立体几何最值、折叠、及存在性问题难题

立体几何最值、折叠、及存在性问题难题

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最值问题

1、已知三棱锥O—ＡBＣ中,OA、OB、ＯＣ两两垂直，ＯＣ=1,OＡ=x，ＯB＝y，若x+y＝4,则三棱锥体积的最大值是（)

A.错误!?

B.错误!未定义书签。C．1?Ｄ．错误!未定义书签。

２、已知在半径为2的球面上有A、Ｂ、Ｃ、D四点,若AB＝CD=2.则四面体ABCＤ的体积的最大值为(）

Ａ.错误!?Ｂ.错误!??C．2错误!未定义书签。 D.错误!未定义书签。

3、如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ＡＢＣ—A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACＤE中，ＡＥ＝2，ＡC＝AA１=４,∠Ｅ=６0°，点Ｂ在线段DE上．

(１)当点B在何处时,平面Ａ1BＣ⊥平面A1ABB1;

(2）点Ｂ在线段DＥ上运动的过程中,求三棱柱ABC—A1B1Ｃ１全面积最小值．

4、如图1,正方形ABCD 、ＡＢEF 边长都是１，且平面ＡBCD 、A ＢEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在ＢF 上移动，若C M B N a a ==<<()02。试求当ａ为何值时，M Ｎ的值最小。

5、在一张硬纸上,抠去一个半径为3的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为4，高为6的正三棱锥A —BCD 上，并使纸面与锥面平行,则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是_____＿__。

6、如图,已知在?A B C 中,∠=?C 90,P A ⊥平面AB Ｃ，A E P B ⊥于Ｅ，A F P C

⊥于Ｆ,A P A B ==2，∠=A E F θ，当θ变化时,求三棱锥PA E F

-体积的最大值。

７、棱长为2c ｍ的正方体容器盛满水,把半径为1cm 的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？

折叠问题

1、如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中,给出下列三个命题：

①点M 到ＡＢ的距离为

22②三棱锥C-D ＮE 的体积是61

③ＡB 与E Ｆ所成角是2

其中正确命题的序号是

2、将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是 ……………………………………………( )

①

②

③ ④

Ａ.①② B.②④ Ｃ.①④ D ．①③ 3、长方形中,AB=32ＢC,把它折成正三棱柱的侧面,使AD 与BC 重合,长方形的对角线AC 与折痕线EF 、GH 分别交于M 、N,则截面MNA 与棱柱的底面DF Ｈ所成的角等于( )

A B

C D

E

F M N M N

P Q M

P Q

N M N P Q

M N

P Q

A.30o

Ｂ.45o C ．60ｏ

D ．90o

４、如下图,在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是__＿＿__＿__＿＿__(要求:把你认为正确图形的序号都填上)

① ② ③

④ ⑤ ⑥

５、已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将ADE 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<. (I ） 证明//BF 平面ADE ;

（II)若ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.

６、如图，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形,将它沿对称

轴OO 1折成直二面角， （Ⅰ）证明:AC ⊥BO 1；

（Ⅱ)求二面角O －A Ｃ－O 1的大小。

A A

C B D

E F B

C

D

E

F A

B

C

D

O

O 1

A

B

O

C

O 1

D

7、如图：在直角三角形ＡＢＣ中，已知A Ｂ=ａ，∠ＡCB=30o ,∠B=90o ，D 为A Ｃ的中点,E 为ＢＤ的中点,A Ｅ的延长线交B Ｃ于F ，将△ABD 沿B Ｄ折起，二面角Ａ'－BD-C 的大小记为θ。

⑴求证:平面A ＇EF ⊥平面ＢCD; ⑵θ为何值时A'B ⊥CD ？ ⑶在⑵的条件下，求点Ｃ到平面A ＇BD 的距离。

存在性问题

１、如图,四棱锥,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面,

22PA AD CD AB ====,M PC 为的中点．

(1）求证：BM

PAD 平面;

（２）在侧面PAD 内找一点N

,使

MN PBD ⊥平面

E

E A

B

A F

D C

B F

C

D

2、如图，三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ＡＢC，BC⊥ＡC,ＢC=AC=2，AＡ1=3，D为AC的中点.

（Ⅰ）求证：AB１/／面BDC１；

（Ⅱ）在侧棱AA1上是否存在点P,使得ＣP⊥面BDC1？并证明你的结论.

３、直三棱柱A1Ｂ1C1—ABC的三视图如图所示,Ｄ、E分别为棱CC1和B1C1的中点。

（1)求点Ｂ到平面A1C1CA的距离；

(2）在AC上是否存在一点F，使ＥＦ⊥平面A1BＤ,若存在确定其位置，若不存在,说明理由.

N

C 1

B 1

M C

B A

４、如图,三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ,

11

2,AA AC AC AB BC ====,且AB BC ⊥,O 为AC 中点． ① 证明:1A O ⊥平面ABC ;

(２)在1BC 上是否存在一点E ,使得//OE 平面1A AB ，若不存在,说明理由;若存在，确定点E 的位置.

5、已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形. (I)证明：BN⊥平面Ｃ1B 1N ；

(II)M 为ＡＢ中点,在线段CB 上是否存在一点P ，使得ＭP∥平面CNB 1，若存在,求出BP 的长；若不存在,请说明理由.

1

A B

C

O A

1

B 1

C

俯视图

左视图

正视图444

8

6、如图,四棱锥Ｐ-ABCD 中,底面ＡＢC Ｄ是菱形,ＰA =P Ｄ，∠ＢAD =60o,E 是A Ｄ的中点,点Ｑ在侧棱PC 上.

(Ⅰ)求证：AD ⊥平面PB Ｅ;

（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证:PA // 平面BDQ ； （Ⅲ)若V P-BCDE ＝２V Q － A ＢCD ，试求

CP

CQ

的值．

7、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD /／BC ，∠A ＤＣ=90°,B Ｃ=

1

2

AD ，PA =P Ｄ，Ｑ为A Ｄ的中点． D

C

B

Q

P

E

A

（Ⅰ）求证：ＡD ⊥平面PB Ｑ；

(Ⅱ)若点M 在棱ＰC 上，设ＰM =tMC ,试确定ｔ的值,使得PA //平面ＢMQ .

8、如图，在=

2,2

ABC B AB BC P AB π

?∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于 点D ，现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ??⊥沿翻折至使平面平面

(1)当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求P Ａ的长; （２)若点P 为AB 的中点,E 为'

'

.AC B DE ⊥的中点，求证：A

P A

B

C D Q

M