(7.11) 并且该真分数传递矩阵总是可以分解为T(s)=R(s)P(s)-1，其中R(s)和P(s)是维数分别为p×m和m×m 的相对右互质多项式矩阵。

使用这种表示形式，Wolovich提出了能够获得任何期望的闭环传递矩阵的非常一般的补偿器。为了求解任意极点配置、静态和动态解耦以及精确模型匹配这些基本问题，在这方面的补偿器需要专门设计。这种方法的优点是，设计目标可以在频域里根据期望的传递矩阵进行最好的描述，并且可以利用多项式矩阵补偿方法实现任何期望的传递矩阵。

这一方法的最新发展就是多项式系统理论[隆贝里和伊里伦，1983]，[伊里伦，2003]。微分系统的基本思想是将微分算子p=d/dt解释为从可微时间函数空间X到其本身的线性映射。因此，微分方程用p-多项式方程表示。镇定、非互联系统估计和诊断的问题可以得到解决。这种理论的优势是它的许多特征与经典传递函数方法类似，但是在多变量情形下却极为有效。多项式系统理论的主要缺点是基本的运算在p-多项式环（这是一个弱代数结构）中进行。对于一个未知信号，p域多项式的方程组无法求解。因此，方程求解用结构性因素取代。

后来，威廉姆斯[1991年，1997年]引入了行为系统理论的概念，它原则上与多项式系统理论是一样的。

LMI提供了系统理论的多项式矩阵域频率方法的技术支持。事实上，在实轴上为正的多项式集合是一个凸集，可以用LMI描述。源于绍尔的工作的这种思想与大卫·希尔伯特的（1862 ~ 1943年）关于代数平方和分解的第17问题有关。多项式矩阵的充分稳定条件可以用LMI表示：多项式矩阵R(s)是稳定的，当且仅当存在一个多项式矩阵P(s)与矩阵P = P* > 0 满足LMI

(7.12) 其中，V是一个特殊置换矩阵。

几何方法

线性系统理论的几何方法是代数方法的推广，起源于巴赛尔、拉切和麦姆[1969年]以及巴赛尔和麦姆[1969a，b]的论文，在那些论文中引入了受控不变量和条件不变量。旺汉姆和摩尔士[1970]将这些对象更名为：(A，B)不变量和(C，A) 不变量，它们在多变量控制中发挥了关键作用，并建立了闭环多变量系统的几何设计方法。

旺汉姆[1979] 使用线性空间的抽象几何概念综合几何方法并阐明线性控制理论中许多问题的一种简洁的且无坐标的表示和解决方案，包括：模型匹配、干扰抑制、参考跟踪、解耦和极点配置等。巴赛尔和麦姆[1982]、舒马赫[1983]采用了新的几何对象，所谓的自有界受控不变量和自隐藏条件不变量，这证明在极小化动态补偿器的复杂性方面以及求解上述的具有稳定性问题是非常有效的。补偿器的极小化是线性系统理论几何方法的关键问题。

现在，致力于将卡尔曼控制和卡尔曼滤波（H2控制和过滤）与几何解耦联系起来，从而有可能解决离散和连续时间情况中的奇异问题[Stoorvogel，1992] [Saberi，Sannutiand and Chen，1995]，

[Marro，Prattichizzo and Zattoni，2002]。

这种方法的主要缺点是将矩阵代数的比较简单的语言化为高维向量空间中的更抽象的语言，几乎丧失对问题的直观解释。

结构有向图方法

控制理论的所有上述方法都有严重的局限性：

（1 ）无论是微分方程形式还是多项式矩阵频率形式，系统描述中的系数都是数值准确已知的。

（2 ）与系统分析和控制器综合相关的算法都是基于矩阵运算而不考虑任何系统或反馈的特定的结构。

（3 ）反馈综合的方法适合于输入、输出和状态降低了的系统。大系统、稀疏性的典型特征没有在这些方法中考虑。

为了克服这些局限性，将研究有向图理论的方法。这种方法的思想是详细描述结构方法，以便获得具有最小结构的反馈矩阵类，获得线性控制理论的基本问题的解，这些解在最小意义上改变了系统的初始结构。大规模线性系统的有向图理论方法的第一次全面分析一直被认为由Andrei[1984，1985]完成。该方法把握系统的结构及其性质，当修改数值参数时这些都是不变量，并以最小结构设计反馈矩阵。因此，将基本问题的求解过程嵌入在一些维数较小的子空间中，那里的数值计算是重要的。

对任何大规模、时不变、线性动态系统，有向图以非常规范的方式相关联。该图由大量的与系统矩阵的非零元素相关的节点和边构成。在这种表示形式中，引入了大量的有向图对象：上确界（A，B）不变量子有向图，上确界（A，B）可控子有向图和下确界（C，A）不变量子有向图。[安德烈，1983，1984，1985] 给出了使用这些有向图确定反馈矩阵的最小结构的条件。考虑的主要问题是有向图极点配置、有向图精确扰动抑制、合并考虑极点配置与有向图精确扰动抑制、有向图解耦、合并考虑有向图解耦与精确扰动抑制。有向图理论方法的关键问题在于反馈矩阵的结构直接由系统结构确定。在维数小的子空间中数值计算量大大减少。利用这一技术，设计过程的结构本质得到更好的理解。因此，反馈矩阵的结构和它的一些元素以这样一种方式确定以至于闭环系统的期望特性保持不变（独立参数的数值），其余的反馈矩阵参数可考虑满足其它一些设计要求或优化。有向图理论表示要求系统结构的最低限度修改，以实现期望的特性[安德烈，1984，1985]。后来，Reinschke [1988] 和Wend[1993]加强了这一方法。

结论

在此我们全面介绍了控制系统理论的发展，包括频域方法，时域代数方法，多项式矩阵域频率方法，几何方法和结构有向图方法。一般结论就是，控制理论现在已经是一个跨学科的研究领域，在这个领域许多先进的数学概念、技术和方法共同作用产生一个非常重要且有深远影响的应用数学的实体。控制系统发展既来源于数学的进展又来源于技术的进步。求解控制理论中的基本问题的主要方法和技术来源于数学规划理论与最优控制。半定规划、二阶锥规划与内点法的发展导致方法和算法的主体，能够在大量的不同领域以统一的方式解决实际的设计和管理问题。

摘自：先进的建模与优化中心信息研究所，2004年