等差数列等比数列的综合应用

时间：45分钟满分：100分

课堂训练

1．等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝

a 7，则

b 6·b 8的值为( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

【答案】 D

【解析】 ∵a 3＋a 11＝2a 7，

∴a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝a 2

7＝16，故选D.

2．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3

＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )

B ．－13

D ．－19

【答案】 C

【解析】 ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1，

由a 3＝9a 1＝a 1·q 2

，∴q 2

＝9，故a 1＝19

3．(2013·新课标Ⅰ理)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋1

3，则

数列{a n }的通项公式是a n ＝________.

【答案】 (－2)n －1 【解析】 ∵S n ＝23a n ＋1

，

∴当n ＝1时，S 1＝23a 1＋1

＝a 1，∴a 1＝1，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －2

3a n －1，

∴

a n

a n －1

＝－2，∴a n ＝1×(－2)n －1＝(－2)n －1. 4．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3

成等比数列．

(1)求d ，a n ；

(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.

【分析】 (1)由a 1＝10结合等比数列的性质可求得d 的值，进

而求出a n ；(2)首先确定出?

a n ≥0，

a n ＋1≤0，的n 值，然后分类讨论．

【解析】 (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10，即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.

所以a n ＝－n ＋11，n ∈N ＋或a n ＝4n ＋6，n ∈N ＋.

(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则

当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋21

2n .

当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11 ＝12n 2－21

n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |

＝?????

－12n 2＋21

n ， n ≤11，12n 2

－21

2n ＋110， n ≥12.

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )

A ．200

B ．－200

C ．400

D ．－400

【答案】 B

【解析】 S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200.

2．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则

a 5＝( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【答案】 A

【解析】利用等比数列的性质和通项公式求解． ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.

又∵a n >0，∴a 7＝4，a 5＝a 7·q －2＝4×2－2＝1.故选A.

3．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋

a 8＝( )

A ．135

B ．100

C ．95

D ．80

【答案】 A

【解析】由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝3

∴a 7＋a 8＝40×(32

＝135.

4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3

＝S 6，则数列????

1a n 的前5项和为( )

或5 或5

【答案】 C

【解析】由题知q 3

＝S 6－S 3

S 3＝8，则q ＝2，由数列????

??1a n 是公比为

2，首项为1的等比数列，其前5项和T 5＝1×1－1

1－12

＝3116

，故选C. 5．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2 700，则a 1等于( )

A ．－1 221

B ．－

C ．－

D ．－20

【答案】 C

【解析】设{a n }公差为d ，则a 51＋a 52＋…＋a 100＝2 700＝200＋50×50d ，∴d ＝1.把d ＝1代入a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，可得a 1＝－.

6．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝

(21n －n 2－5)(n ＝

1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是( )

A ．5月、6月

B ．6月、7月

C ．7月、8月

D ．8月、9月

【答案】 C

【解析】设第n 个月份的需求量超过万件．则S n －S n －1＝n

90(21n

－n 2

－5)－

n －1

[21(n －1)－(n －1)2－5]＞，

解不等式，得n 2－15n ＋54＜0，即6＜n ＜9.∴应选C.

7．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为5

，则S 5＝( )

A ．35

B ．33

C ．31

D ．29

【答案】 C

【解析】由a 2·a 3＝2a 1知a 21q 3

＝2a 1，又a 1≠0.∴a 1q 3＝2，由

a 4和2a 7的等差中项为54得，5

＝a 4＋2a 7，

即52＝a 1q 3＋2a 1q 6＝2＋4q 3，∴q 3

＝18，q ＝12； ∴a 1＝16，S 5＝16?1－1

1－

＝31.

8．数列1×12，2×14，3×18，4×1

16，…的前n 项和为( )

A ．2－n

2n ＋1－1

B ．2－12n －1－n

(n 2

＋n ＋2)－12

(n ＋1)n ＋1－12

n ＋1

【答案】 B

【解析】 S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×1

n ，①

∴12S n ＝1×122＋2×18＋…＋(n －2)12n －1＋(n －1)·12n ＋n ×1

2n ＋1，② ①－②，得：12S n ＝1×12＋1×14＋1×18＋…＋12n －n ×12n ＋1.

12S n ＝12??????

1－? ????12n 1－12－n 2n ＋1.∴S n ＝2－12n －1－n 2

n . 二、填空题(每小题10分，共20分)

9．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则

a 1＋a 2

b 2

＝________. 【答案】 5

【解析】由题意知，a 1＋a 2＝1＋4＝5，

b 22＝b 1·b 3＝1×4，

∴b 2＝2或－2.

又∵b 21＝1×b 2，∴b 2>0，故b 2＝2.

∴a 1＋a 2b 2＝52

10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.

【答案】 11

【解析】利用“特殊值”法，确定公式．

由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由

q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a1?1－q5?

1－q

＝

1－?－2?5

＝11.

三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

11．等差数列{a n}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}的前20项和S20.

【解析】设数列{a n}的公差为d，则

a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，

a10＝a4＋6d＝10＋6d.

因为a3，a6，a10成等比数列，所以a3a10＝a26，

即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，

解得d＝0，或d＝1.

当d＝0时，S20＝20a4＝200；

当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，

于是S20＝20a1＋20×19

d＝20×7＋190＝330.

12．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2，…)，λ是常数．

(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(2)是否存在实数λ，使数列{a n}为等差数列？若存在，求出λ及数列{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

【分析】(1)把a1，a2及n代入已知等式，即可求出λ，从而a3也很容易求出．(2)假设存在实数λ，使数列{a n} 为等差数列，利用等差数列的定义求解．

【解析】(1)因为a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2，…)，且a1＝1，

所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，所以λ＝3，

所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.

(2)不存在实数λ使数列{a n}为等差数列．

理由如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，

得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)．

若存在实数λ，使数列{a n}为等差数列．

则a3－a2＝a2－a1，

即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.

所以a2－a1＝1－λ＝－2，

a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，

这与{a n}为等差数列矛盾．

所以不存在λ使数列{a n}为等差数列．

【规律方法】根据等差数列的定义可知，一个数列是不是等差数列，要看任意相邻两项的差是不是同一个常数，要判断一个数列是否为等差数列，需证明a n＋1－a n＝d(d为常数)．

等差数列应用题.题库

等差数列应用题例题精讲【例 1】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【例 2】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？【例 3】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【难度】2星【题型】解答【例 4】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?

等差数列基础习题精选附详细答案

等差数列基础习题精选一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（） A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．

等差等比数列综合习题

等差、等比数列综合习题一、选择题 1、数列16 14,813,412 ,211…前n 项的和为（） A 、2212n n n ++ B 、12122+-+n n n C 、n n n 2122-+ D 、12 12)1(+--n n n 2、三个不同实数c b a ,,成等差数列，b c a ,,又成等比数列，则=b a （） A 、47 B 、4 C 、-4 D 、2 3、在等差数列}{n a 中，已知30201561=+++a a a a ，则数列的前20项和S 20=（） A 、100 B 、120 C 、140 D 、150 4、已知数列}{n a 的601-=a ，31-=-n n a a ，那么++||||21a a …||30a +=（） A 、-495 B 、765 C 、1080 D 、3105 5、某企业的生产总值月平均增长率为p%，则年平均增长率为（） A 、12p% B 、12%)1(p + C 、1%)1(11 -+p D 、1%)1(12-+p 6、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与44 1S 的等差中项为1，求通项n a 。 7、设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1，公比为 31的等比数列。（1）求n a （2）求++21a a …n a + 8、在等比数列}{n a 中，已知27 21154321= ++++a a a a a ，482111111154321=++++a a a a a ，求3a 。

14等差与等比数列综合

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合填空题 1 ．数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列, 则{}n a 的通项公式是______. 【答案】2 2n a n n =-+ 2 ．已知数列{}n a 满足143a =,()* 11226n n a n N a +-=∈+,则11n i i a =∑=______. 【答案】232 4 n n ?-- 3 ．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 ．设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】14 5 ．已知数列 }{n a 满足1 22n n a qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，则1a = ．【答案】2-或 126 6 ．观察下列等式: 31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1 4×2 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N * , 31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×1 2 n =______. 【答案】()n n 211 1?+- 7 ．已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在 n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】1951 8 ．若数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =?? ?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上

等差数列等比数列的综合应用

课时作业12 等差、等比数列的综合问题时间：45分钟满分：100分课堂训练 1．等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】 D 【解析】 ∵a 3＋a 11＝2a 7， ∴a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝a 2 7＝16，故选D. 2．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2 ＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) B ．－1 3 D ．－19 【答案】 C 【解析】 ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1，由a 3＝9a 1＝a 1·q 2 ，∴q 2 ＝9，故a 1＝19. 3．(2013·新课标Ⅰ理)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋1 3，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________. 【答案】 (－2)n －1

【解析】 ∵S n ＝23a n ＋1 3， ∴当n ＝1时，S 1＝23a 1＋1 3＝a 1，∴a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －2 3a n －1， ∴a n a n －1 ＝－2，∴a n ＝1×(－2)n －1＝(－2)n －1. 4．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3 成等比数列． (1)求d ，a n ； (2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 【分析】 (1)由a 1＝10结合等比数列的性质可求得d 的值，进而求出a n ；(2)首先确定出? ???? a n ≥0， a n ＋1≤0，的n 值，然后分类讨论．【解析】 (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10，即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4. 所以a n ＝－n ＋11，n ∈N ＋或a n ＝4n ＋6，n ∈N ＋. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋21 2n . 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11 ＝12n 2－21 2n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |

等差数列与等比数列综合问题(3)

等差数列与等比数列综合问题（3）教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题． 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式． 2.等差数列与等比数列的综合应用.例1已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.例2 已知数列{an}的前n 项和，求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列｛an｝和等比数例｛bn｝中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn+b成立．若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．例4已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，数列｛akn｝是公比为q的等比数列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值．例5、已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an>0，= an+1 (n n)求sn和an的表达式。例7.已1 ————来源网络整理，仅供供参考

知数列{an}的通项公式为an= .求证：对于任意的正整数n，均有a2n ─1,a2n,a2n+1成等比数列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项及项数。作业1 公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是（）．（a）1 （b）2 （c）3 （d）4 2 若等差数列｛an｝的首项为a1＝1，等比数列｛bn｝，把这两个数列对应项相加所得的新数列｛an+bn｝的前三项为3，12，33，则｛an｝的公差为｛bn｝的公比之和为（）．（a）－5 （b）7 （c）9 （d）14 3 已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是． 4 在等差数列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25＝114，求成等比数列的这三个数．5 设数列｛an｝是首项为1的等差数列，数列｛bn｝是首项为1的等比数列，又cn ＝an－bn（n∈n+），已知试求数列｛cn｝的通项公式与前n项和公式． ————来源网络整理，仅供供参考 2

数列综合应用(放缩法)教案资料

数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解 1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21

③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++

等差数列与等比数列的综合运用

等差数列与等比数列的综合运用班别：坐号：姓名： 1．在直角三形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于。 2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，则这三个数分别是。 3．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则这四个数分别是。 4．已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数），则{}n a （） A,一定是等差数列 B,或者是等差数列，或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列，也不是等比数列 5． a ,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程20ax bx c ++= （） A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ，以上均有可能 6．已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且存在数列{}n b ，使得121 1 1 44 4 (1) n n a a a a n b ---=+ ，则数列{}n b 的前n 项和n S = 。 7．如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则 ()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠） 8．如果等差数列{}n a 的项数是奇数，11a =，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150，则这个等差数列的公差为。 9．在数列{}n a 中，11a =，13(1),n n a S n +=≥证明：23,,,n a a a 是等比数列。 10 求和：（1）21 123n n S x x nx -=++++ （2）23123n n S x x x nx =+++++

等差等比数列综合题

高二数学必修五数列单元综合练习题一、选择题: 1.在等差数列｛a n ｝中，若4612a a +=，n S 是数列｛a n ｝的前n 项和，9S 则的值为（A ）48 (B)54 (C)60 (D)66 2．在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 3．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（）Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48 ４．在等差数列{}n a 中，若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =( ) ５．在等比数列{}n a 中，如果69a =6,a =9,那么3a 为（） (A )4 (B)23 (C)9 16 (D)2 ６.数列{}n a 中，123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+，则2004a =（） B.－3 C.－6 ７．数列n {a }中，对任意自然数n ，n 12n a +a ++a =21???-，则22212n a +a ++a ???等于（） A.()2n 2-1 B. ()2n 12-13 C.n 4-1 D. ()n 14-13 ８．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 35 ９．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n =5n +k ，则常数k= ( ) A ． 1 B ．1 C ．0 D ．以上都不对１０．数列的前n 项和为 ( ) A ． B ． C ． D ．１１．对于数列{a n }，满足，则该数列前100项中的最大项和最小项分别是 ( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44 C ．a 45，a 44 D ．a 45，a 50 １２．已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数列共有（） A 、8项 B 、7项 C 、6项 D 、5项二、填空题： }232{3--n n 22124---n n 22724--+n n 22236-+-n n 32128-+-n n 20052004--=n n a n

等差数列综合应用

第六课时等差数列综合应用【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究S n 的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和．【重点难点】重点：等差数列前n 项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和．难点：灵活运用求和公式解决问题．【教学过程】一、要点梳理 1．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 变形公式：d m n a a m n )(-+=；m n a a d m n --=； 2．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A B 、是常数，当0d ≠时，n S 是二次项系数为d 2 ，图象过原点的二次函数．） 3．等差数列的性质（1）等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列；（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=；（4）等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差．．数列；（5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和. 若当项数为偶数n 2时， ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇，11 n n n n S na a S na a ++==奇偶若当项数为奇数12+n 时， 21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=?? -==???? n+1n+1 奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）；（6）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则()2121 =21n n n n a A f n b B --=-；（7）若m S n =()n S m m p =≠，则m n S += ；

等差等比数列的运用公式大全

第六讲：等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； a d a a d -+，， n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>，，由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶奇. 12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为（）（A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ）不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列（B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ） z y x 1,1,1成等差数列（D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为（）（A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（）

等差等比数列综合应用教案

教育个性化教育教案教师姓名学科数学上课时间 2011/1/29 学生姓名年级时间段课题名称等差数列和等比数列教学目标等差数列和等比数列教学重难点等差数列和等比数列一、知识回顾 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法. (2)通项公式法.(3)中项公式法. 3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足???≤≥+00 1m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当 1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。二、基本训练 1．等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为。 2．各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ?=，则3132310log log log a a a ++ += 。 3．若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有项。 4．在等差数列中，S 11＝22，则a 6＝__________________. 5．等比数列{}n a 中，①若a 1 +a 4＝9，a 2 ·a 3=8，则前六项和S 6=___________；②若a 5+ a 6 ＝a ，a 15+ a 16 ＝b ，则a 25+ a 26＝__________________. 6．数列{}n a 是等比数列，下列四个命题：①2 {}n a 、2{}n a 是等比数列；②{ln }n a 是等差数列；③1{}n a 、{||}n a 是等比数列；④{}n ka 、{}n a k +(0)k ≠是等比数列。正确的命题是。三、例题分析例1、设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，m n ≠， 1）若,m n a n a m ==，求m n a +和m n S +；2）若,m n S n S m ==，求m n S +；3）若71 427 n n S n T n +=+，求n n a b 。

2.3.2等差数列的综合应用

2.3.2 等差数列的综合应用一、选择题 1．数列－1( ) A C 2．已知数列{a n }的前n 项和n s 满足：n m n m s s s +=+，且1a =1．那么10a =（） A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 3．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是（） A ．42 B ．45 C ．48 D ．51 4．数列{n a }中，()n a n n 1-=，则=++1021a a a （）. A ． 10 B ．﹣10 C ．5 D ．﹣5 5．数列{a n }（*N n ∈），若前n 项的和10=n S ，则项数n 为（） A ．10 B ．11 C ．120 D ．121 6．在数列a 1，a 2，…，a n ，…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第69项 ( ) (A) 是原数列的第18项 (B) 是原数列的第13项 (C) 是原数列的第19项 (D) 不是原数列中的项 7．将棱长相等的正方体按如右图所示的形状摆放, 从上往下依次为第1层, 第2层, 第3层……. 则第2005层正方体的个数是 (A) 4011 (B) 4009 (C) 2011015 (D) 2009010 8．已知数列{}n a 满足12n n a a n +-=()n N +∈，13a =，则（A ）0 （B （C （D ）3 二、填空题 9．设f （n ）＝1n ∈N *），则f （k ＋1）－f （k ）＝________． 10．数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，对于任意自然数(1)n n ≥都是递增数列，则实数λ的取值范围为． 11．已知数列{}n a 的前n 项和是21n S n n =++,则数列的通项n a = 。

(完整word版)等差等比数列综合练习题

等差数列等比数列综合练习题一．选择题 1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是（） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比2 1 =q ，那么它的前5项的和5S 的值是（） A ． 231 B ．233 C ．235 D ．2 37 3. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7 C.6 D.5 4. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（） A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 5. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是（） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项 6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则 d c b a ++22等于（） A ．1 B ．21 C ．4 1 D ．81 7.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a ?=+=则 20 10 a a =( ) A.2 3 B.32 C.23或 32 D.23-或 32 - 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .20 9.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且

7768,b a b b ==则( ) A.2 B. 4 C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10 D. 9 11.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( ) A. d<0 B. 110s > C.120s < D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则 1 4 a a 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题 13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=?a a ，则5a =__________ 15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=L ,则 ()101102200lg x x x +++=L ________ 17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________

等差数列的应用

五年级奥数试题（1）等差数列的应用姓名 1，下图中有多少三角形。分析：从图上看，独立的三角形有A、B、C、D四个；两两组合的有3个，即AB、BC、CD；三个三个组阁的有ABC、BCD两个；四个组合的有一个即ABCD。那么一共就有4＋3＋2＋1＝10（个） A B C D 解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：共有10个三角形。 2，在一个平面上，两条直线相交，只有一个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交最多有6个交点；那么20条直线在一个平面上相交最多有多少个交点？ 2条 1个交点 3条 3个交点 4条 6个交点 5条 10个交点

1 1＋（3－1） 1＋2＋（4－1） 1＋2＋3＋（5－1）…… 这一组数是一组等差“1”的数列，计算时可以应用求等差数列和的公式进行计算。解： 1＋2＋3＋……＋（20－1）答：20条直线在一个平面上相交最多有190个交点。 3，下图中共有多少个长方形。分析：按例1的分析方法，用阴影表示沿长和宽，沿长边有4＋3＋2＋1＝10（个）长方形，宽边有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）长方形，那么这个图里共有 15×10＝150（个）长方形。解：（4＋3＋2＋1）×（5＋4＋3＋2＋1）＝150（个）答：这个图中一共有150个长方形。 4，若干名小学生进行体操训练，排成一个中空方阵，最外层每边12人，共4层，求组成这个方阵的小学生一共有多少人？分析：方阵问题中每层人数是一个等差为8的数列，也就是外面一层人数比紧邻内层的人数多8。根据题意，求出最外层人数为（12－1）×4＝44（人），再根据首项＝末项－（项数－1）×公差得最里面层共有：44－（4－1）×8＝20（人），继而求出四层总人数为（44＋20）×4÷2＝128(人) 解：最外层：（12－1）×4＝44（人）最里层：44－（4－1）×8＝20（人）

等差数列综合练习题

一、等差数列选择题 1．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（） A ．21S B ．20S C ．19S D ．18S 2．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为（） A ． 89 B ． 910 C ．1011 D ．11 12 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 7．已知数列{}n a 中，132a = ，且满足()* 1112,22 n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有 n a n λ ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 8．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（） A ．7 B ．10 C ．13 D ．16 9．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333 122n n n a a a ++=+，则10a 等于（） A ．10 B C ．64 D ．4 12．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（）

等差数列和等比数列的综合应用

1 等差数列和等比数列的综合应用 1．等差数列的常用性质： ⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有． ⑵ {a n }是等差数列，则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是数列． ⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成数列． 2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值． ⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ?? ?<≥+00 1n n a a 可解得S n 达到最值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ?? ? ??可解得S n 达到最小值时n 的值． 3．等比数列的常用性质： ⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有． ⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{ n a 1 }是数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成数列． 4．求数列的前n 项和，一般有下列几种方法：（1）．等差数列的前n 项和公式： S n ＝＝．（2）．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝． ② 当q≠1时，S n ＝．（3）．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．（4）．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．例1. 数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3 1S n ，n ＝1，2，3…… 求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式； ⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.

等差等比数列综合应用

等差等比数列综合应用一、选择题１、在等比数列{}n a 中，n S 为其前ｎ项和，若103013S S =，1403010=+S S ，则20S 的值是（） A50 B40 C30 D 1310 2、数列{}n a 且公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 且等比数列，{}n b 的相邻三项，若52=b ，则n b 等于（） A 1 355-? ? ? ???n B 1 535-? ? ? ???n C 1 533-? ? ? ???n D 1 353-? ? ? ???n 3、已知数列{}n a 的前n 项和142 +-=n n S n ，则数列{}n a 的前10项的和为（） A56 B61 C65 D67 4、数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且76b a =，则有（） A 10493b b a a +≤+ B 10493b b a a +≥+ C 10493b b a a +≠+ D 93a a +与104b b +的大小不确定 5、数列{}n a 中，n a 互不相等且0≠n a ，321,,a a a 成等差数列，432,,a a a 成等比数列， 543,,a a a 的倒数成等差数列，则531,,a a a （） A 成等差数列 B 倒数成等差数列 C 成等比数列 D 倒数成等比数列 6、{}n a 是正数等差数列，{}n b 是正数等比数列，且121211,++==n n b a b a ，则（） A 11++=n n b a B 11++>n n b a C 11++