海涅定理在函数极限证明中的应用

摘要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。

关键词：海涅定理；函数极限；数列极限

Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method proving existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but also deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit.

Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit

数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。

海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。

近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献[1-6]。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献[7-10]。根据文献

[6，8,10] 对海涅定理进行归类整理的。

1 预备知识

定义1.1[]1 函数在0x 点的极限的定义：设函数()x f 在0x 点的附近（但可能除掉0x 点本身）有定义，又设A 是一个定数。如果对任意给定的0>ε，一定存在0>δ，使得当δ<-<00x x 时，总有()ε<-A x f ，我们就称A 是函数()x f 在0x 点的极限，记为

()A x f x x =→0

lim （或者记为()()0x x A x f →→）.

这时也称函数()x f 在0x 点极限存在，其极限是A 。

2 海涅定理的证明及推广

定理 2.1[]1

海涅定理 ()A x f x x =→0

lim 的充分必要条件为对任何以0x 为极限的

数列{}()0x x x n n ≠，都有()()∞→→n A x f n 。

证明先证必要性。由于()A x f x x =→0

lim ，所以对任意的0>ε，存在0>δ，当

δ<-<00x x 时，

()ε<-A x f .

但是0x x n →，故对0>δ，又可得正整数N ，n N >时，

δ<-0x x n . 因为0x x n ≠，故上面的不等式可改写为

δ<-<00x x n . 而对于适合这个不等式的n x ，其函数值()n x f 满足

()ε<-A x f n .

亦即当N n >时，这个不等式成立，这也就证明了数列(){}n x f 以A 为极限。

再证充分性。用反证法，若()A x f x x ≠→0

lim ，则对某一个0>ε，不能找到函数极

限定义中的δ，也就是对任意的0>δ，都可以找到一点x '，00x x δ'<-<，使得

()ε≥-'A x f ；特别地，若取δ为11

1,,,

，得到123,,,

x x x 满足

1001x x <-<，()1f x A ε-≥；

201

02x x <-<

，()2f x A ε-≥； 301

x x <-<，()3f x A ε-≥；

…………

从左边一列可以看出()0n x x n →→∞，0n x x ≠，而右边一列却说数列()n x f 不以A 为极限，与假设矛盾。充分性得证。

等价类型的海涅定理：

定理2.2[]8

设()x f 在M x >上有定义则()lim x f x A →∞

=的充要条件是：对于任

何以∞为极限的数列{}()n n x x M >，都有()A x f n n =∞

→lim 。

证明先证必要性。因为lim ()x f x A →∞

=，则得到对任意的0ε>，存在0M >，

当x M >时有

()f x A ε-<.

但是n x →∞，故对0M >，可得正整数N ，当n N >时有n x M >。又因为n x M >。故上面的不等式可以改写为

()-n f x A ε<.

亦即当n N >时，这个不等式成立，这也就证明了数列(){}n f x 以A 为极限。

再证充分性。用反证法，假设lim ()x f x A →∞

≠，则对于某一个0ε>，不能找到函

数极限定义中的M ，也就是对任意0M >都能找到一个点i x M >时，使得

()f x A ε-≥。特别地，当取1,2,3,4,

M =时，得到1234

,,,x x x x 适合

111,()x f x A ε>-≥， ()333,x f x A ε>-≥， ()444,4x f x A >-≥，

........

从左边一列可以看出()n x n →∞→∞，n x M >，而右边一列却说数列()n x f 不以A 为极限，与假设矛盾。充分性得证。

定理2.3[]8

设()x f 在0x 的某一邻域()0,U x δ内有定义，则函数()x f 在点0

x 连续的充要条件是：对任何含于()0,U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，都有

()()0lim x f x f n n =∞

→。

定理 2.4[]8

设函数()x f 在点0x 的某空心右邻域()0,U x δ+有定义，则

()A x f x x =+→0

lim 的充要条件是：对任何以0x 为极限的单调递减数列{}()0,n x U x δ+?，

都有()A x f n n =∞

→lim 。

定理 2.5[]8

设函数()x f 在点0x 的某空心左邻域()0,U x δ-有定义，则

()A x f x x =-→0

lim 的充要条件是：对任何以0x 为极限的单调递增数列{}()0,n x U x δ-?，

都有()A x f n n =∞

→lim 。

3 海涅定理的应用

3.1 利用海涅定理对函数极限运算法则、性质及判定定理等的证明

对于一些函数极限的性质和定理等，无法用函数极限的定义证明或用函数的定义证明比较复杂时，就可以利用海涅定理将函数转化成数列来证明。

例3.1 若()0lim x x f x →与()0lim x x g x →且()()??? ??≠≠→0lim ,00x g x g x x 皆存在，则有 ()()()()

lim lim lim x x

x x x x f x f x g x g x →→→=. 证明设

()()

()f x H x g x =

，()0

lim x x f x A →=，()0

lim x x g x B →=.

又设{}()0x x x n n ≠是任意一个含于函数g f ,的定义域且以0x 为极限的数列。那么

()()()

n n n x g x f x H =. 由海涅定理的必要性可得

()()B x g A x f n x x n x x ==→→0

lim ,lim .

而根据数列极限的运算法则有

()()

()

lim lim lim n n n n n n f x A H x g x B

→∞

. 又由于数列{}n x 的任意性和定理2.1的充分性得

()()()

x g x f x H x x x x x x 0

lim lim lim →→→=

例3.2 证明：若对任意的()0,x U a δ∈有

()()()x h x g x f ≤≤，且()()b x h x f a

x a

x ==→→lim lim .

则()b x g a

x =→lim 。

证明任作一数列{}()0,n x U a δ?，且()∞→→n a x n ，则由海涅定理知 ()()lim lim n n n n f x h x b →∞

→∞

==.

因为()()()f x g x h x ≤≤，所以

()()()n n n f x g x h x ≤≤.

所以由数列极限的迫敛性知

()lim n n g x b →∞

又由海涅定理的充分性知()lim o

x x g x →存在且收敛于b 。

例3.3 若极限()x f o

x x →lim 存在，则此极限是唯一的。

证明设A 和B 都是()x f 当0x x →时的极限，即

()()B x f A x f x x x x ==→→0

lim ,lim .

作数列{}()0,n x U x δ?且()0n x x n →→∞，由海涅定理知

()lim n n f x A →∞

=且()lim n n f x B →∞

由数列极限存在唯一性知A B =。

3.2 利用函数的性质及海涅定理求数列的极限

对于求数列的极限，有时直接求不好求，就可先求与之相对应的函数极限，再利用函数的性质和海涅定理求出数列的极限。

1）求含有三角函数的数列极限

例3.4 求极限???

???? ??+∞

→πn n n 41arctan ln 4lim 。

解因为()()x x f a rc t a n ln 4=在4

=x 处连续。当n →∞，

144

n n π

π+→。由海涅定理可知

11lim 4ln arctan 4ln arctan lim 4ln arctan 0444n n n n n n πππ→∞→∞?+??+??????

?=== ? ? ???????????????. 例3.5 求极限2

1lim tan n n n n →∞?

? ??

?。

解设n x 1=，当n →∞时，有0x +→。由海涅定理可知，如果2

10tan 1lim x x x x ?

??+→

存在，则一定有

0tan 1lim 1tan lim x x n n x x n n ?

??=??? ??+→∞→.

下面我们先求 2

10tan 1lim x x x x ?

??+→。因为

()()

tan 1

tan 001tan lim tan lim 1x x x

x x x x x x x x x x x ++--→→??-??

????

=+??

? ???

?????

又因为

3131sec lim tan lim 22

030

=-=-++

→→x x x x x x x ，0tan lim 0x x x x +→-=，tan 0tan lim 1x

x x

x x x e x +-→-??

+= ???

所以

lim

0tan 1e x x x x =??

? ??+→.

再由海涅定理得

011lim tan lim tan n x n x n x e n x +→∞→????

== ? ?????

2）求带有积分的数列的极限例3.6

求极限18ln 1n n dx ?

?。解因为

118ln 1ln 1n n n n dx dx ?

?= ??

所以要求18ln 1n n dx ?

，只要能求出dx x n n

n ?

??? ?

+∞→1

11ln 1lim 即可。

由海涅定理可知

ln 1ln 1n x

n x dx dt ??

=+ ??

再由洛必达法则可得

lim

2lim

x x x →+∞-==-. 所以

1ln 12n n dx ?= ?

. 故

18ln 12816n n dx ?+=?= ?

. 3）求带有抽象函数的数列极限

例3.7 设()0f a =，()2f a '=。求n

n a f n 1

cos

11lim 2-?

? ??

+∞→。

解由海涅定理可知

x a f n

n a f n n 1cos

11lim 1

cos

11lim 22-?

?? ??

+=-?

? ?

+∞→∞→. 由导数的定义

()()()()2lim lim

=??+=?-?+='→?→?y

y a f y a f y a f a f y y .

令2

x y =

?，当∞→x 时，0→?y ，于是就有 2222222211111lim lim lim 111111cos

1cos 2sin 2x x x f a f a f a x x x x x x x x x x →∞→∞→∞

????

???????+++ ? ? ?????????????=?=???

??????--?

? ? ??? ??

??????

()()

00lim 2lim 412y y f a y f a y y y y y ?→?→??

??+?+??=?==??????

???. 所以

21lim 41

1cos

n f a n n

→∞?

?+ ?

=-. 4.3 利用海涅定理判断级数敛散性

级数实质是一个和式的极限，因此运用海涅定理及其推论去判断常数项级数的敛散性是一种有效的方法。

例3.8 判断级数∑∞

=?????

? ??+-141ln 41n n n n 的敛散性。