斜面上平抛运动问题

斜面上的平抛运动问题

一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有垂直(远离)斜面和

平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿垂直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。

平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示意图，抓住这两个角之间的联系，即tan α＝2tan β，如果物体落到斜面上，则位移偏向角β和斜面倾角θ相等，此时由斜面的几何关系即可顺利解题。

推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tan θ＝2tan φ。

证明：如右图所示，由平抛运动规律得

tan θ＝v y v x ＝gt v 0

，

tan φ＝y 0x 0＝12·gt 2v 0t ＝gt 2v 0，

所以tan θ＝2tan φ。

推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

证明：如右图所示，tan φ＝y 0

x 0

tan θ＝2tan φ＝y 0

x 0/2

即末状态速度方向的反向延长线与x 轴的交点B 必为此时水平位移的中点。 注意：

(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。

(2)它们与水平方向的夹角关系为tan θ＝2tan φ，但不能误认为θ＝2φ。

【典例精析】：如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上， 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )

A ．tan φ＝sin θ

B ．tan φ＝cos θ

C ．tan φ＝tan θ

D ．tan φ＝2tan θ

[解析]竖直速度与水平速度之比为：tan φ＝gt

v 0

，竖直位移与水平位移

之比为：tan θ＝gt 2

2v 0t

，故tan φ＝2tan θ， D 正确。(注意：只要落点在斜面上，该结论与初速度大小无关)

关于物体在斜面上运动，若选取鞋面为参照物时，我们可以更具所需将速度沿加速度方向和垂直于加速度方向分解、将加速度沿速度方向和垂直于速度方向分解或者两者同时进行分解从而进行有效阶梯

【典例精析】：如右图所示，足够长斜面OA 的倾角为θ，固定在水平地面上，现从顶点O 以速度v 0平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g ，求小球在飞行过程中经过多长时间离斜面最远？最远距离是多少？

解法一：常规分解方法(不分解加速度)

当小球的速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大。 tan α＝v y v x ＝ gt v 0

此过程中小球的水平位移x ＝v 0t 小球的竖直位移 y ＝ 12

gt 2

最大距离s ＝(x －y cot α)sin α＝v 20sin 2θ

2g cos θ

.

解法二：将速度和加速度分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进行分解，如右图所示。

速度v 0沿垂直斜面方向上的分量为v 1＝v 0sin θ，加速度g 在垂直于斜面方向上的分量为g 1＝g cos θ

根据分运动的独立性原理，小球离斜面的最大距离仅由v 1和g 1决定，当垂直于斜面的分速度减小为零时，小球离斜面和距离最远。

由v 1＝g 1t ，解得t ＝v 0

g

tan θ

由s ＝v 21

2g 1，解得s ＝v 20sin 2θ2g cos θ

.

【注意】：速度与斜面平行的时刻有如下特征： (1)竖直速度与水平速度之比等于斜面倾角的正切；（速度分解图可以证明得到） 0v tan v α=⊥

(2)该时刻是全运动过程的中间时刻； 全程时间g v tan 2t 0α=

此时时间0v tan v α=⊥ g

v tan t 0

α=

(3)该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为1∶3；与全程竖直位移之比为1:4

全程竖直方向位移22

1s gt ==20)tan 2.(g 21g v α=g 22

2v n ta α

此时数值方向位移gs 2v 2

=⊥ g

2v n ta s 2

02α=

(4)该时刻之前与该时刻之后斜面方向上的位移之比不是1∶3。（三角形的相似或者直接推到）

还有一类问题是平抛后垂直撞击斜面，在撞击斜面的时刻，速度方向与水平方向的夹角与斜面的倾角互余；

另一情况是平抛过程的位移与斜面垂直。

【典例精析】：如图甲所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是

A.s 3

3

B.3

32s

C.s 3

D.s 2

[解析]：先将物体的末速度t v 分解为水平分速度x v 和竖直分速度

y v (如图乙所示)。根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是

始终不变的，所以0v v x =；又因为t v 与斜面垂直、y v 与水平面垂直，

所以t v 与y v 间的夹角等于斜面的倾角θ。再根据平抛运动的分解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据y v gt =就可以求出时间t 了。则

由图得 y

x v v =

θtan 所以s m s m v v v x y /38.9/3

18

.930tan tan 0==︒==

θ gt v y =

所以s g

v t y 38

.93

8.9==

=

答案为C 。 【典例精析】：若质点以v 0正对倾角为θ的斜面水平抛出,如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞行时间为多少?

[解析]： (1)连接抛出点O 到斜面上的某点O 1 ，其间距OO 1为位移大小。当OO 1垂直于斜面时位移最小。

(2)分解位移：利用位移的几何关系可得

θ

θtg 2,2

1020g v t gt t v y x

tg ===

【小结】：研究平抛运动的基本思路是：

(1)突出落点问题一般要建立水平位移和竖直位移之间的关系。

(2)突出末速度的大小和方向问题的，一般要建立水平速度和竖直速度之间的关系。 (3)要注意挖掘和利用好合运动、分运动及题设情景之间的几何关系。

平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示

）θ

v 0

θ

y

x