高等数学各章总结(参考答案)
第一章 函数
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. 设arcsin y u =,u =可以复合成一个函数2arcsin 2+=x y ；（错）
2. 函数1
lg lg y x =的定义域是1x >且10x ≠；（对）
3. 函数2
x y e -=在(0,)+∞内无界；（错）
4. 函数21
1y x =+在(0,)+∞内无界；（错）
5. 2
1()cos x f x x
-=是奇函数；（错）
6. ()f x x =与2()g x =是相同函数 ；（错）
7. 函数x y e =是奇函数；（错）
8. y x =与y =是同一函数；（错）
9. 函数31y x x =++是奇函数；（错）
10. 函数1
arcsin 2x y -=的定义域是(1,3)- ；（错）
11. y x =与 2
x y x
=不是同一个函数；（对）
函数
函数关系
函数的表示
基本初等函数，初等函数
复合函数 分段函数 反函数 函数的性质
单调性
奇偶性
周期性
有界性
经济学常用函数
建立函数关系（应用问题）
集合 实数集(区间)
集合的运算 交、并、差
12. 函数cos y x x =是偶函数 .（对）
填空题
1. 设23,,tan ,u y u v v x ===则复合函数为2
tan ()3x y f x ==；
2. 设x
x f 1)(=
,x x g -=1)(,则)]([x g f = 1
1x - ； 3. 复合函数2
(sin )x y e =是由2,,sin u y e u v v x ===函数复合而成的；
4. 已知11
()1f x x =-,则 (2)f = _2_________ ；
5.
y =,其定义域为 __[4,1)-________ ；
6. 设函数2
()1
x f x x -=-,则(1)f -= _32_________；
7. 考虑奇偶性,函数ln(y x =为 __奇______ 函数 ；
8. 函数2x y e =的反函数是 12
ln y x = ,它的图象与2x
y e =的图象关于_x 轴对称 . 选择题
1. 函数3
2
--=
x x y 的定义域是 ( D ) (A) (2,)+∞ (B)[2,]+∞ (C)(,3)(3,)-∞+∞ (D)[2,3)(3,)+∞
2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( C )
(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( C )
(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+
4. 已知函数 20()1
0ax b
x f x x x +
(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2
第二章 极限与连续
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. 函数在点0x 处有极限，则函数在0x 点极必连续；(错)
2. 0x →时,x 与sin x 是等价无穷小量；（对）
3. 若00(0)(0)f x f x -=+，则)(x f 必在0x 点连续；（错）
4. 当0x →时，2sin x x +与x 相比是高阶无穷小；（错）
5. 函数221y x =+在(,)-∞+∞内是单调的函数；（错）
6. 设)(x f 在点0x 处连续，则00(0)(0)f x f x -=+ ；（对）
7. 函数 2
1sin ,0
()0,
0x x f x x
x ?≠?=??=? 在0x =点连续；（对） 8. 1=x 是函数1
2
2--=x x y 的间断点；（对）
9. ()sin f x x =是一个无穷小量；（错）
10. 当0→x 时，x 与)1ln(2x +是等价的无穷小量；（错） 11. 若 )(lim 0
x f x x → 存在，则)(x f 在0x 处有定义；（错）
极限连续
极限 连续
极限的 定义
极限的性
质
数列极限 连续的定
义
一点处的连续 开区间上连续 闭区间上连续
闭区间连续函数的性质
有界性
最值性
介值性
零点定理
极限的计
算
函数极限 唯一性 有界性 保号性
四则运算
夹逼准则 无穷小性质及等价无穷小代换
两个重要极限
连续函数的计算 连续函数的四则运
算 连续函数的复合
无穷小与无穷大及关系
由连续性求极限
初等函数的连续性
间断点及类型
12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；（错） 13. 22--=x y 是一个复合函数；（错）
14. 2
1
sin lim 0=+→x x x x ；
（对） 15. 11
,0,,0,,0,48
1数列收敛2；（对）
16. 函数 1
sin y x x
= 在 0x = 点连续；（错）
17. 0x =是函数ln(2)
x y x
-=的间断点；（对）
18. 以零为极限的变量是无穷小量；（对）
填空题
1. sin lim
x x
x
→∞= __0____ ；
2. x
x x
x sin lim +∞→ = __1_____ ； 3. 函数 92
2-+=x x y 在 ___3x =±____ 处间断；
4. 1
253lim 22-+∞→n n n n = __3
5_____； 5. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ___高__ 阶的无穷小量；
6. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = _2_____；
7.
0lim x +→= ____1______ ； 8. 设 sin 2,0(),
0x
x f x x a x ?≠?
=??=? 连续，则 a = __2______ ；
9.
0h →=
________ ；
10. 2
lim(1)x x x →∞-=___2e -_____；
11. 0ln(13)
lim sin 3x x x →+=
___1______ ；
12. 设 21,0()0,
0x e x f x x -??
≠=??=? 在 0x = 处____是____（是、否）连续；
13. 当0x →时
2
3是___同阶___（同阶、等价）无穷小量.
选择题
1. 当0x →时，x
y 1
sin = 为 ( C )
(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量 2. 1x +→时，下列变量中为无穷大量的是 ( A )
(A) 113-x (B) 112
--x x (C) x 1
(D) 1
12--x x
3.
已知函数2,()1,f x x ?-?
=-?11001x x x ≤--<<≤<，则1
lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( C )
(A) 都存在 (B) 都不存在
(C) 第一个存在,第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在
4. 函数 ()12
x
f x ??
=??? 11x x ≠= 的连续区间是 ( C ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞+∞ (D) (,)-∞+∞
5. 设 232,0
()2,0x x f x x x +≤?=?->?
，则 0lim ()x f x +→= ( D )
(A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-
7. 函数 1,0
()1,0
x f x x ≥?=?-
(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续
8. 02lim 5arcsin x x
x
→= ( C )
(A) 0 (B) 不存在 (C) 2
5
(D) 1
9. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( A ) (A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10. 下列极限存在的有 ( A )
(A)2
(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim
21x x →- (C) 10lim x
x e →
(D) x 计算与应用题
1. 设)(x f 在点2x =处连续，且232
,2,()2,2x x x f x x a x ?-+≠?
=-??=? ，求 a .
解：要连续，必须222232(1)(2)
lim ()lim
lim 1(2)22
x x x x x x x f x f x x →→→-+--====--，故1a =. 2. 求极限:
(1)22122200cos 1
lim lim 22x x x x x x →→--==- ; (2)2(1)
21
2121212lim(
)lim (1)2121x x x x x x x e x x +--+→∞→∞+??=+=??--?
?;
(3)4
677
1
2137521lim lim 051x x x x x x x x x →∞→∞-+-+==--; (4)4
14
400lim(1)lim (1)44x x x x x x
e ---→→??--=+=???? ; (5)2
23300(1cos )tan 1lim lim 2
x
x x x x x x x →→-==;
(6)11
2212
(1)
111lim()lim 12221n n n →∞→∞-+++==- ; (7)24
2422lim(1)lim (1)n n n n e n n ---→∞→∞?
?-=+=??
-?
?;
(8)(1)
(1)11lim(
)lim (1)11x
x x x x x x e x x -+-+-→∞
→∞-??=+=??++??
;
(9)lim
lim lim 2x x x →-→-→-===-; (10)233
221111312(2)(1)2lim()lim lim lim 1111(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--+-+-====----++++.
3. 求极限:
(1)32
2
002lim lim(2)2x x x x x x →→-=-=- ; (2) 2200212lim lim x x x x x
x x
→→--==∞; (3)3423
20055lim lim 01x x x x x x x x x
→→--==++; (4) 23
3
520113351520111lim lim 2012520122012x x x x x x x x →∞→∞-+-+==--;
(5) 23
3113114352115112112113114lim
lim 020*********x x x x x x x x x →∞→∞-+-+==--; (6) 23
3
211311453115
112112113114lim
lim 20121152012x x x x x x x x x →∞→∞-+-+==∞--; (7)001sin lim sin lim 1x x x x x x →→==; (8) 1
1sin 1lim sin lim 1x x x x x →∞→∞==; (9) 01lim sin 0x x x →=; (10) 11
lim sin 0x x x →∞=.
第三章 导数与微分
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；(错)
2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0
x f x x → 一定存在；(对)
3. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；(错)
4. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；(错)
5. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；(错)
6. 函数 22,1
()ln ,014
x x f x x x ?≥?
=?<
7. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；(对)
8. 2d()2ax b ax += ；(错)
9. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续；(错) 10. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .(错)
填空题
1. ()f x =则(0)f '= __0______ ；
导数微分
导数
微分
导数的定义
左导数 微分的计算
基本微分公式
微分形式不变性 微分在近似计算中的应用
导数的计算极限的计算
右导数
基本公式
导数四则运算 隐函数导数（对数求导，参数方程求
导）
反函数求导 可微的定义
可微、可导及连续的关系 可微的几何意义
复合函数求导
导数的几何意义，切线方程 高阶导数
可导与连续的关
系
2. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程是 _12(1)y x -=-____ ；
3. 设ln e x e y x e x e =+++，则y '= 11e x x ex e -++______ ；
4. sin(1)x y e =+ ,dy =__cos(1)x x e e +_____ ；
5. 设2
22e
x y x +=，则y ' = _(ln 22)2x x x +_______ ；
6. 设e x y n +=，则()n y = ___!n _____ ；
7. 曲线x e x y +=在点 (0,1) 的处的切线方程是__12y x -=_____； 8. 若)(x u 与)(x v 在x 处可导,则])()([
'x v x u = __
2'()()()'()
()
u x v x u x v x v x -_______ ； 9. sin ()x x '= _sin sin (cos ln )x x
x x x x +______；
10. 设)(x f 在0x 处可导,且A x f =')(0,则000(2)(3)
lim
h f x h f x h h
→+--= _5A ______ ；
11. 导数的几何意义为 __曲线上一点处切线的斜率______ ；
12.
曲线y =(1,1)处的切线方程是 ___121(1)y x -=--________ ； 13. 曲线31y x =+在(1,0)-处的切线方程是 _____3(1)y x =+______ ；
14. 函数32sin(1)y x x =+的微分dy =___2242[3sin(1)2cos(1)]x x x x dx +++_______ ； 15. 曲线2y x =在点(0,0)处切线方程是___0y =______ ； 16. sin y x =的n (n 是正整数)阶导数是 __2sin()x n π+______ .
选择题
1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( A )
(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000
()()
lim x x f x f x x x →--不存在
(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()
lim x f x f x x
?→-?不存在
2. 设)(x f 在点0x 处可导且000
1
lim
(2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于 ( D ) (A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –2
3. 设21,10
()1,02x x f x x ?+-<≤=?<≤? ，则)(x f 在点x = 0处 ( A )
(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义
4.
设()y f x =可导，则(2)()f x h f x --= ( B ) (A)()()f x h o h '+ (B)2()()f x h o h '-+ (C)()()f x h o h '-+ (D)2()()f x h o h '+
5.
设(0)0f =,且0()lim x f x x →存在，则0()
lim x f x x
→＝( B )
(A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1
(0)2
f '
6. 函数)(x f e y =,则="y ( D )
(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f (C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 7.
函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( D )
(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1
[
)1(-+--x x x
x x 8. 函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的 ( B )
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知ln y x x =，则(10)y =( C )
(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!
x
-
10. 函数x
x
x f =)(在0=x 处 ( D )
(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导 (C)极限存在但不连续 (D)不连续也不可导
11. 函数 1,0
()1,0
x f x x ≥?=?-
(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设x x y e e -=+,则y ''=( A )
(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+
13. 函数0,0
()1
,0x f x x x
≤??=?>?? ,在点0x =不连续是因为 ( D ) (A)(00)(0)f f +≠ (B)(00)(0)f f -≠ (C)(00)f +不存在 (D)(00)f -不存在
14. 设1
(2)1
f x x +=+ ，则()f x '=( B )
(A) 21(1)x -- (B) 2
1
(1)x -
+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数2ln y x =,则dy =（ A ）
(A) 2dx x (B) 2x (C) 21
x (D) 21dx x
16. 设21cos ,0()0,
01
tan ,0x x x f x x x x x
?
==???>? ，则()f x 在0x =处（ C ） (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 17. 已知sin y x =，则(10)y = ( C )
(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x -
计算与应用题
1. 设 f (x ) =x
a
a a x arccos 22-- (0a >), 求(2)f a '-.
解
: 222'())a x f x =
-=
=
,
故(2)22f a a '-==--. 2. 设ln()y xy =确定y 是x 的函数，求
dx
dy .
解:两边求导数1'(')xy
y y xy =+,故
dy y
dx xy x
=
-. 3. 设x
x y 1
cos 1ln
+=，求dy . 解: 22211111
'()()sin (sin )x x x x x y x x =---=-,2
1
1(sin )x x dy x dx =
-
4. 设21
(1)arctan cos 2
y x x x =++，求y '.
22111
221'2arctan (1)sin 2arctan sin 1x y x x x x x x x +=++-=-+.
5. 设x y e y ln =确定y 是x 的函数，求
dx
dy
. 解:两边求导数''ln y y x e y y x =+,故(ln )
'y
y
x e x y -=
.
6. 设)ln(ln x y =，求dy
解:
'y ==,故dy =.
7. 221
arcsin x y e x x
=+-y , 求y '及dy . 解:
2221
'22)22x x x
y e x e x =+-=+.
8. ln tan ln sin 2
x
y =+，求y '及dy .
解:
2
21
1222
222'cot sec cot sec x
x x
x y =+=+
9. sin()y x y =+，求y ',dy 并求其在点(,0)π处的切线与法线方程.
解:两边求导'(1')cos()y y x y =++,故cos()
1cos()'x y x y y +-+=. 10. 221
cos 5ln x
x y -+=,求 y '及dy . 解: 323'2sin x y x x =+.
11. y e =y '及dy .
解:
'y ==
.
12.
xy e y x -=，求y ',dy 并求其在点(0,1)处的切线与法线方程.
解:两边求导''x y e y xy =--,故1'x
e y x y -+=. 13. 已知2cos 3y x =，求y '. 解: 2cos3sin 333sin 6y x x x == . 14. 设22sin 0y x y --=， 求y '.
解:两边求导数2'2'cos 0y y y --=,故22cos 'y
y -=
.
15. 求13cos x y e x -= 的微分.
解: 1313(cos )(3cos sin )x x dy e x dx x x e dx --==--.
16. 设ln(y x x =，求y '.
解:
'ln(ln(y x x ==+
17. 设cos2x y e = ，求dy .
解:cos2cos2()'2sin 2x x dy e dx xe dx ==-.
18. 方程0y x e e xy -+=确定y 是x 的函数，求y '.
解: 两边求导''0y x e y e y xy -++=,故'x y e y e x
y -+=
.
19. 设2
2arctan()1x
y x =- ，求y '. 解: 22
222222
212(1)2(2)22'(1)(1)4211x x x x y x x x x x ---+==--+??
+ ?-??
. 20. 方程2cos 0y y x e +=确定y 是x 的函数，求y '.
解:两边求导22'cos sin '0y yy x y x e y -+=,故2sin cos 'y y x e y x
y +=.
21. 3cos cos x y x x e =+，求dy .
解: 3cos 23cos (cos )(3cos sin sin )x x dy d x x e x x x x xe dx =+=--. 22. ln y x x =，求y ''. 解: 1'ln 1,''x
y x y =+=. 23. 已知
ln(y x =+，求y '.
解
: 'y ==
24. 设 2011201220112011x x y x x =+++，求y '. 解:2010'(ln 1)2011ln 20112011x x y x x x =+++
25. 已知()sin3f x x =，求()2
f π
''.
解:2'()3cos3,''()9sin 3,''()9f x x f x x f π==-=.
26. 求2x e y x
=的微分.
解: 222(12)x x
e x e dy d dx x x
-==. 27. 求由参数方程cos sin x a t y b t
=??=?(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dy
dx .
解: (sin )'cos cot (cos )'sin b a dy b t b t t dx a t a t ===--. 28. 求由参数方程3cos sin x t t t y t t
?=+?=-?(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dy dx .
解: 32(sin )'1cos (cos )'3cos sin dy t t t dx t t t t t t t
--==++-.
第四章 函数
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. y 轴是曲线2
4(1)
2x y x +=
-的铅垂渐近线；(对) 2. 曲线3y x x =-在(,0)-∞是下凹的，在(0,)+∞是上凹的；(对)
3. 1x =是31
()3
f x x x =-在 [2,2]-+上的极小值点；(对)
4. 曲线y =0x =点没有切线；(对)
5. 函数可导，极值点必为驻点； (错)
6. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；(对)
7. 直线2y =-是曲线2)
1(42
-+=x x y 的水平渐近线；(对)
8. 12x =是曲线234
1
61x x y -=的拐点；(对)
9. 若)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，12a x x b <<<，则至少存在一点 12(,)x x ξ∈，
使得 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ；(错)
10. 若0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 是)(x f 的极大值；(对)
11. 函数)12ln()(+=x x f 在[0,2]上满足拉格朗日定理； (对) 12. 若0x x =是函数)(x f 的极值点，则0)('0=x f ；(错) 13. 函数)(x f 在[,]a b 上的极大值一定大于极小值；(错) 14. 当x 很小时，ln(1)x x +≈；(对)
中值定理及应用
中值定理
罗尔定理 中值定理的应用
洛必达法则
函数的单调性
极值 曲线的凹向 拐点 柯西定理 最大值与应用问题
渐近线，函数作图
边际与弹性分析
定义：求所有的原
函数
15. 30sin 1
lim
3
x x x x →-= ；(错)
16. 曲线 3y x = 的拐点是 (0,0)；(对)
17. 函数 ()y f x = 在 0x x = 点处取得极大值，则 0()0f x '= 或不存在；(对) 18. 0()0f x '=是可导函数()y f x =在0x x =点处取得极值的充要条件；(错)
19. 曲线 1ln y x =+ 没有拐点；(对)
20. 设()()()f x x a x ?=-，其中函数()x ?在x a =处可导，则 ()()f a a ?'= ；(对)
21. 因为 1y x = 在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内 1
y x
= 必有最大值；(错)
填空题
1. 求曲线 2
1
x y x =+ 的渐近线为_1,1x y x =-=-_______ ；
2. lim n
ax x x e
→+∞ （ 0,a > n 为正整数）= __0______ ；
3. 幂函数 y x α=（ α为常数）的弹性函数是 __y α=_______ ；
4. 设 322++=ax x y 在点 1x = 处取得极小值，则 a = ___－4___ ；
5. 设 3)(a x y -= 在 (1,)+∞ 是上凹的，则 a = _１___ ；
6. 若函数 )(x f 在区间 (,)a b 内恒有 ()0f x ''>，则曲线 )(x f y = 在 (,)a b 内的凹向
是__上凹___；
7. 若 3)(-=''x x f ，则曲线 )(x f y = 的拐点横坐标是 __３___ ； 8. 函数 32y x =+ 在 3x = 处的弹性是 __23______ ； 9. x y e -= 的渐近线为 __0y =_____ ；
10. 设需求函数(83)Q p p =-，P 为价格，则需求弹性值
2
P EQ
Ep
==_２______ ；
11.
函数y =[0,5]上满足罗尔中值定理的ξ= __103____ ； 12. 函数22y x x =-在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的 ξ=__１________ ； 13. 函数
y x =-在区间 [0,1] 上的最小值是 ____1-_____ .
选择题
1.
函数 sin y x = 在区间 [0,]π 上满足罗尔定理的 ξ= ( Ｃ )
(A) 0 (B) 4π
(C) 2
π (D) π
2. 曲线 2
1x y x
=+ 的铅垂渐近线的方程是 ( Ｃ )
(A) 1y =- (B) 1y = (C) 1x =- (D) 1x = 3. 函数 ()y f x = 在点 0x x = 处取得极大值，则必有（ Ｄ ）
(A) 0()0f x '= (B) 0()0f x ''<
(C) 0()0f x '= 且 0()0f x ''< (D) 0()0f x '= 或不存在 计算与应用题
1.
求极限：
(1)11
2112111111ln 1ln lim()lim lim lim lim 1ln (1)ln ln 11
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→→-+-=====--+-++;
(2) 120000011111
lim()lim lim lim lim 1(1)(1)2x x x x x x x x x x x x x x x e x e e x e x e e xe
e e xe x →→→→→----=====---++++; (3) 122
sin sin 0
00
00ln sin lim ln lim
lim lim
lim
sin ln 1csc csc cot cos cos 0
lim lim x
x
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
x x x e e e
e e
e
e -+
++
++→→→→→++
-
---→→=======;
(4)00ln(1sin )
cos 1
lim
lim
1sin 0
lim(1sin )x x x x
x x x
x x e e
e ++→→+
++→+===.
2.
设某产品价格与销量的关系为 10P Q =-（Q 为销量），求： (1) 销量为 30 时的总收益； (2) 销量为 30时的平均收益； (3) 销量为 30时的边际收益；
(4) 销量为 30时，销量对价格的弹性。
解: (1)收益()(10/5)L Q PQ Q Q ==-,故(30)120L =; (2)平均收益()()/10/5L Q L Q Q Q ==-,故(30)4L =;
(3)边际收益2
5
()10L Q Q '=-+,故(30)2L '=-. (4)销量对价格的弹性50()'Q P Q Q P Q η-==,故2
303|EQ Q EP ==-.
3.
某商品的需求函数为 275Q P =-（ P 为价格，Q 为需求量）
(1) 求4P =时的边际需求；
(2) 求4P =时的需求弹性，说明经济意义；
(3) 4P =时，若价格上涨 1% ，总收益变化百分之几？ (4) P 为多少时，总收益最大？最大总收益是多少？ 解:(1)边际需求'2Q P =-,故'(4)8Q =-;
(2)需求弹性22
2
27575()'2P P P Q
P P P Q P η--=-==,故32
459|0.57EQ P EP ===.这说是在P=4时,价格上
涨1%,需求下降约0.57%;
(3)总收益2
()(75)L P PQ P P
==-,收益弹性3
2227537575'(753)P P EL
P P
P P L P ---=-=--=-,于
是2EL
EP
=-,即收益变化2%. (4)令2'()7530L P P =-=,得P =5.
4. 设某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是
22
()10020.02()70.01C x x x R x x x
=++=+
(1) 求边际利润函数；
(2) 当产量分别是 200公斤，250公斤和30公斤时的边际利润，并说明其经济意义。 解: (1)利润为2()()()10050.01L x R x C x x x =-=-+-,边际利润为'()50.02L x x =-; (2)略. 5.
设商品的需求函数为 4
P Q e -
= ，求： (1) 需求弹性函数；
(2) 当 4P = 时的需求弹性，并说明其经济意义。
解: (1) 4
4
1()'()P
P P
P
P e P Q e
η--=-=--=; (2) (4)1η=,在P=4时,价格变化幅度与需求变化幅度相同. 6.
某商品的成本函数为 4
1000)(2
Q Q C C +==，求：
(1) 20Q =时的总成本，平均成本及边际成本；
(2) 产量 Q 为多少时，平均成本最小？并求最小平均成本。 (3) 求平均成本最小时,价格上涨一个单位,成本的增加为多少? 解:略
7. 工厂生产某种产品总成本 2()0.014120C x x x =++,其中x 为产品件数。以13元的价格将产品全部卖出，问该产品生产多少件时，所获得利润最大，最大利润是多少？ 解:略
8. 给定函数23()193f x x x x =--+，求其单调区间，极值，凹向区间及拐点。 解: 2'()9633(1)(3),''()666(1)f x x x x x f x x x =--+=+-=-+=-. 令'()0f x =,得过且过x =-1,3; 令''()0f x =得x =1.
证明题
1. 证明当0x >时，1x e x >+；
证法一：令()(1)x f x e x =-+，则当0>x 时，()10x
f x e '=->，所以函数()f x 在[0,)∞上单调
增加，从而当0>x 时，有()(0)0f x f >=，此即(1)0x
e x -+>, 亦即(1)x e x >+。
证法二：令()t
f t e =，则显然()f t 在闭区间[0,]x 上连续，在开区间(0,)x 上可导，于是由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点(0,)x ξ∈，使得
0()(0)x e e f x ξ'-=-，即1()x e xf ξ'-=。
又由'()t f t e =及(0,)x ξ∈可知0'()1f e e ξξ=>=，从而1()x e xf x ξ'-=>，即有1x
e x >+。 2. 证明当0x >时，ln(1)x x +<；
证法一：令()ln(1)f x x x =+-，则当0>x 时，1()1011x
f x x x
'=-=-<++，所以函数()f x 在
[0,)∞上单调减少，从而当0>x 时，有()(0)0f x f <=，此即ln(1)0x x +-<, 亦即x x <+)1ln(。
证法二：令()ln(1)f t t =+，则显然()f t 在闭区间[0,]x 上连续，在开区间(0,)x 上可导，于是由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点(0,)x ξ∈，使得
ln(1)ln1()(0)x f x ξ'+-=-，即ln(1)()x xf ξ'+=。
又由1
'()1f t t
=+及(0,)x ξ∈可知10'()11f ξξ<=<+，从而ln(1)()x xf x ξ'+=<。
3. 证明当0x >时，1
ln(1)ln 1x x x
+->+；
证明:令()ln f t t =,则其在[,1]x x +上满足拉格朗日定理的条件,故由拉格朗日定理存在(,1)x x ξ∈+使得(1)()()(1)f x f x f x x ξ'+-=+-,即
11
ln(1)ln 1x x x
ξ+-=>+.
4. 证明对任意的12,x x ，有1212|arctan arctan |||x x x x -≤- 提示:若12x x =,则显然成立. 若12x x ≠不妨设12x x <,在区间12[,]x x 用拉格朗日定理.
5. 证明对任意的12,x x ，有1212|sin sin |||x x x x -≤-
提示:若12x x =,则显然成立. 若12x x ≠不妨设12x x <,在区间12[,]x x 用拉格朗日定理.
第五章 不定积分
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. ()()F x dx F x C '=+? ；(对)
2. ?+=C x f dx x f dx
d
)()( ；(错) 3.
若 )(x f 可导，则 ?=)()(x f x df ；(错)
4. sin x 是 cos x 的一个原函数；(对)
5. 若 3(),f x dx x C =+? 则 2()f x x = ；(错)
6. 设()1f x '=且(0)0f =,则21
()2
f x dx x x C =-+? ；(错)
7.
cos sin 2cos x xdx x x x C =++? ；(错)
填空题
1. =+?dx x 11
__ln |1|x +____ ；
2. 设 sin x e x + 是 )(x f 的一个原函数，则 ()f x ' = __sin x e x -_____；
3. 1
ln dx x x =? __ln ln x _____ ；
4. 22(ln cos )x d x x e dx ++=?2
2(ln cos )x x x e dx ++_______ ；
5. 函数 _1x _______ 的原函数是 ln(5)x ；
6.
若 ()arcsin 2f x dx x C =+? ，则 (0)f = ___2______ ；
不定积分
不定积分的定义
不定积分的计算
定义：求所有的原
函数 不定积分的性质
与导数运算互逆 线性性质 直接积分法
分部积分法
第二换元积分法
第一换元积分法
7.
dx '
?
C ；
8. 若
2()f x dx x C =+?
，则
2(1)xf x dx -=?
_2313x x -_________； 选择题
1.
若 )()(x g x f '=' ，则必有 ( C )
(A) )()(x g x f = (B) dx x g dx x f )()(??=
(C) dx x g d dx x f d )(')('??= (D) dx x g d dx x f d )()(??=
2.
设 )()(x G x F '='，则 ( B )
(A) )()(x G x F = 为常数 (B) )()(x G x F -为常数
(C) 0)()(=-x G x F (D) dx x G dx d
dx x F dx d )()(?
?=
3. 下列等式中，正确的是 ( D )
(A) ()()d f x dx f x =? (B) ()()d
f x dx f x dx dx
=?
(C) ()()d
f x f x C dx
=+? (D) ()()d f x dx f x dx =?
4. 设 ()()d f x dg x =?? ，则下列各式不一定成立的是 ( A )
(A) ()()f x g x = (B) ()()f x g x ''=
(C) ()()df x dg x = (D) ()()d f x dx d g x dx ''=?? 5.
已知函数 ()sin f x x = ，则 ()f x 的所有原函数是 ( B ) (A) cos x (B) cos x C -+ (C) sin x (D) sin x C + 6. 下列计算过程正确的是 ( B )
(A) 21sin 1
cos (cos )222x x dx dx x x C -==++??
(B) 21cos 1
cos (sin )222x x dx dx x x C +==++??
(C) 21cos 1
cos (sin )222x x dx dx x x C -==-+??
(D) 21sin 1
cos (cos )222
x x dx dx x x C +==-+??
7. 若 22()x f x dx x e C =+? ，则 ()f x =( D )
(A) 22x xe (B) 222x x e (C) 2x xe (D) 22(1)x xe x +
计算与应用题
1.
求不定积分
(1) 1
2(1)(1)x x x e d e C -=++=?; (2)11221(21)ln(21)2121x x x
x x
e dx d e e C e e =+=+++
+??;
(3)12
2212(1)(1)x d x -=-=+--
? arcsin x C =+;
(4)2
22222
1
111112
222211arctan arctan arctan arctan (1)x x x x xdx xdx x x dx x x dx ++=
=-=--????
221111
2222arctan (arctan )(1)arctan x x x x C x x x C =--+=+-+;
(5)42313221(1)arctan .11x dx x dx x x x C x x
=-+=-++++?? (6)dx x a ?-22 解:令cos x a t =,则
2
2
2
2
2212221222sin )sin (1cos 2)(sin 2)(sin 2)arccos .a a a a x a a t dt a tdt
t dt t t C
t t C C =-=-=--=--+=--+=-??
(7)2221
(1)arctan 11x dx dx x x C x x
=-=-+++??; (8)222
21122
x x x
xe dx e dx e C ==+??. (9)3333333311111113333939(3)x x x x x x x x
xe dx xde xe e dx xe e d x xe e
C ==-=-=-+????; (10)1(1)ln(1)1x x
x
d e e C e +=+++?
; (11)22
112
22222211
11(1)ln(1)arctan 11111x x dx dx dx d x dx x x C x x x x x -=-=
+-=+-++++++?????.
(12) 解:
t =,则2
221ln(1),t
t x t dx dt +=+=
, 2212211
()1
111t dt dt dt t t t t t ===----+?
??
|1|ln |1|ln |1|ln ln |1|t t t C C C t -=--++=+=+
(13)222222
11111112222224ln ln ln ln ln ln .x xdx xdx x x x d x x x xdx x x x C ==-=-=-+????
(14)2tan 2ln |C ==-+?.
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
高等数学公式总结(绝对完整版).
高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
[实用参考]大学数学公式总结大全
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分：
一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(
·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：·余弦定理： ·反三角函数性质： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数： 级数审敛法： 绝对收敛与条件收敛： 幂级数： 函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 阳光怡茗工作室https://www.360docs.net/doc/b0747218.html, 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
高等数学(上册)-第一章教案
第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
《高等数学》 各章知识点总结——第6章
第6章 微分方程总结 1.可分离变量微分方程 一阶微分方程y '=?(x , y ) 或M(x)N(y )dx +P(x)Q(y )dy =0能写成 g (y )dy =f (x )dx 两边积分可得通解。 2.齐次微分方程 dy y ()dx x =φ，令x y u =, 即y =ux , 有)(u dx du x u ?=+, 得??=-x dx u u du )(?。 3.一阶线性微分方程 （1）齐次线性 0)(=+y x P dx dy 用分离变量法可求得通解P(x)dx y Ce -?=。 （2）非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+ 由齐次方程常数变易法可得通解 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=?-。 4.伯努利方程 n y x Q y x P dx dy )()(=+ (n ≠0, 1)，以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+. 5.可降阶的高阶微分方程 （1）y (n )=f (x ) ：积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=?-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=??-，? ? ?. （2）y ''= f (x , y ')：设y '=p(x) , 则方程化为 p '=f (x , p )。 （3）y ''=f (y , y ')：设y '=p(y), dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''，原方程化为 ),(p y f dy dp p = 6.二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =0 （2）二阶常系数非齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =f (x )
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
大学高等数学所有公式大全.
大学高等数学公式 ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·平方关系： sin^2(α+cos^2(α=1 tan^2(α+1=sec^2(α cot^2(α+1=csc^2(α ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β=(tanα+tanβ/(1-tanα·tanβ tan(α-β=(tanα-tanβ/(1+tanα·tanβ ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sin γ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ- sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/(1-tanα·tanβ- tanβ·tanγ-tanγ·tanα ·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2sin(α+t，其中 sint=B/(A^2+B^2^(1/2 cost=A/(A^2+B^2^(1/2 tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2cos(α-t，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα cos(2α=cos^2(α-sin^2(α=2cos^2(α-1=1-2sin^2(α tan(2α=2tanα/[1-tan^2(α] ·三倍角公式： sin(3α=3sinα-4sin^3(α cos(3α=4cos^3(α-3cosα ·半角公式： sin(α/2=±√((1-cosα/2 cos(α/2=±√((1+cosα/2 tan(α/2=±√((1-cosα/(1+cosα=sinα/(1+cosα=(1-cosα/sinα ·降幂公式
高数知识点总结
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
《高等数学》 各章知识点总结——第9章
第9章 多元函数微分学及其应用总结 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离： ||PQ = 邻域: 设0P 是n R 的一个点，δ是某一正数，与点0P 距离小于 δ的点P 的全体称为点0P 的δ 邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈< 空心邻域: 0P 的 δ 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ 空心邻域,记为 0(,)U P δ =0{0||}P PP δ<<。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),(δP U ，使得E P U ?),(δ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E ?R , 如果E 的补集 n E -R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ?，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．
考研高数各章重点总结
一、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 二、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。 三、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 四、向量代数和空间解析几何
计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。 六、多元函数的积分学 二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。 七、无穷级数 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
考研高等数学知识点总结
高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π
最全的高等数学公式大全
高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=
同济高等数学公式大全
同济高等数学公式大全 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
高等数学大一上总结
第一章函数与极限 主要内容:函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。 内容要点： 1.函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2.复合函数和反函数的概念。 3.基本初等函数的性质及其图形。 4.立简单实际问题中的函数关系式。 5.极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6.子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7.极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单调有界数列必有极限的原理, 柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8.无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9.函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 一、求函数的定义域 ①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段 函数定义域的并集；(6)若已知y=f(x)的定义域是[a,b]，求y=f[t(x)]的定义域，方法是 解a≦t(x)≦b 二、判断两个函数是否相同 一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。 三、判断函数奇偶性 判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。 四、数列极限的求法 利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。(1)若数列分子分母同时含n，则同除n的最高次项。（2）若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求极限的方法。(3)所求数列是无穷项和，通常先用等差或等比数列前n项求和公式求出，再求极限。（4）利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。通式为形如1的无穷次方的不定式，一般采用两个重要极限中等于e的那个式子求解。 五、函数极限的求法 1.用数列求极限方法， 2.在一点处连续，则在此处极限等于此处函数值， 3.分段函数，在某点极限存在，则此处左右极限都存在且相等。
《高等数学》-各章知识点总结——第1章
第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义 设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（ 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤
高等数学上册第一章心得与分享
第一章 函数极限与连续 （一） 本章重点（important points ）： 1. 了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N 与ε的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。 2. 理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。 3. 无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中会经常用到，so it is also important!）。 4. 函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地very good ！）。 5. 分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。 （二） 知识点分析（analysis ）： 常用不等式 1） 绝对值不等式： ||x |?|y ||≤|x ±y |≤|x |+|y | 2） 三角不等式： |x ?z |=|x ?y +y ?z |≤|xy |+|yz | 3） Bernoulli Inequality(贝努力不等式)： 若 x>-1, n ∈z, 且n>=2 则(1+x )n ≥1+nx 4) Cauchy Inequality （柯西不等式）： (∑x i y i ） n i=12 ≤(∑x i 2n i=1)?(∑y i 2n i=1) 5) e x ≥1+x 6) ln(1+n)≤x
7) (1+1n )n <(1+1 n+1 )n+1 && (1+1n ) n+1 >(1+1n ) n+2 即：数列{(1+1n )n } 单调递增， 数列{(1+1n ) n+1 } 单调递减。 8） 设 x ∈z +, 则 1 x+1