微积分1复习题.docx

高等数学第一学期总复习

一、填空题(每小题2分)

1.已知/(" + 1) = 2—1,则/(兀)二_____ ,其定义域是_____ ?

c .. Vxcosx

2.lim ---------- = .

XT? x +1

3.设/(x) = cos22x,贝IJ f(2x) = ___ .

4.设函数fO)可导，y = /(sinx) + /(cos2 x)，贝tl — = _________ ?

dx

5.设f(x)=［月力(0 v兀v +oo),则⑴f(x)的奇偶性为__________ .(2) /(x)的单调性为_________ .(3) /(x)的图像凹凸性为 ______ .

6.设［―^-dr = e-?+C(C为任意常数)，则 /(%)= _______ .

J ./W

7.已知r(x-i)=戶，且/(-1)=|，则/(%)= _________ .

￡

8.已知f(x)的一个原函数是sin2x,Kij￡4f\2x)dx = ____ .

9.在sin2x的麦克劳林展开式中〒丽的系数是_________ ?

10.设F(Q = ￡________ -t)dt，则F\x) = .

11.设J/'(疋)心=兀4一兀+C,贝【J f(x) = .

12.假设当兀一＞0时(1 +ax2)5— 1 ?cosx-1,贝！］a =

14.设函数 = + ° '山⑷二+仗一。")，其中，已知/G)g(y)+ /G)gS)二g(“)，则

U = ________ .

15.已知lim/^^ = 3 ,贝lj lim—-—= XTO % XT() /(3x)

lim XT 8 (3兀+2严(3兀-5

严

(8x-ll)80

13. 已知#：［/(刊］」，则/?)=

x

1 + x x< 2

已知 /(x) = \ 0 x = 2

F —1 x>2

J xf{x)dx = arcsin + c 9 贝9—-—

设 /(x) = sin —4-cos 2 兀，贝!J /(27)(^) = . 设/?)) = -2，则In 討比一勿一/仇+力二 力 T

() h

设门对=F e-dt ，则Ihn 住竺上△匕么 Jo a —>0 a 设/(x) = max(x,x 2),在区间(0,2)内 f(x)=_

f sinx

c

—.

I

= cos “ x + C ，贝[I f(x) = ?

J 0

己知 g(x)处处连续,JI /(x) = y ￡(X - t)2

g(t)dt ，贝 |J f\x) =

x x< 0

已知/(x) = < a + bcosx 在兀=0处可导,，贝lj°= ___ , h= ______

----------- x>0

x 1

sin - + sin x

设/(x)在兀=0处连续且当XHO 时，f(x) = ------- ------ ,则/(0)= ________

cosxln(l + x)

d sin/ ,

一 -------- c lt = ______ .

dx J()

1 + cosr

曲线y x 轴、y 轴及x=l 所围图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积是 已知 lim ，?八(>

,=AH0,贝, A =

n k

-(n-1/

------ --------------

x

设/(x)在兀=0点可导，冃/(0) = 0,贝I 」lim

1

XT O

lim

sin t 2

dt

函数/(x)

lim

1 + 兀" sinx

2°,仅有一个间断点是2

x<0

，则 lim/[/(%)] =

33. \[f(x)^xf\x)]cbc = _____

x< 0

在兀=0点为可去间断点,则Q =

x > 0

35.

函数/(x)可导，且曲线y = f\x)(如图1所示)，又知f(a) = 1, f(h) = 3,/(c) = 5 ,则函

数y = f(x) 的极值是 ，拐点是

36. 设/⑴=兀(兀+ 1)(2乳+ 1)(3兀-1),则在区间(-1,0)内方程f\x) = 0有 _______ 个实根；在区间 (-1,1)内方程f\x) = 0有 ____ 个实根.

37. 若函数/(兀)满足方程/2

(x)=[ f(t)dt 9则f(x)= ________ .

JO

皿 f 1 x < 1 [-2 x < 1 口 i i 38. K /(%) = < ‘ gM = \ ,则g[f(x)]= ______ .

[-1 x > 1 [2 \x > I

39. 由曲线 尸Jl_(兀-1)?与直线y = x 所围平面图形绕y 轴旋转一周得到的

旋转体的体积V 的积分表达式为 ___________________________ (不必计算)。

40. 设/(兀)是连续函数，且 lim /(x) = 1,则 lim f' \-(sin-)/(r )6?r = _______ .

XT2 XT+B J X

f

41.设^f(t-x)dt = e'xl

则/(兀)= _________

二、选择题(每小题2分)

(A) X T 一8 (C) XT O 34. 若函数f(x)=

\

_ X

.无一1

x<0 0 v 兀 v 1

，当()时无穷大量.

(B) X T 4-00 (D) XT1

2.下列函数屮，在[-龙,龙]上满足罗尔定理的条件是（）.

(B) /(X )= sin x

5. 函数/（兀）在（d,b ）内连续，则（）也在（d,b ）内连续.

6. 若 /(-x) = /(x)(-oo 0 ,且 f\x) V 0 ,则在(0,4oo)内有().

7. 设 y = f （x ）是方程4y = 0 的一个解，若 /（%） ＞ 0,且 f\x Q ） = 0，则 /（%）在 x 0 处（）. （A ）取极大值 （B ）取极小值

（C ）不一定取到极值

（D ） —定不取到极值

&函数（）的需求价格弹性型与价格无关.

Ep

(B) Q = a-bp-cp 2

(C) f(x) = cos x

(D) /(x) = xcosx

3. 曲线 y =幺"arctan ———-―— （x-l ）（x + 2） （A ） 1

（B ） 2

4?若/（兀）为奇函数，g （x ）为偶函数，则（）为冇（）条渐近线.

(C)3

(D)4

(A)

(B) (C) g[.f ⑴]

(D) g[g(x)]

(B) In /(x)

（C ）

(D) arcsin f(x)

(A) /V)>0，r (x)<0 （B ）r （x ）＞o,ru ）＞o (C) f(x) < 0? f\x) < 0

（D ）r （x ）＜o,r （x ）＞o

(A) Q = a-bp

9.下列不等式屮,（）成立.

（A） j] In2xdx＞[in xdx （C） j+x3dx ＞ x2dx

10.下列广义积分收敛的是（）.

（A）r^dx (B) (D)

dx x\nx (D)

j ln2xJx>|

g dx e

xln2 x

? -2

dx>

(B)

1? x 2

+cos 2 x-\ lim ------------- —

xt8 (x + sinx)*"

13>出方程e y

+xy-e = 0所确定的隐函数的微分dy = ()。 (A) ------- --- dx y + e x

(B) ——dx

% + o' (C) V dx

x + e y (D)—『dx x^e y

14、设函数/(x)-阶可导且处处满足方程 r (x) + 3(/V))2

+2^/W = 0,若兀。是该函数的一

个驻点且/(x 0)<0,则/⑴在点兀°处()。

(A)

取极大值 (B)取极小值 (C)无极

值 (D)不确定

15、 若歹=—— 在［—1,1］上满足罗尔屮值定理，则定理屮的§ =()

1 +十

(A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 1 16、 当 x>0 时，曲线 y = xsin 丄()。

(A)仅有水平渐近线 (B)仅有铅直渐近线

(C)

既有水平还有铅直渐近线 (D)既没有水平也没有铅直渐近线

17、 设/(兀)是sir?兀的一个原函数，贝lj df(x 2

) = ()。 (A) 2xsin 2

x 2

dx (B) sin x A

dx

20、下列广义积分收敛的是()o

11、 (C) 不存在 (D) oo

兀H 1在点x =1处()

X = 1

(A) 不连续

(C) 可导但导数不连续

(B) 连续但不可导 (D) 可导且导数连续

(C) 2xsin x 2

dx (D) sinx 2^r 2

18、f(—\ ------- l )〃(cosx)=()

J COS X

(A) tan 兀一兀+ c

(C) ------- ----- x + c

COS 兀

(B) tan x 一 cos 无 + c

(D) ------ ! ---- cos x + 19、设/(x)单调可导，g ⑴是/⑴的反函数，则羊型sinM=()。 dx J 1

t

(A)

)sin(f

X

Y

(B)

7u )

sin(/w)

(C)

7w

sin(/(x))广(x) (D)

(A) 0 (B) 1

23、设/（x ）是可导函数，则（）

（A ） 若/（兀）为奇函数,则广（兀）为偶函数

（B ） 若/（x ）为奇函数，则广（对亦为奇函数 （C ） 若畑为单调函数,则广（兀）亦为单调函数

（D ） 若兀兀）为非负函数,则广（兀）亦为非负函数 24> 设 y = /（-x ）可导，贝lj y =（）。

(A) f\x)

(B) 一/?)

(C) f\-x)

(D) - f(-x)

25、r （x o ） = O 且 厂（兀。）>0是y = /（%）在点%0处有极值的（）条件。

（A ）必要

（B ）充分 （C ）充分必要 （D ）无关

29> 设 /(x)连续且不等于零，若[xf(x)dx = arcsinx + c,贝lj f 必=()。 J ? J /(兀) 26、 若点(1,3)是曲线y ： (A) -3/2, -9/2 (C) 3/2, -9/2

27、 已知 F(x)是 f(x) 二处'+/z?上的拐点，则a, b 分别为（）。 （B ） -3/2, 9/2 （D ） 3/2, 9/2

的原函数，贝〔J 「/（f + d ）d/=（ ）o

J a

(A) F(x)- F(a) (B) F(t + a)-F(2a)

(C) F(x + a)-F(2a) (D) F(r)-F(a)

28> 设|f\x)dx = x 2e 2x

+ c, 则 f(x) =( ) o

(A) 2兀戶

(B) 2兀沪

(C)心(2 + 兀)

(D) 2壮"(1 + 兀)

(A)

+8 In x — clx (B) e X

4-oo ] ---- dx (C) e

x\nx 4-oo |

—dx (D) ° xln x

+8 I —-^=dx

e

xVlnx

21、若当兀Too 时

(A) a=0, (C) a=0, 1 ax^ + bx + c b=l, c=l b^ c 任意

—,贝ij a 、b^ c 的值一定是（）。 兀+1

（B ） a=0, b= 1, c 任意

（D ） a 、b> c 都任意

22、设/（兀）

"0,则 x = 0

r （o ）=（）o

(A) 0

(B)

I

(C) -1

(D) 1

(A) -(l-x2)3/2+C (B) -(l-x2)3/2 +C

3 3

(C) --(l-x2)3/2+C (D) --(l-x2)3/2+C

3 3

30、当()吋，广义积分f °e^dx收敛。

J—oo

(A) k>0(B) k>0(C) k<0(D) ^<0

31.设f(x) = ￡*nA sin t~dt,g(x) = x3 4-x4,W当XT O吋/(x)是

(A)等价(B)同阶非等价(C)高阶(D)低阶

32.如果/⑴处处二次可微，

则lim [ lim 门。+ 2 心 H-g + ZQ + g ]=

?—>0 力TO]讣

(A) (B) f3

(C) (D)

33.设函数/⑴处处可导，且有/z(0) = 1，并对任何实数%和h，恒有：/(%+//) = /(x) + /(/z) + 2加，则/?) = ()?

(A) 2兀+1 (B) x+1 (C) x (D)夕

34.设/(%)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，口有/⑷=f(b)，若/(%)不恒等于常数，则在(讪内()?

(A)至少存在一点使得/(§)>0 (B)至少存在一点使得广(§)>0

(C)任一点§处，总有/毬)=0 (D)任一点§处，总有/毬)丰0

35.设/(0) = 0, = 则函数/(x)在兀=0处().

?—0 X

(A)可导，且广(0)H0 (B)取得极大值

(C)取得极小值(D)不可导

36.设/(X)是(-oo,+oo)上奇函数，且对任意实数兀冇：/(x + 2)-/(x) = /(2)成立，则当/(X)是以2为周期的周期函数吋，必有/(1)=().

(A)-l (B)0 (C)l (D)2

37.y = ax3 -^-bx2 +cx + d在同一x处有一拐点和一水平切线，则a,应满足关系式为().

(A) a-c(B) a + /? + c = 0

38. jx v (l + ln x)dx = (). (A) —x v+,

+lnx + C

x + l (C) xlnx + C

(D) —x x

lnx + C

2

39. lim (丄+ ^—+ ??? +」一)=(). “TOO

〃 + ] n + 2 n^n (A) In 2

(B) e

(C) 0

(D) 1

?

sinx 兀 HQ ]

40. 设 f(x) = < x "H 的定积分J (*f(x)dx().

k x = 0 (A)不存在

(B)存在且与&有?关

42. 设兀T 0时,严T 与対是同阶无穷小,则"(). (A)l

(B)2

(C)3

(D)4

43. 设/(兀)在(Y,z)上有定义，在点x = 0处连续，lim/(兀)H0,则兀=0是g(x) = < "丿 心°

XT8

0 x = 0

的().

(A)第一类间断点 (B)第二类间断点

(C)连续点 (D)间断点但类型不能确定

44?设/(兀)在x = 0的某个领域内可导，且/'(0) = 0及lim /(X )

=-t 贝ij().

XTO 1 -COSX 2 (A) /'(0)必是/?)的一个极小值 (B) 厂(0)必是广(x)的一个极大值 (C) /(0)必是f(x)的一个极小值

(C)存在且与￡无关 (D) &B,C 都不对

[1-x x<0 41

-设能)％+1 x>0

/w=\x

则g[/U)]=( )?

[x x>0 (A)

l + x 2

1-x

x<0 x>0 (B) [J 2 [1 + x

x<0

x>0

x<0

x>0

x<0 x>0

(D) /(O)必是/(兀)的一个极大值 45.若已矢nm>N 2

= + 贝l 」().

46.设常数k>0,则f(x) = ]nx-- + k 在(0,+oo)内零点的个数是(). e

(A)0 (B)l (C)2 (D)3

47.设/(x) = lnx+f /⑴d/,则 f(x)=(). (A) lnx+(e-l) (B) lnx + C (C 为任意常数) (C) lnx + ------

2-e

三、计算题(每小题10分) (?丄◎COSX-A/COSX

1. -------------------- 计算 lim ?

go sirr x

2 y = ln(cos 2 x +Vl + cos 4 x)，求 c(y ?

(A) T> 1 2N —

\

(B) T< 1 2N — \ (C) T> 1 2A F (D) T<

1 2^V —(1 — cos x)

x<0

3.设 1

，讨论/(x)在兀=0点的连续性和可导性.

(D) lnx

48.设 f(x) = ￡ sin rdt,

g(x) = tanx-x

则当兀一0时().

(C) f(x) = O(g(x))

5 f cosx x< 0

49?设/⑴彳2-疋沦0 (B) f(x) = O(g(x))但/(x)不等价于 g(x)

fb 4 则 ￡/(%-1)^ =().

(A) sin 1 -3 (B) -sinl-3 50.下列广义积分发散的是(). (A)

(C) g dx

2

xlnx

(C) sin 1 + 3 (B) f° e^x

dx

J —oo

(D) ^x\x\xdx

(D) sinl + 15

计算定积分 J cos x(x + cos x)2 dx.

1 jr

可导函数/（X ）= 6zsinx + -sin3x 在x =—处取得极值? 3 3

是极大值还是极小值？试求出该极值。 ■

12.设/（兀）的一个原函数是"门"，求

1 + xsin 兀 」

― 士 f arcsin 兀 1 + x 2

r 13.求 ----- --- dx.

J F Vi^7

15.设，讨论函数/（兀）在x = 0处连续性.可导性

求极限lim

.

XTO+

X (1-C0S\/X )

(兀)二

1 +对

1

1

1

丄 丄

2

4. 求不定积分

xe x

6. 设/w=r 「dt ，求 f （x ）

7. 若 lim ----

----- 2° 兀 一 a sin

兀

?sinx

8. 设冇函数/（%）

= 1 1

x~ e x

-\

j_

2

x H 0 ，讨论兀=0点的连续性和可导性. x = 0

9.

e x+y

-xy = 0,求 10.函数 f(x)= < X 3 0 dy dx

x> 1

0<%

(°>0卫工1),求 /z (x).

5. 11?当d 为何值时, 1

6.设\^f(t-x)dt = e-x2

-l,

求/(x)

sinx

17.讨论函数f(x) = 0

ln(l - x) % < 0

x = 0在x=0处的可导性

% > 0

dx

險计算不定积分J 时+时

21. 22.

23. y = 0+(—)“ + (—)"+/+炉(°>0),求y'. a x

24.设Di 是由抛物线尸2/和直线“a, *2及)，二0所围成平面区域；D2是由抛物线尸

和直线y = 0,兀=口所围成平面区域，其中0

(1) D )绕x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积V|； (2) D2绕y 轴旋转一周所围成的旋转体的体积V 2;

(3) 问：当。为何值吋Vi + V 2取最大值？试求此最大值。

25.设/(兀)连续，(p(x)=[l

f(xt)dt 9 且

= (A 为常数),

J o

XTO X

求(p\x),并讨论0(%)在X = O 处的连续性.

28.计算极限 lim[ ------------- sin 丄]

“T8

n f

n

[? Z1 . x 2

+2处、_〃

30. 求 hm (1+——)

31. 已知曲线y = a\/x (a > 0)与曲线y = In Vx ，在点(x 0?y 0)处有公共切线,,

求:⑴常数a 的值及切点(x 0,y 0)；

(2) M 曲线与兀轴围成的平面图形面积； (3) 平面图形绕兀轴旋转而成的旋转体体积； 32. 对抛物线y = 4-x 2

,

(1)求它与兀轴所围部分的面积；

⑵ 求曲线上x 坐标为召的P 点处的切线方程(石>0),并求这条切线与兀轴及直线)=4的交点; ⑶ 如果⑵中P 点处切线与曲线及兀轴和y = 4所围图形而积最小，则P 点应在何处?

26. 求不定积分

J (l + cosx)~

27.

令mH 詈加试求心+心 求广义积分「疔

29.

33?设曲线y = a(4-x 2

\ (°>0),过此曲线与兀轴交点(-2, 0)及(2, 0)作曲线的两条法线, 求曲线与这两

条法线所围成的平而图形而积的最小值

西=1, x tl+i =2-—^—, n = \2y …….，求证：数列｛x n ｝的极限存在并求其极限

1 + E

性和可导性

40.设f(x)在点x = 0的邻域内三阶可导，且 /(0)；广(0)；厂(0);； (2) lim[l+如卡

XT0

X

41.已知函数 /(x)连续且 f(x) = ^+[2

f(x)dx,求[2

f(x)dx

l + x J °

Jo

四、证明题(每小题5分)

1. 设/⑴在[0,1]±连续，在(0,1)内可导，且/(0) = /⑴=0,ifiM=max ｛|/(x)|xe[O,l]).iiE 明:至少

存在一点兵(0,1)使| /毬)|> 2M .

2. 设/(Q 在[0,1]±连续，目丄/(兀)心二0，证明至少存在一点兵[0,1],使/(I-§) = -/?

3. 设 F(x) = ^(x-2t)e~,2

dt ，证明：(1) F(x)是偶函数；(2) F(x)在(0,2)上是增函数. 4. 函数/(兀)在[0,1]上有定义，且单调不增，证明对任何aw(0,l)有「f(x)dx>aCf(x)dx.

设x”=(i +古)sin 呼，证明：数列&”｝没冇极限

34. 35.

a, b 使得函数/(x) = lim

舁T8

x +ax +bx 是连续的

36. 37.

lim (\j2x 2

+ 2x + l -ajc-b) = O , ,V->4-oo

试确定a,

39.

r (lnx) =

1, 0 < x < 1

兀，.>1冃

求/(兀)

(p(u)du]dt 仅兀)为连续函数,令/(兀)=?

ln(l + x 2)

兀H 0

“0讨论在点处的连续

叫[1+兀+

= a 3

,求(1)

5.用极限定义证明:

lim 伴丄

“TOO

2H + 3/1

6.

［? X — \ c

7.用极限定义证明：1-^ = 0

8.设x>o且Ovovi,证明不等式：x a— ax < \ — a

/?-/⑷9.设f(x)在区间［°上］连续，(a.b)内可导，求证：(a.b)使得广? =

10 ?设函数 /(%) 在［°上］连续，(G0) 内可导(a,b>0),求证：方程

b f(b)- f(a) = xln(—)/?(%)在(a,b)内至少有一个根

a

11 ?设/(x)在［1,2］上二阶可导，且/(2) = 0, 乂F(x) = (x —1)2/0),求证：m兵(1,2)使得严?=0

f(x} — X

12.设/(x)三阶可导，/(0) = 0 ,广(0) = 1,广'(0) = 2,求证：lim — = 1

XT() JT

13.设/(X)在(a,b)可导，且f(x)在(a,b)内有界，证明：f(x)在(a,b)内有界

14.若/H(x)>0 ,求证：/(t7 + /?) + f(a-h)>2f(a),(力>0)

15?设/(X)在［a,b］连续且/⑷=f(b),广⑴在@0)内存在且几⑷>0, f'(x)在(a,b)

内存在，求证：See (a9b)使得/H(c)<0

16?若当XG ［0,1］时I r\x)\

17.设f(x)在［0,1］连续，在(0,1)可导，且/(0) = 0, ,求证：［\l Q fMdx］2 >^f3(x)dx

18.设/(x)在［0,1］可导，且f(l) = 2^xf(x)dx,求证：丐e(0,l)使得f? = 一爷

19.设f(x)在［⑦切连续，且/(x)>0,求证：B^e［a,b］使得^f(x)dx = -^f{x)dx

rb a 十 b fb

20.设/(兀)在［d,b］连续月.单调上升，求证：xf(x)dx>^—\ .f(x)dx

Ju 2 J 0

21.设f(x)在［0,1］二阶可导，且/(0) = /(I),广(1) = 1,求证：疑(0,1)使得厂? = 2

19.求j max(l, x2 )dx.

20.设函数/（x） = x+Qcosx（a>l）在区间（0,27V）内冇极小值，且极小值为0,求函数/（兀）

在该区间内的极大值.