1 第1讲 集合及其运算
知识点
最新考纲
集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．
了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.
命题及其关系、充分条件与必要条件
了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．
理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R
表示
关系
文字语言符号语言记法
基本关
子集
集合A的所有元素都
是集合B的元素
x∈A?
x∈B
A?B或
B?A 真子集集合A是集合B的子A?B，且存在x0∈B，A B
系集，且集合B中至少
有一个元素不属于A
x0?A 或B A 相等
集合A，B的元素完
全相同
A?B，
B?A
A＝B 空集
不含任何元素的集
合．空集是任何集合
A的子集
任意x，x??，??A ?
3.集合的基本运算
集合的并集集合的交集集合的补集图形
语言
符号
语言
A∪B＝
{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝
{x|x∈A，且x∈B}
?U A＝
{x|x∈U，且x?A}
(1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
(2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
(3)补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?．
(4)?U(?U A)＝A；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)；
?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()
(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()
(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．()
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×
[教材衍化]
1．(必修1P12A组T3改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则() A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P
解析：选D.因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a ?P .故选D.
2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则?U (A ∪B )＝________．
答案：{x |x 是直角}
3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．
解析：集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2
＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于
两点??
??22
，
22，????－22，－2
2，则A ∩B 中有两个元素． 答案：2 [易错纠偏]
(1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．
1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ?A ，则m ＝________．
解析：因为B ?A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.
答案：0或3
2．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ?M ，所以N ＝?或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝1
2
. 答案：0或1
2
3．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(?R A )∪B ＝________．
解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，
(?R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．
答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
集合的含义
(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数
是( )
A ．1
B ．3
C ．6
D ．9
(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92
B ．98
C ．0
D ．0或9
8
(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝?
??
?
??0，b a ，b ，则b －a ＝________．
【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2. 故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}， 即集合B 中有6个元素． (2)当a ＝0时，显然成立； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0， 即a ＝98
.
(3)因为{1，a ＋b ，a }＝?
??
?
??0，b a ，b ，a ≠0，
所以a ＋b ＝0，则b
a ＝－1，
所以a ＝－1，b ＝1. 所以b －a ＝2.
【答案】 (1)C (2)D (3)2
与集合中的元素有关问题的求解步骤
1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为() A．1或－1 B．1或3
C．－1或3 D．1，－1或3
解析：选B.因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.
2．已知集合A＝{x|x∈Z，且
3
2－x
∈Z}，则集合A 中的元素个数为________．
解析：因为3
2－x
∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
答案：4
集合的基本关系
(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A?B，A?C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以为()
A．{1，8}B．{2，3} C．{0}D．{9}
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________．
【解析】(1)因为A?B，A?C，所以A?{B∩C}＝{1，8}，故选A.
(2)因为B?A，
所以①若B＝?，则2m－1 ②若B≠?，则 ?? ? ??2m－1≥m＋1， m＋1≥－2， 2m－1≤5. 解得2≤m≤3. 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.【答案】(1)A(2)(－∞，3] 1．(变条件)在本例(2)中，若A?B，如何求解？ 解：若A ?B ，则?????m ＋1≤－2， 2m －1≥5， 即???m ≤－3， m ≥3. 所以m 的取值范围为?. 2．(变条件)若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？ 解：因为B ?A ， 所以①当B ＝?时，即2m －1 ②当B ≠?时，?????m ＋1≤2m －1， m ＋1>5 或? ????m ＋1≤2m －1， 2m －1<－2， 解得???m ≥2，m >4或?????m ≥2，m <－12. 即m >4. 综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． 1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( ) A ．P ?Q B ．Q ?P C ．?R P ?Q D ．Q ??R P 解析：选C.因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以?R P＝{y|y>1}，所以?R P?Q，选C. 2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B?A，则x＝________． 解析：由B?A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2；当x2＝2x时，x＝0或x＝2.但当x＝2时，2x＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x＝－2或x＝0. 答案：－2或0 3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}， 所以满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}． 答案：4 集合的基本运算(高频考点) 集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有： (1)求集合间的交、并、补运算； (2)已知集合的运算结果求参数． 角度一求集合间的交、并、补运算 (1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则?U A＝() A．?B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} (2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1， ?U A∩B＝() 0，1}，则() A．{－1}B．{0，1} C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3} (3)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1 【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}， 所以?U A＝{2，4，5}．故选C. (2)由题意可得?U A＝{－1，3}，则(?U A)∩B＝{－1}．故选A. (3)因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1 B＝{x|1 所以A∪B＝{x|－1 又因为A∩B＝{x|1 所以?U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}． 【答案】(1)C(2)A(3)(－1，3)(－∞，1]∪[2，＋∞) 角度二已知集合的运算结果求参数 (1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝() A．{1，－3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} (2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x A．－1B．0 C．1 D．2 【解析】(1)因为A∩B＝{1}， 所以1∈B， 所以1－4＋m＝0， 所以m＝3. 由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3. 所以B＝{1，3}． 经检验符合题意．故选C. (2)因为A∪B＝R， 所以m>1. 故m的值可以是2，故选D. 【答案】(1)C(2)D (1)集合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解． ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． [提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． 1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(?R Q)＝() A．[2，3] B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}， ?R Q＝{x|－2＜x＜2}， 故得P∪(?R Q)＝{x|－2＜x≤3}．故选B. 2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若?S A＝{2，3}，则m＝________．解析：因为S＝{1，2，3，4}，?S A＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x ＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4. 答案：4 核心素养系列1数学抽象——集合的新定义问题 以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象． 对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中xi1＝xi2＝...＝xi k＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0 (1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________； (2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q 的元素个数为________． 【解析】(1)由已知可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…， 0，故其前3项和为2. (2)由已知可得子集P 为{a 1，a 3，…，a 99}，子集Q 为{a 1，a 4，a 7，…，a 100}，则两个子集的公共元素为a 1到a 100以内项数被6除余1的数对应的项，即a 1，a 7，…，a 97，共17项． 【答案】 (1)2 (2)17 解决集合新定义问题的方法 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －1 3 ≤x ≤n }，且M ，N 都是集合 U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 解析：在数轴上表示出集合M 与N (图略)， 可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋3 4＝1时，M ∩N 的“长度”最小． 当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝{x |23≤x ≤3 4}， 长度为34－23＝1 12 ； 当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝{x |14≤x ≤13}， 长度为13－14＝112 . 综上，M ∩N 的长度的最小值为1 12. 答案：1 12 [基础题组练] 1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2. 2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x ≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1] C ．[1，e] D ．(0，e] 解析：选A.因为A ＝{}x |e x ≤1＝{}x |x ≤0， B ＝{}x |ln x ≤0＝{} x |0＜x ≤1， 所以A ∪B ＝(－∞，1]，故选A. 3．(2020·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(?U B )＝{1，3，5}，则B ＝( ) A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{0，2，4，6} D ．{x ∈Z |0≤x ≤6} 解析：选C.因为全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A ∩(?U B )＝{1，3，5}，所以B ＝{0，2，4，6}，故选C. 4．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6} D ．{x ∈R |－1≤x ≤5} 解析：选B.因为A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，所以A ∪B ＝{1，2，4，6}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．故选B. 5．(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{x |2 B ．{x |－1 C ．{x |0≤x <6} D ．{x |x <－1} 解析：选C.由x 2－5x －6<0， 解得－1 又图中阴影部分表示的集合为(?R B )∩A ， 因为?R B ＝{x |x ≥0}， 所以(?R B )∩A ＝{x |0≤x <6}，故选C. 6．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(0，1)∪(1，3) C ．(0，1) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：选B.因为A ∩B 有4个子集， 所以A ∩B 中有2个不同的元素， 所以a ∈A ，所以a 2－3a <0， 解得0 即实数a 的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B. 7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(?U A )∩B ＝( ) A ．{1，2，3} B ．{4，5，6} C ．{6，7，8} D ．{4，5，6，7，8} 解析：选B.因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以?U A ＝{4，5，6，7，8}， 所以(?U A )∩B ＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B. 8．设集合A ＝? ??? ?? 5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( ) A ．{－1，2，3，5} B ．{－1，2，3} C ．{5，－1，2} D ．{2，3，5} 解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得?????b a ＝2，a －b ＝－1或?????b a ＝－1，a －b ＝2.当?????b a ＝2，a －b ＝－1时，??? ??a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当?????b a ＝－1，a －b ＝2时，?????a ＝1， b ＝－1，此时不符 合题意，舍去． 9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( ) A．147 B．140 C．130 D．117 解析：选B.由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5有相同的元素，当y＝3，x＝5，15，25，…，95时，与y＝5，x＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B. 10．(2020·温州质检)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若?U B?A，则实数a的取值范围是() A．(－∞，1) B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：选D.因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1. 所以A＝{x|x>2或x<1}，因为B＝{x|x≤a}， 所以?U B＝{x|x>a}． 因为?U B?A，借助数轴可知a≥2，故选D. 11．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．解析：根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4. 答案：4 12．(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x －2)<1}，则A∪B＝________；A∩(?U B)＝________． 解析：log2(x－2)<1?0 答案：[－1，4)[－1，2] 13．设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则B＝________，A∩(?R B)＝________． 解析：当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n ＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，?R B ＝{x|－2≤x≤4}，A∩(?R B)＝{－1，2}． 答案：{x|x<－2或x>4}{－1，2} 14．(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；?R(M∩N)＝________． 解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N ＝(3，＋∞)，所以?R (M ∩N )＝(－∞，3]． 答案：(3，＋∞) (－∞，3] 15．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3 解析：由x 2－4x <0得0 答案：3 4 16．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，?U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(?U B )＝{2，4}，则B ＝________． 解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 由?U (A ∪B )＝{1，3}， 得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}， 由A ∩(?U B )＝{2，4}知，{2，4}?A ，{2，4}??U B . 所以B ＝{5，6，7，8，9}． 答案：{5，6，7，8，9} 17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a 解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ?A . ①当C ＝?时，满足C ?A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠?时，要使C ?A ，则???? ?－a 解得－3 2