光谱干涉图的傅立叶变换相位分析理论

3.1 干涉条纹图的傅立叶变换相位分析理论

在各种光学测量中，，条纹图形的数学表达式可以写成下面的形式：

()()()()[]y x x f y x b y x a y x g ,2cos ,,,0φπ++= (3.1)

上式中()y x ,φ是我们想要得到的相位信号，而()y x a ,和()y x b ,的振幅量是不需要的；在大多数情况下，()y x a ,、()y x b ,和()y x ,φ相对于空间载频0f 是慢变量。例如，当00=f 时，

()()()()[]y x y x b y x a y x g ,cos ,,,0φ+= (3.2)

上式中()y x g ,0表示一幅干涉图。

为了把（3.1）式表示的图形由图像传输仪器传送到计算机便于处理，重写（3.1）式，于是可以写成下面的形式：

()()()()()()x if y x c x if y x c y x a y x g 0*02exp ,2exp ,,,ππ?++= (3.3) 上式中，()y x c ,*是[]y x c ,的复共轭函数，()y x c ,表示如下：

()()()[]y x i y x b y x c ,exp ,2

1,φ= (3.4) 对（3.3）式进行快速傅立叶变换算法（Fast Fourier Transform: FFT ），得到以下结果：

()()y f f C y f f C y f A y f G ,),(),(,0*0?+?+= (3.5)

上式中()y f G ,、()y f A ,、()y f f C ,0?和()y f f C ,0*?表示（3.3）中对应的各个函数的傅立叶谱，f 表示在x 方向上的空间频率。方程（3.5）中各式对应于的表示在图3.2（A ）上，()y f A ,、()y f f C ,0?和()y f f C ,0*?在空间频域由0f 分隔开。

图3.2（A）表示(3.5)中各项；（B）选出作为变换的谱；y轴垂直于纸面[13]

图3.3（A）表示一个使用主值计算出的不连续相位分布的例子；（B）修正（A）中不连续的相位分布的偏置相位；（C）修正后连续相位分布的情形；y轴垂直于纸面[13]

我们现在利用载频0f 上面的两个频谱中任意一个作傅立叶变换，),(0y f f C ?相当于()y f C ,在频域平移了一个0f ，()y f C ,表示在图3.2（B ），()y f C ,关于f 的逆傅立叶变换得到由（3.4）定义的()y x c ,。现在，对方程（3.4）取复对数得到：

()[]()()y x i y x b y x c ,,21log ,log φ+??

????= (3.6) 于是，使用复对数就可以把不需要的实部()y x b ,从()y x c ,中去掉，得到的虚部就是需要的相位信息()y x ,φ。使用这种方法得到的相位与实际的相位相比有一个π2的不确定因子，由大多数计算机程序计算出的相位在[]ππ,?这个主值区间内，这个结果正如图3.3（A ）表示。图3.3（A ）表示的不连续性能够使用下面的方法进行修正。现在来确定偏置相位()y x ,0φ，这个偏置相位加上由逆傅立叶变换得到的不连续相位()y x d ,φ，就是最后需要的连续相位()y x c ,φ：

()()()y x y x y x d c ,,,0φφφ+= (3.7)

在决定()y x c ,φ之前，先来计算相临取样点之间的相位差：

()()()()N ..., 2, 1,i ,,,1=?=Δ?y x y x y x i d i d i d φφφ (3.8)

由于相位相对于取样点间隔的变化是很慢的，于是在相位分布连续的地方，有下面的关系： ()πφ2,<Δy x i d (3.9)

但是在相位的不连续点，即有π2跳相变化的地方，那么这个相位差的接近π2，这样我们就要设定一个合适的临界点，例如π29.0×，这样，就能根据()y x x d ,φΔ的正负来确定跳相点的方向，以确定()y x x d ,φΔ需要加上还是减去π2。

下面来确定每一个取样点的偏置相位()y x ,0φ，开始点从00=x 开始，于是：

()()1-k 1,2,...,i ,,000==y x y x x i x φφ (3.10)

当在采样点k 出现跳相时，根据()y x x d ,φΔ的符号，如果是负号，那么跳相的方法标为（↓），于是：

()()πφφ2,,100+=?y x y x k x k x (3.11)

根据()y x x d ,φΔ的符号，如果是正号，那么跳相的方法标为（↑），于是：

()()πφφ2,,100?=?y x y x k x k x (3.12)

随后，相位的偏置为：

()()1-m 2,...,k 1,k i ,,00++==y x y x k x i x φφ (3.13)

知道第m 点发生跳相，然后在根据()y x x d ,φΔ的正或负来判定需要减去或加上π2的相变，如此一直到下一次跳相，便可以得到连续变化的相位信息了。

综上所述，我们能够把使用傅立叶变换光谱干涉（Fourier-transform spectral

interferometry:FTSI ）

算法提取相位过程的流程图表述如下；图3.4表示使用FTSI 算法进行相位恢复的流程图。

图3.4使用FTSI 算法进行相位恢复的流程图