数轴上的行程问题及其新的解法

数轴上的行程问题及其新的解法

指导老师；伍兴友将传统的行程问题和数轴有机的结合，既体现了传统行程问题的特点，又增加了数轴性质在解题中的综合运用，赋予题目更多的灵性和想象空间。我们通过探索和研究得出了数轴上行程问题一些新的解法和思维方式，现表述如下；

数轴上的行程问题离不开数轴上两点之间的距离。对于我们初一年级学生来说，要先明确以下几个问题：

1．如何用数轴上两个点的坐标表示两点间的距离，数轴上的两个点总有一个在左，一个在右，用右边的点的坐标减去左边点的坐标就可以表示这两点间的距离了。也可以用左边的点的坐标减去右边的点的坐标的绝对值来表示。

2．．如何表示数轴上的点运动一段距离后坐标。由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动b个单位看作+b，而向左运动b个单位看着-b。这样在起点坐标的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。如一个起始点的坐标为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

数轴上的相遇问题；

例1．已知数轴上有A、B、两点，分别代表—24，10，它们同时相向而行，A 每秒向右运动3个单位，B每秒向左运动2个单位。问多少秒后A与B相遇？相遇

时的坐标位置是多少？

按传统习惯解法是；

解；设x秒后A与B相遇，依题意可列方程得；

3x+2x=10-(-24)

解得；x=6.8秒

由A向右运动了6.8x3=20.4个单位，可推出A与B相遇在-3.6的位置。

按新的解法；其解题思路是；若A与B相遇，那么A与B的坐标就相同。可以依此列方程。其解题过程如下；

解；设x秒后A与B相遇，相遇时A运动了3x个单位，可知A点到达的坐标位置是(-24+3x)。相遇时B运动了2x个单位，可知B点到达的坐标位置是(10-2x)。

依据A与B相遇是的坐标相同的原理列方程如下；

-24+3x=10-2x

解得；x=6.8秒再把x=6.8代入方程的左边或者右边，都可以得出相遇时的坐标位置是-3.6。

数轴上的追击问题；

例题2；已知数轴上有C，Ｄ两点，它们的坐标分别是－12和8. 它们同时

出发，Ｃ点已每秒2个单位的速度向右运动。D点则已每秒4个单位的速度向右运动。问多少秒后在什么坐标位置D点追上C点？

按传统解法是；

解；设x秒后D点追上Ｃ点；根据D点运行的路程=C点运行的路程+D与C相距的路程。可列方程如下；

4x=2x+(8+12)

解得；X=10秒。

再把X=10代入方程的左边，可知D点运动了40个单位记着-40，由D点的起始坐标是8，依据8+（-40）=-32.可以推出D点在-32的位置追上C点。

按新的解法；其解题思路是；D点追上C点时它们处在同一位置，而且坐标相同，可以依据这一特点列出方程求解

其解题过程如下；

解；设x秒后D点追上C点，则D点走的路程为4x. 由D点的起始坐标8可以推出D点到达的位置坐标是8-4x

则C点走的路程为2x, 由C点的起始坐标-12可以推出Ｃ点到达的位置坐标是-12-2x

依据D点追上C点时处在同一位置，坐标相同的特点可列方程如下；

8-4x=-12-2x

解得；x=10秒

把x=10秒代入方程的左边或者右边便可以推出D的在坐标为-32的地方追上C点。

以上新的解题方法是传统的行程问题解题中所不具有。它将行程问题和数轴有机地结合在一起，既体现了传统行程问题的特点，又增加了数轴的性质的综合运用，赋予了题目新的灵性，给予学生更多的思考空间。

例3．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。

⑴求AB中点M对应的数；

⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；

⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。

分析：⑴设AB中点M对应的数为x，由BM=MA

所以x—（—20）=100—x，解得 x=40 即AB中点M对应的数为40

⑵易知数轴上两点AB距离，AB=140，设PQ相向而行t秒在C点相遇，

依题意有，4t+6t=120，解得t=12

（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得—20+4t=100—6t，t=12）

相遇C点表示的数为：—20+4t=28（或100—6t=28）

⑶设运动y秒，P、Q在D点相遇，则此时P表示的数为100—6y，Q表示的数为—20—4y。P、Q为同向而行的追及问题。

依题意有，6y—4y=120，解得y=60

（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得—20—4y=100—6y，y=60）

D点表示的数为：—20—4y=—260 （或100—6y=—260）

点评：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。⑵是一个相向而行的相遇问题；⑶是一个同向而行的追及问题。在⑵、⑶中求出相遇或追及的时间是基础。

例3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？

分析：⑴如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP=PA。

依题意，3—x=x—（—1），解得x=1

⑵由AB=4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧。

①P在点A左侧，PA=—1—x，PB=3—x

依题意，（—1—x）+（3—x）=5，解得 x=—1.5

②P在点B右侧，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3

依题意，（x+1）+（x—3）=5，解得 x=3.5

⑶点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢。故P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A。P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论。

设运动t分钟，此时P对应的数为—t，B对应的数为3—20t，A对应的数为

—1—5t。

①B未追上A时，PA=PA，则P为AB中点。B在P的右侧，A在P的左侧。

PA=—t—（—1—5t）=1+4t，PB=3—20t—（—t）=3—19t

依题意有，1+4t=3—19t，解得 t=

②B追上A时，A、B重合，此时PA=PB。A、B表示同一个数。

依题意有，—1—5t=3—20t，解得 t=

即运动或分钟时，P到A、B的距离相等。

点评：⑶中先找出运动过程中P、A、B在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程

练习题：

1．已知数轴上A、B两点对应数分别为—2，4，P为数轴上一动点，对应数为x。

⑴若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数。

⑵数轴上是否存在P点，使P点到A、B距离和为10？若存在，求出x的值；

若不存在，请说明理由。

⑶若点A、点B和P点（P点在原点）同时向左运动。它们的速度分别为1、

2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P为AB的中点？

（参考答案：⑴0或2；⑵—4或6；⑶2）

2．电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳一个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4……按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的K100所表示的数恰是19.94。试求电子跳蚤的初始位置K0点表示的数。

（提示：设K0点表示的数为x，用含x的式子表示出K100所表示的数，建立方程，求得）