初三中考圆的综合题训练(含的答案)
圆综合复习
1、（12分）（2014?攀枝花,23．）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG 的度数；若变化，请说明理由．
2．（8分）（2014?苏州27）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D 四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经
过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；
（2）求证：BF=BD；
（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．3．（9分）（2014?苏州28）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD 的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）
（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC
的度数为
°；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
4.（2014上海25．本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）
如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cos B＝4
5
，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边
AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
图1 备用图
5.（2014成都27本小题满分10分）
如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E.设P 是⌒
AC 上异于A,C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G.
（1）求证：△PAC ∽△PDF ；
（2）若AB=5，⌒AP =⌒
BP ，求PD 的长；
（3）在点P
运动过程中，设x BG
AG =，y AFD =∠tan ，求y 与x 之间的函数关系式.（不要求写出x 的取值范围）
tan AE AFD FE
∠=
，
6．（9分）（2014?淄博24）如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB =30°的点P 有 个；
（2）若点P 在y 轴上，且∠APB =30°，求满足条件的点P 的坐标；
（3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．
7、（10分）（2014?襄阳25．）如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点D ．
（1）求证：△ADP ∽△BDA ；
（2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AD=2，PD=1，求线段BC 的长．
8、（10分）（2014?南宁25．）如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上一点，点F 在射线CM 上，∠AEF=90°，AE=EF ，过点F 作射线BC 的垂线，垂足为H ，连接AC ． （1）试判断BE 与FH 的数量关系，并说明理由； （2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF ，过A 、E 、F 三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求
的长．
9、（12分）（2014?泰州25．）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB 与有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
10、（2014?湖州24．）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
11、（2014 徐州28.本题10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE 为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG. （1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长.
12、（12分）（2014?荆州25．）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG 与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．
13、（2014日照本小题满分14分21．）
阅读资料：
如图l，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长刚交切线PC于点P．连接AC，BC，OC．因为PC是⊙O 的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．
又因为∠B=∠1，所以∠B=∠2．在△PAC与△PCB中，又因为∠P=∠P，所以△PAC～△PCB，所以
PC
PA
=
PB
PC
，即PC2=PA·PB．
问题拓展：
（1）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2），等式PC2=PA·PB，还成立吗?请证明你的结论．
综合应用：
（2）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P．
①当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；
②D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：
AE
CE
PA
PC
2
2
图1 图2 图3
14、（11分）（2014?河北25．）图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB=2．点P 为优弧上一点（点P 不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．
（1）点O到弦AB
的距离是，当BP经过点O时，∠ABA′=°；
（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：
（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．
15、（12分）（2014?漳州24．）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）
（1）【理解与应用】
如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA 于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为_________．
（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA 交BD于点F，求PE+PF的值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．16、（10分）（2014?常州28．）在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使
⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP?OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．
17、（9分）（2014年云南省23．）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC 相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
18、（2014?江西，第22题8分）如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP。
（1）求△OPC的最大面积；
（2）求∠OCP的最大度数；
（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是圆O的切线.
19. （2014?株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O 的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形AB C．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．
圆综合大题复习答案 1．（12分）（2014?攀枝花）
解答： 解：（1）连接PA ，如图1所示．
∵PO ⊥AD ，∴AO=DO ．∵AD=2
，∴OA=
．∵点P 坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA=
=2．
∴BP=CP=2．∴B （﹣3，0），C （1，0）．
（2）连接AP ，延长AP 交⊙P 于点M ，连接MB 、MC ．如图2所示，线段MB 、MC 即为所求作．四边形ACMB 是矩形．理由如下：
∵△MCB 由△ABC 绕点P 旋转180°所得，∴四边形ACMB 是平行四边形．∵BC 是⊙P 的直径，∴∠CAB=90°． ∴平行四边形ACMB 是矩形．过点M 作MH ⊥BC ，垂足为H ，如图2所示．在△MHP 和△AOP 中，∵∠MHP=∠AOP ，∠HPM=∠OPA ，MP=AP ，∴△MHP ≌△AOP ．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．
∴点M 的坐标为（﹣2，
）．
（3）在旋转过程中∠MQG 的大小不变．
∵四边形ACMB 是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG ⊥BO ，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q 是BE 的中点，∴QM=QE=QB=QG ．∴点E 、M 、B 、G 在以点Q 为圆心，QB 为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG ．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，
∴tan ∠OCA=
=
．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG 的大小不
变，始终等于120°．
2．（8分）（2014?苏州）
解答： （1）解：连接OB ，OD ，
∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=120°，∵⊙O 的半径为3， ∴劣弧
的长为：
×π×3=2π；
（2）证明：连接AC ，∵AB=BE ，∴点B 为AE 的中点，∵F 是EC 的中点，∴BF 为△EAC 的中位线， ∴BF=AC ，∵
=
，∴
+
=
+
，∴
=
，∴BD=AC ，∴BF=BD ；
（3）解：过点B 作AE 的垂线，与⊙O 的交点即为所求的点P ， ∵BF 为△EAC 的中位线，∴BF ∥AC ，∴∠FBE=∠CAE ，∵
=
，∴∠CAB=∠DBA ，∵由作法可知BP ⊥AE ，
∴∠GBP=∠FBP ，∵G 为BD 的中点，∴BG=BD ，∴BG=BF ， ，
∴△PBG ≌△PBF （SAS ），∴PG=PF ．
3．（9分）（2014?苏州）解答：
解：（1）∵l 1⊥l 2，⊙O 与l 1，l 2都相切， ∴∠OAD=45°，
∵AB=4
cm ，AD=4cm ， ∴CD=4
cm ，AD=4cm ，
∴tan ∠DAC=
=
=
，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC 的度数为：∠OAD+∠DAC=105°， 故答案为：105；
（2）如图位置二，当O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上时，设⊙O 1与l 1的切点为E ， 连接O 1E ，可得O 1E=2，O 1E ⊥l 1， 在Rt △A 1D 1C 1中，∵A 1D 1=4，C 1D 1=4
，∴tan ∠C 1A 1D 1=
，∴∠C 1A 1D 1=60°，
在Rt △A 1O 1E 中，∠O 1A 1E=∠C 1A 1D 1=60°，∴A 1E==
，∵A 1E=AA 1﹣OO 1﹣2=t ﹣2，
∴t ﹣2=
，∴t=
+2，∴OO 1=3t=2
+6；
（3）①当直线AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为t 1，
如图，此时⊙O 移动到⊙O 2的位置，矩形ABCD 移动到A 2B 2C 2D 2的位置， 设⊙O 2与直线l 1，A 2C 2分别相切于点F ，G ，连接O 2F ，O 2G ，O 2A 2，
∴O 2F ⊥l 1，O 2G ⊥A 2G 2，由（2）得，∠C 2A 2D 2=60°，∴∠GA 2F=120°，∴∠O 2A 2F=60°， 在Rt △A O F 中，O F=2，∴A F=
，∵OO =3t ，AF=AA +A F=4t +
，∴4t +
﹣3t =2，
∴t1=2﹣，
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，
记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），
解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．
4、2014上海
5、2014成都
6．（9分）（2014?淄博）
解答：解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，
以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．
在优弧AP1B上任取一点P，如图1，
则∠APB =∠ACB =×60°=30°．∴使∠APB=30°的点P有无数个．故答案为：无数．
（2）①当点P在y轴的正半轴上时，
过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG =AB=2．
∴OG=OA+AG=3．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG ===2．
∴点C的坐标为（3，2）．
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，
∵点C的坐标为（3，2），∴CD=3，OD =2．∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D =．
同理可得：P 3（0，﹣2﹣）．P 4（0，﹣2+）． 综上所述：满足条件的点P 的坐标有：
（0，2
﹣
）、（0，2
+
）、（0，﹣2
﹣
）、（0，﹣2
+
）．
（3）当过点A 、B 的⊙E 与y 轴相切于点P 时，∠APB 最大．
①当点P 在y 轴的正半轴上时，连接EA ，作EH ⊥x 轴，垂足为H ，如图2．
∵⊙E 与y 轴相切于点P ，∴PE ⊥OP ．∵EH ⊥AB ，OP ⊥OH ，∴∠EPO =∠POH =∠EHO =90°．∴四边形OPEH 是矩形．∴OP =EH ，PE =OH =3．∴EA =3．∵∠EHA =90°，AH =2，EA =3，∴EH =
=
=
∴OP =
∴P （0，
）．
②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：P （0，﹣）．理由：
①若点P 在y 轴的正半轴上，在y 轴的正半轴上任取一点M （不与点P 重合），
连接MA ，MB ，交⊙E 于点N ，连接NA ，如图2所示．∵∠ANB 是△AMN 的外角，∴∠ANB ＞∠AMB ． ∵∠APB =∠ANB ，∴∠APB ＞∠AMB ．②若点P 在y 轴的负半轴上，
同理可证得：∠APB ＞∠AMB ．综上所述：当点P 在y 轴上移动时，∠APB 有最大值， 此时点P 的坐标为（0，
）和（0，﹣
）．
7．（10分）
（2014?襄阳）解答： （1）证明：作⊙O 的直径AE ，连接PE ，
∵AE 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线， ∴∠DAE=∠APE=90°，
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，
∴∠PAD=∠E ，∵∠PBA=∠E ，∴∠PAD=∠PBA ，∵∠PAD=∠PBA ，∠ADP=∠BDA ，∴△ADP ∽△BDA ；
（2）PA+PB=PC ，
证明：在线段PC 上截取PF=PB ，连接BF ，
∵PF=PB ，∠BPC=60°，∴△PBF 是等边三角形，∴PB=BF ，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC ， 在△BPA 和△BFC 中，
，
∴△BPA ≌△BFC （AAS ），∴PA=FC ，AB=BC ，∴PA+PB=PF+FC=PC ； （3）解：∵△ADP ∽△BDA ，∴
=
=
，∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP ，∴
BP=BD ﹣DP=3，∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC ， ∴AP 2=（3+AP ）?1，解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+．
8．（10分）（2014?南宁） 解答： 解：（1）BE=FH ．
证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠HEF=∠BAE ， 在△ABE 和△EHF 中，
∴△ABE ≌△EHF （AAS ）∴BE=FH ．
（2）由（1）得BE=FH ，AB=EH ，∵BC=AB ，∴BE=CH ，∴CH=FH ，∴∠HCF=45°，∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ACB=45°，∴∠ACF=180°﹣∠HCF ﹣∠ACB=90°． （3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=
FH ．∠CFE=∠HCF ﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．
如图2，过点C 作CP ⊥EF 于P ，则CP=CF=
FH ．
∵∠CEP=∠FEH ，∠CPE=∠FHE=90°，∴△CPE ∽△FHE ．∴
，即
，∴EF=4
．∵△AEF 为
等腰直角三角形，∴AF=8．取AF 中点O ，连接OE ，则OE=OA=4，∠AOE=90°， ∴
的弧长为：
=2π．
9．（12分）（2014?泰州）解答：
解：（1）连接CD ，EA ，
（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，
∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点M （b ，b）
∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，
∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB 与有两个交点F、G．
∴4≤b＜5，
（3）如图，
当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，
∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，
连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，
∴P （，）．
10．（2014?湖州）
证明：（1）如图，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，
在△PMF和△PNE 中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE=PF，
（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，
同理可证△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，
∴b+a=1+t+1﹣t=2，
∴b=2﹣a，
（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF ∴=∴=，
解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，
=，解得，t=，
（Ⅱ）如图4，当t＞2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF ∴=∴=，无解，
当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，
所以当t=，t=，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．
11. （2014 徐州本题10分）
（1）∵CE是⊙O的直径，点F、G在⊙O上，∴∠EFC=∠EGC=90°，
（2）①∵四边形EFCG 是矩形，∴∠BCD =90°，∴∠tan BDC =3
4
==AB AD CD BC . ∵∠CEF=∠BDC ，∴∠tan CEF =∠tan BDC ，即.4
3
34CF EF EF CF =∴=，·
··········3分 ∴.4
3
2CF CF EF S EFCG
=?=矩形
∵当点F 与点B 重合时，CF=BC =4；
当⊙O 与射线BD 相切时，点F 与点D 重合， 此时CF =CD =3；
当CF ⊥BD 时，.512=?=BD CD BC S EFCG 矩形
∴
45
12
≤≤CF . ∴当CF =
512cm 时，；取得最小值矩形2
cm 25
108EFCG S ·····················6分 当CF =4cm 时，2cm 12取得最大值矩形EFCG S .································8分 ②如答图4，连接DG ，并延长DG 交BC 得延长线与点G ’.
∵∠BDG =∠FEG =90°，又∵∠DCG ’=90°，∴点G 得移动路线为线段DG ’,·······9分 ∵CD =3cm ，∴CG ’=,4
94
3
=
CD ∴DG ’=.cm 4152
2）
（=+CD CD ··············10分 12．（12分）（2014?荆州）
解答： 解：（1）证明：连接OH ，如图①所示．
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD ，AB=CD ． ∵HP ∥AB ，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=． ∵OH=OA=
，∴sin ∠HON=
=
．∴∠HON=60°∵BD 与⊙O 相切于点H ， ∴OH ⊥BD ．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3
．∴BC=3
．∵∠BAD=90°，∠
BDA=30°．∴tan ∠BDA=
=
=
．∴AB=3．∵HP=3，∴AB=HP ．∵AB ∥HP ，∴
四边形ABHP 是平行四边形．∵∠BAD=90°，AM 是⊙O 的直径，∴BA 与⊙O 相切于点A ．∵BD 与⊙O 相切于点H ，∴BA=BH ．∴平行四边形ABHP 是菱形． （2）△EFG 的直角顶点G 能落在⊙O 上． 如图②所示，点G 落到AD 上．
∵EF ∥BD ，∴∠FEC=∠CDB ．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．
由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x ，∴GE=CE=x ．ED=DC ﹣CE=3﹣x ．∴cos ∠GED=
=
=．∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．
∴OG=AD ﹣AO ﹣GD=3﹣
﹣
=
．∴OG=OM ．∴点G 与点M 重合．
此时△EFG 的直角顶点G 落在⊙O 上，对应的x 的值为2． ∴当△EFG 的直角顶点G 落在⊙O 上时，对应的x 的值为2． （3）①如图①， 在Rt △EGF 中，tan ∠FEG==
=
．∴FG=
x ．∴S=GE ?FG=x ?
x=
x 2．
②如图③，
ED=3﹣x ，RE=2ED=6﹣2x ，GR=GE ﹣ER=x ﹣（6﹣2x ）=3x ﹣6．∵tan ∠SRG=
=
=
，∴SG=
（x ﹣2）．∴S △SGR =SG ?RG=?（x ﹣2）?（3x ﹣6）． =（x ﹣2）2．∵S △GEF =x 2，∴S=S △GEF ﹣S △SGR =
x 2﹣
（x ﹣2）2．
=﹣
x 2+6
x ﹣6
．
综上所述：当0≤x ≤2时，S=x 2；当2＜x ≤3时，S=﹣x 2+6x ﹣6．
当FG 与⊙O 相切于点T 时，延长FG 交AD 于点Q ，过点F 作FK ⊥AD ，垂足为K ，如图④所示．
∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°． ∵OT=
，∴OQ=2．∴AQ=
+2． ∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABFK 是矩形． ∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣
x ． ∴KQ=AQ ﹣AK=（
+2）﹣（3
﹣
x ）=2﹣2
+
x ． 在Rt △FKQ 中，tan ∠FQK==
．∴FK=QK ．∴3=（2﹣2+
x ）． 解得：x=3﹣
．∵0≤3﹣
≤2，∴S=
x 2=
×（3﹣
）2=
﹣6．
∴FG 与⊙O 相切时，S 的值为
﹣6．
13解：（1）当PB 不经过⊙O 的圆心O 时，等式PC 2=PA·PB 仍然成立．
证法一：如图1，连接PO ，并延长交⊙O 于点D ，E ，连接BD ，AE ．
图1
∴∠B=∠E ，∠BPD=∠APE ， （2分） ∴△PBD ～△PEA ． ∴
PA PD =PE
PB
，即PA·PB=PD·PE ， （4分） 由图1知PC 2=PD·PE ，∴PC 2=PA·PB ． （6分）
证法二：如图2，过点C 作⊙O 的直径CD ，连接AD ，BC ，AC ．
∵PC 是⊙O 的切线，∴PC ⊥CD ， （2分） ∵∠D=∠B ，∴∠B=∠2，∠P=∠P ，∴△PBC ～△PCA ， ∴
PC PA =PB
PC ，即PC 2=PA·PB ． （6分） （2）①由（1）得PC 2=PA·PB ，PC=12，AB=PA ， PC 2=PA·PB=PA （PA+AB ）=2PA 2，
∴2PA 2=144，PA =±62，PA=-62无意义，舍去．
∴PA=62． （8分）
②证法一：过点A 作AF ∥BC ，交PD 于点F ， ∴
PA PB =AF BD ，AF CD =AE
CE
． （10分） ∵D 为BC 的中点，∴BD=CD ． ∴
AF BD =AF CD ，∴PA PB =AE
CE
． （12分） PC 2=PA·PB ．
22PA PC =2
PA
PB PA ?=PA PB =AE CE ，即22PA PC =AE CE ． （14分）
证法二：过点A 作AG ∥BC ，交BC 于点G ，
∴
PA PB =GD BD ，DG CD =AE
CE
．（10分） ∵D 为BC 的中点，∴BD=CD ．∴GD BD =DG CD ，∴PA PB =AE
CE
． （12分）
PC 2=PA·PB ．
22PA PC =2
PA
PB PA ?=PA PB =AE CE ，即22PA PC =AE CE
（14分） 14河北解答：
解：（1）①过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，连接OB ，如图1①所示．
∵OH ⊥AB ，AB=2
，∴AH=BH=
．
∵OB=2，∴OH=1．∴点O 到AB 的距离为1． ②当BP 经过点O 时，如图1②所示．
∵OH=1，OB=2，OH ⊥AB ，∴sin ∠OBH==．∴∠OBH=30°．由折叠可得：∠A ′BP=∠ABP=30°．
∴∠ABA ′=60°．故答案为：1、60．
∴∠OBP=30°．∴OG=OB=1．∴BG=．∵OG ⊥BP ，∴BG=PG=
．∴BP=2
．∴折痕的长为2
．
（3）若线段BA ′与优弧
只有一个公共点B ，
Ⅰ．当点A ′在⊙O 的内部时，此时α的范围是0°＜α＜30°． Ⅱ．当点A ′在⊙O 的外部时，此时α的范围是60°≤α＜120°． 综上所述：线段BA ′与优弧
只有一个公共点B 时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
15．（12分）（2014?漳州）解答： 解：（1）如图2，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA=OB=OC=OD ，∠ABC=∠AOB=90°． ∵AB=BC=2，
∴AC=2
．∴OA=
．∵OA=OB ，∠AOB=90°，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，∴PE+PF=OA=
．
（2）如图3，
∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OB=OC=OD ，∠DAB=90°．∵AB=4，AD=3，∴BD=5． ∴OA=OB=OC=OD=．∵PE ∥OB ，PF ∥AO ，∴△AEP ∽△AOB ，△BFP ∽△BOA ． ∴
，
．∴
=
=1．∴
+
=1．∴EP+FP=．∴PE+PF 的值为．
（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF 是定值． 理由：连接OA 、OB 、OC 、OD ，如图4．
∵DG 与⊙O 相切，∴∠GDA=∠ABD ．∵∠ADG=30°，∴∠ABD=30°．∴∠AOD=2∠ABD=60°． ∵OA=OD ，∴△AOD 是等边三角形．∴AD=OA=4．
同理可得：BC=4．∵PE ∥BC ，PF ∥AD ，∴△AEP ∽△ACB ，△BFP ∽△BDA ．∴，
．
∴
=
=1．∴
=1．∴PE+PF=4．∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．
分）
（2014?常州）解答：
∵点M （，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OA=OM ，
∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°∴∠AMB=90°； （2）①∵OH=MH=，MH ⊥OD ，
∴OM=
=2，OD=2OH=2
，∴OB=4，∵动点P 与点B 重合时，OP ?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=5，∴E 点坐标（5
，0）
②∵OD=2
，Q 的纵坐标为t ，∴S=
．
如图2，当动点P 与B 点重合时，过点Q 作QF ⊥x 轴，垂足为F 点， ∵OP=4，OP ?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=，
此时S=
；
如图3，当动点P 与A 点重合时，Q 点在y 轴上，
∴OP=2
，∵OP ?OQ=20，∴t=OQ=5
，此时S=
；∴S 的取值范围5≤S ≤10．
17解答：
解：（1）过点P 作PH ∥OA ，交OC 于点H ，如图1所示．
∵PH ∥OA ，∴△CHP ∽△COA ．∴
=
=
．∵点P 是AC 中点，∴CP =CA ．∴HP =OA ，CH =CO ．
∵A （3，0）、C （0，4），∴OA =3，OC =4．∴HP =，CH =2．∴OH =2．∵PH ∥OA ，∠COA =90°， ∴∠CHP =∠COA =90°．∴点P 的坐标为（，2）．
设直线DP 的解析式为y =kx +b ，∵D （0，﹣5），P （，2）在直线DP 上，
∴∴∴直线DP 的解析式为y =x ﹣5．
（2）①若△DOM ∽△ABC ，图2（1）所示，∵△DOM ∽△ABC ，∴=．
∵点B 坐标为（3，4），点D 的坐标为（0．﹣5），∴BC =3，AB =4，OD =5．∴=．∴OM =
．
∵点M 在x 轴的正半轴上，∴点M 的坐标为（，0）
②若△DOM ∽△CBA ，如图2（2）所示，
∴点M 的坐标为（，0）．综上所述：若△DOM 与△CBA 相似，则点M 的坐标为（，0）或（，0）． （3）∵OA =3，OC =4，∠AOC =90°，∴AC =5．∴PE =PF =AC =．∵DE 、DF 都与⊙P 相切，∴DE =DF ，∠DEP =∠DFP =90°．∴S △PED =S △PFD ．∴S 四边形DEPF =2S △PED =2×PE ?DE =PE ?DE =DE ．∵∠DEP =90°，∴DE 2=DP 2﹣
PE 2．=DP 2﹣
．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP ⊥AC 时，DP 最短，此时DE 取到最小值，四边形DEPF 的面积最小． ∵DP ⊥AC ，∴∠DPC =90°．∴∠AOC =∠DPC ．∵∠OCA =∠PCD ，∠AOC =∠DPC ，∴△AOC ∽△DPC ． ∴
=
．∵AO =3，AC =5，DC =4﹣（﹣5）=9，∴
=．∴DP =
．∴DE 2=DP 2﹣
=（
）2﹣
=
．
∴DE =，∴S 四边形DEPF =DE =
．∴四边形DEPF 面积的最小值为
．
19．（8分）（2014?株洲）解
答：
解：（1）连接OA ，过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，如图1所示． ∵AB 与⊙O 相切于点A ， ∴OA ⊥AB ． ∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB==
=．
∵△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin ∠HAB=，∴HB=AB ?sin ∠HAB=×=．
∴S △ABC =AC ?BH=××=．∴△ABC 的面积为．
（2）①当点A 与点Q 重合时，线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=0°；②当线段A 1B 所在的直线与圆O 相切时，如图2所示，
线段A 1B 与圆O 只有一个公共点，此时OA 1⊥BA 1，OA 1=1，OB=2，∴cos ∠A 1OB==．∴∠A 1OB=60°．
∴当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，α的范围为：0°≤α≤60°．
（3）连接MQ ，如图3所示．
∵PQ 是⊙O 的直径，∴∠PMQ=90°．∵OA ⊥PM ，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ ．
∴△PDO ∽△PMQ ．∴==∵PO=OQ=PQ ．∴PD=PM ，OD=MQ ．同理：MQ=AO ，BM=AB ． ∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=
．∴PM=
．∴DM=
．
∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM===．
∵△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=BC ，∠CAB=60°．∵BM=AB ，∴AM=BM ．∴CM ⊥AB ． ∵AM=
，∴BM=
，AB=．∴AC=
．∴CM=
=
=
．
∴CM 的长度为
．
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