数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案(1)

《数学物理方程》模拟试题

一、填空题（3分?10=30分）

1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.

2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n

u

S

=+??)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边

界.

5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程2

2

222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有

=)(0x J dx

d

（ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3

1)(3202x P x P += （ ）. 8.计算积分

=?

-dx x P 2

1

1

2)]([（ ） .

9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .

二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：

1.???

?

?

????<<=??===><

2

222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u

2.????

?

??

??===><

t u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3. ????

?

????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022

222x t u t x x u

t u t t x x u u u

三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）

??

???=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0

022

2

22t t t u x u t x x x u a t u

四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：

???

?

???=+=>>=???==,

1,

10,0,1002y x u y u y x y x u

五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：

)(1)()('

0'

'02x J x

x J x J -=

六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足

θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:

.

0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(112

22πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=????+????=r u r u

r r u r r r

(本题的u 只与θ,r 有关，与?无关)

《数学物理方程》模拟试题参考答案

一、 填空题：

1.初始条件，边值条件，定解条件.

2. )(222222

2z

u y u x u a t u ??+??+??=?? 3.01)(12

22=??+????θρρρρρu u . 4. 三.

5.U a dt

U d 2

22

2ω-=. 6.)(1x J -. 7.2x .

8.5

2.

9.)1(212-x dx

d .

10.2

02

0)

()(1

ln

y y x x u -+-=.

二、试用分离变量法求以下定解问题

1.解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：

0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，

对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到

2222

3πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(π

n B x X n n =，再解)(t T ，得到

32sin

32cos )(;

;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3sin )32sin 32cos (),(1

x

n t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞

=再由初始条件得到

0,)1(183sin 332130=-==+?n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为

,

3sin )32cos )1(18(),(11

x

n t n n t x u n n πππ+∞

=-=∑

2. 解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：

0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对

λ的情况讨论，

只有当0>λ时才有非零解，令2

βλ=，得到22

22

4

πβλn ==为特征值，特征函数4

sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16

;

22)(t n n n e C t T π-

=，

于是,4

sin

(),(16

122x

n e

C t x u t n n n ππ-∞

=∑=再由初始条件得到

1

40)1(164sin 242+-==

?n n n xdx n x C π

π，所以原定解问题的解为,4sin

)1(16

),(16

11

22x

n e n t x u t n n n ππ

π-+∞=-=∑

3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此

212

''''22222)(16)(416)]([4c x c x x w x w x w x

v t v ++-=?=?++??=??，再由边界条件有8)2(,0)0(==w w ，于是0,821==c c ，x x x w 82)(2+-=.再求定解问题

???

??

????<<=??-===><

32

2

222,0x t v x w x t x x v t v t t x v v v 用分离变量法求以上定解问题的解为

,2sin cos ])1)1[(32)1(16(

),(331

x n t n n n t x v n n n ππππ--+-=∑∞

=故

,2sin cos ])1)1[(32)1(16(28),(3312

x n t n n n x x t x u n n n πππ

π--+-+-=∑

∞

=

三.解：

令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程齐次化，因此

x a

x w x x w a x x w x v a t v cos 1)(0cos )(cos )]([2'

'2''22

222=?=+?++??=??，再求定解问题????

???=??-=>??=??==,0),(cos 12sin 0,0202

2

222t t t v

x xw a x t x v a t v v 由达朗贝尔公式得

到以上问题的解为

at

x a at x at x a

at x at a a at x t x v cos cos 1

cos sin 0

)]cos(1

)(2sin )cos(1)(2[sin 21),(222-=+---++-+=故

.cos 1

cos cos 1cos sin ),(22x a

at x a at x t x u +-=

四.解 ：

对y 取拉普拉斯变换),()],([p x U y x u L =，对方程和边界条件同时对y 取拉普拉斯变换得到p p

U p

dx dU p

x 1

1,1

2

+=

==，解这个微分方程得到p

p x p p x U 1

11),(22++=

，再取拉普拉斯逆变换有1),(++=y yx y x u 所以原问题的解为1),(++=y yx y x u .

五.证明：

由公式

)())((1x J x x J x dx

d n n n n

+---=有)()()(1'x J x x nJ x xJ n n n +-=-，令1=n 有)()()(211'x xJ x J x xJ -=-，所以)(1

)()(11'2x J x

x J x J +-=，又

)()(),()(1'0''10'x J x J x J x J -=-=，所以)(1

)()(0'0''2x J x

x J x J -=.

六．解：

由分离变量法，令)()(),(θθΦ=r R r u ，得到

∑∞

==0)(cos ),(n n n

n P r C r u θθ，由边界条件有∑∞

===+=0

1)(cos 12cos 3n n n r P C u θθ，令x =θcos ，

)

()()(261)12(322110022x P c x P c x P c x x ++=-=+-∴，

)13(212622102-++=-x c x c c x ， 4,0,0210===∴c c c ，故22222

2cos 6)1cos 3(2

1

4),(r r r r u -=-=θθθ