命题的四种形式

1．若命题p 的逆命题是q ，q 的逆否命题是r ，则命题r 是命题p 的( )

A ．逆命题

B ．否命题

C ．逆否命题

D ．等价命题

解析：根据四种命题之间的关系可知命题r 是命题p 的否命题．

答案：B

2．(2012·湖南高考)命题“若α＝π4

，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4

，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4

解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4

，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4

”． 答案：C

3．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a|＝|b|”的逆命题是( )

A ．若a ≠－b ，则|a|≠|b|

B ．若a ＝－b ，则|a|≠|b|

C ．若|a|≠|b|，则a ≠－b

D ．若|a|＝|b|，则a ＝－b

解析：只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a ＝－b ”．

答案：D

4．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )

A ．0

B ．2

C ．3

D ．4

解析：原命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”为假命题，逆命题“若ac 2>bc 2，则a >b (a ，b ，c ∈R)”为真命题，否命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2，(a ，b ，c ∈R)”为真命题，逆否命题“若ac 2≤bc 2，则a ≤b (a ，b ，c ∈R)”为假命题．

答案：B

5．已知命题“若m －1

解析：由已知得，若1

m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2]

6．给定下列命题：

①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；

②若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6；

③“矩形的对角线相等”的逆命题；

④“若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题．

其中真命题的序号是________．

解析：①∵Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0，

∴①是真命题．

②其逆否命题为真，故②是真命题．

③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．

④否命题：“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”是真命题．

答案：①②④

7．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假．

解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0.真命题；

否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1.真命题；

逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0.真命题．

8．已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，则a <2，判断其逆否命题的真假．

解：法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ≥2，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集．判断真假如下：

抛物线：y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，

判别式：Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.

∵a ≥2，∴4a －7>0.

即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴有交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．

法二：先判断原命题的真假．

因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0，

∴a <74

，∴a <2，∴原命题为真命题．

因为原命题和逆否命题等价，故逆否命题为真命题．