九年级(上)竞赛数学试卷(含答案)

九年级（上）竞赛数学试卷(含答案)

一、选择题（本大题共8小题,每小题4分,满分32分）

1．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0,N：cx2+bx+a=0,其中a×c≠0,a≠c；以下列四个结论中错误的是（）

A．如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根

B．如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1

2．等腰三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为

（）

A．9 B．10 C．9或10 D．8或10

3．如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA 运动,到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s）,△BPQ的面积为y（cm2）,则y关于x的函数图象是（）

A． B．C．D．

4．如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC．则下列结论：

①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA?OB=﹣．

其中正确结论的个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …

y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …

由于粗心,他算错了其中一个y值,则这个错误的数值是（）

A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5

6．如图,有一块边长为6cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是（）

A．cm2 B．cm2C．cm2D．cm2

7．如图,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是（）

A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°

8．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图,直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与l相切,当P在线段OA上运动时,使得⊙P成为整圆的点P个数是（）

A．6 B．8 C．10 D．12

二、填空题（本大题共8小题,每小题4分,满分32分）

9．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0）,则a的取值范围是．

10．如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为．

11．如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半径为r,点C在上,CD⊥OA,垂足为D,当△OCD 的面积最大时,的长为．

12．某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙（墙足够长）,中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为m2．

13．在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,点P在以C为圆心,5为半径的圆上,连结PA,PB．若PB=4,则PA的长为．

14．如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点D对应的刻度是58°,则∠ACD的度数为．

15．如图,两个同心圆,大圆半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB 的取值范围是．

16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0,有以下三个结论：①当m=0时,方程只有一个实数解；②当m≠0时,方程有两个不等的实数解；③无论m取何值,方程都有一个负数解,其中正确的是（填序号）．

三、（本大题共小题,共56分）

17．⊙O为△ABC的外接圆,请仅用无刻度的直尺,根据下列条件分别在图1,图2中画出一条弦,使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹,不写作法）．

（1）如图1,AC=BC；

（2）如图2,直线l与⊙O相切于点P,且l∥BC．

18．已知如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3,∠EAC=60°,求AD的长．

19．阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题．

计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．

令++=t,则

原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t

=t+﹣t2﹣t﹣t+t2

=

问题：

（1）计算

（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣

﹣）×（+++…+）；

（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．

20．抛物线y=ax2+bx+c,若a,b,c满足b=a+c,则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线．

（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；

（2）已知“恒定”抛物线y=x2﹣的顶点为P,与x轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线,使得以PA,CQ为边的四边形是平行四边形？若存在,求出抛物线解析式；若不存在,请说明理由．

21．如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m．按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时,到地面OA的距离为m．

（1）求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题,每小题4分,满分32分）

1．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0,N：cx2+bx+a=0,其中a×c≠0,a≠c；以下列四个结论中错误的是（）

A．如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根

B．如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1

【考点】根的判别式；一元二次方程的解．

【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D

【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根,那么△=b2﹣4ac=0,所以方程N也有两个相等的实数根,结论正确,不符合题意；

B、如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同,那么△=b2﹣4ac≥0,＞0,所以a与c符号相同,＞0,所以方程N的两根符号也相同,结论正确,不符合题意；

C、如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得c+b+a=0,所以是方程N的一个根,结论正确,不符合题意；

D、如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,（a﹣c）x2=a﹣c,由a≠c,得x2=1,x=±1,结论错误,符合题意；

故选：D

2．等腰三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为

（）

A．9 B．10 C．9或10 D．8或10

【考点】根的判别式；一元二次方程的解；等腰直角三角形．

【分析】由三角形是等腰三角形,得到①a=2,或b=2,②a=b①当a=2,或b=2时,得到方程的根x=2,把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0即可得到结果；②当a=b时,方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根,由△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0可的结果．

【解答】解：∵三角形是等腰三角形,

∴①a=2,或b=2,②a=b两种情况,

①当a=2,或b=2时,

∵a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,

∴x=2,

把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得,22﹣6×2+n﹣1=0,

解得：n=9,

当n=9,方程的两根是2和4,而2,4,2不能组成三角形,

故n=9不合题意,

②当a=b时,方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根,

∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0

解得：n=10,

故选B．

3．如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA 运动,到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s）,△BPQ的面积为y（cm2）,则y关于x的函数图象是（）

A． B．C．D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上,而动点P可以在BC边、CD边、AD边上,再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式,然后根据函数的图象与性质即可求解．

【解答】解：由题意可得BQ=x．

①0≤x≤1时,P点在BC边上,BP=3x,

则△BPQ的面积=BP?BQ,

解y=?3x?x=x2；故A选项错误；

②1＜x≤2时,P点在CD边上,

则△BPQ的面积=BQ?BC,

解y=?x?3=x；故B选项错误；

③2＜x≤3时,P点在AD边上,AP=9﹣3x,

则△BPQ的面积=AP?BQ,

解y=?（9﹣3x）?x=x﹣x2；故D选项错误．

故选：C．

4．如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC．则下列结论：

①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA?OB=﹣．

其中正确结论的个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线开口方向得a＜0,由抛物线的对称轴位置可得b＞0,由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0,则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0,加上a＜0,则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c,0）,再把A（﹣c,0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0,两边除以c则可对③进行判断；设A（x1,0）,B（x2,0）,则OA=﹣x1,OB=x2,根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根,利用根与系数的关系得到x1?x2=,于是OA?OB=﹣,则可对④进行判断．

【解答】解：∵抛物线开口向下,

∴a＜0,

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,

∴b＞0,

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,

∴c＞0,

∴abc＜0,所以①正确；

∵抛物线与x轴有2个交点,

∴△=b2﹣4ac＞0,

而a＜0,

∴＜0,所以②错误；

∵C（0,c）,OA=OC,

∴A（﹣c,0）,

把A（﹣c,0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0,

∴ac﹣b+1=0,所以③正确；

设A（x1,0）,B（x2,0）,

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A,B两点,

∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根,

∴x1?x2=,

∴OA?OB=﹣,所以④正确．

故选：B．

5．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …

y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …

由于粗心,他算错了其中一个y值,则这个错误的数值是（）

A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5

【考点】二次函数的图象．

【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等,可得答案．

【解答】解：由函数图象关于对称轴对称,得

（﹣1,﹣2）,（0,1）,（1,﹣2）在函数图象上,

把（﹣1,﹣2）,（0,1）,（1,﹣2）代入函数解析式,得

,

解得,

函数解析式为y=﹣3x2+1

x=2时y=﹣11,

故选：D．

6．如图,有一块边长为6cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是（）

A．cm2 B．cm2C．cm2D．cm2

【考点】二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．

【分析】如图,由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°,由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK,根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK,四边

形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形,且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°,设OD=x,则AO=2x,由勾股定理就可以求出AD=x,由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积,由二次函数的性质就可以求出结论．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形,

∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC．

∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH,

∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．

∵折叠后是一个三棱柱,

∴DO=PE=PF=QG=QH=OK,四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．

∴∠ADO=∠AKO=90°．

连结AO,

在Rt△AOD和Rt△AOK中,

,

∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．

∴∠OAD=∠OAK=30°．

设OD=x,则AO=2x,由勾股定理就可以求出AD=x,

∴DE=6﹣2x,

∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x,

=﹣6（x﹣）2+,

∴当x=时,纸盒侧面积最大为．

故选C．

7．如图,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是（）

A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°

【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．

【分析】作OD⊥AB,如图,利用垂线段最短得OD=1,则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB=30°,根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°,则可根据圆周角定理得到∠AEB=∠AOB=60°,根据圆内接四边形的性质得∠F=120°,所以弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．

【解答】解：作OD⊥AB,如图,

∵点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,

∴OD=1,

∴∠OAB=30°,

∴∠AOB=120°,

∴∠AEB=∠AOB=60°,

∵∠E+∠F=180°,

∴∠F=120°,

即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．

故选C．

8．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图,直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与l相切,当P在线段OA上运动时,使得⊙P成为整圆的点P个数是（）

A．6 B．8 C．10 D．12

【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据直线的解析式求得OB=4,进而求得OA=12,根据切线的性质求得PM⊥AB,根据∠OAB=30°,求得PM=PA,然后根据“整圆”的定义,即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标,从而求得点P个数．

【解答】解：∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B,

∴B（0,4）,

∴OB=4,

在RT△AOB中,∠OAB=30°,

∴OA=OB=×=12,

∵⊙P与l相切,设切点为M,连接PM,则PM⊥AB,

∴PM=PA,

设P（x,0）,

∴PA=12﹣x,

∴⊙P的半径PM=PA=6﹣x,

∵x为整数,PM为整数,

∴x可以取0,2,4,6,8,10,6个数,

∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．

故选：A．

二、填空题（本大题共8小题,每小题4分,满分32分）

9．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0）,则a的取值范围是＜a＜﹣2．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围,然后根据根两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0）,结合函数图象确定其函数值的取值范围得a,易得a的取值范围．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根

∴△=（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0,

解得：a＞

设f（x）=ax2﹣3x﹣1,如图,

∵实数根都在﹣1和0之间,

∴﹣1,

∴a,

且有f（﹣1）＜0,f（0）＜0,

即f（﹣1）=a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0,f（0）=﹣1＜0,

解得：a＜﹣2,

∴＜a＜﹣2,

故答案为：＜a＜﹣2．

10．如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为1．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；矩形的性质．

【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1,1）,再根据矩形的性质得BD=AC,由于AC 的长等于点A的纵坐标,所以当点A在抛物线的顶点时,点A到x轴的距离最小,最小值为1,从而得到BD的最小值．

【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1,

∴抛物线的顶点坐标为（1,1）,

∵四边形ABCD为矩形,

∴BD=AC,

而AC⊥x轴,

∴AC的长等于点A的纵坐标,

当点A在抛物线的顶点时,点A到x轴的距离最小,最小值为1,

∴对角线BD的最小值为1．

故答案为1．

11．如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半径为r,点C在上,CD⊥OA,垂足为D,当△OCD 的面积最大时,的长为．

【考点】垂径定理；弧长的计算；解直角三角形．

【分析】由OC=r,点C在上,CD⊥OA,利用勾股定理可得DC的长,求出OD=时△OCD 的面积最大,∠COA=45°时,利用弧长公示得到答案．

【解答】解：∵OC=r,点C在上,CD⊥OA,

∴DC==,

=OD?,

∴S

△OCD

2=OD2?（r2﹣OD2）=﹣OD4+r2OD2=﹣（OD2﹣）2+

∴S

△OCD

∴当OD2=,即OD=r时△OCD的面积最大,

∴∠OCD=45°,

∴∠COA=45°,

∴的长为：=πr,

故答案为：．

12．某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙（墙足够长）,中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为75m2．

【考点】二次函数的应用．

【分析】设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x,表示出总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75即可求得面积的最值．

【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米,

则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x,

则总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75,

故饲养室的最大面积为75平方米,

故答案为：75．

13．在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,点P在以C为圆心,5为半径的圆上,连结PA,PB．若PB=4,则PA的长为3或．

【考点】点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．

【分析】连结CP,PB的延长线交⊙C于P′,如图,先计算出CB2+PB2=CP2,则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°,再根据垂径定理得到PB=P′B=4,接着证明四边形ACBP为矩形,则PA=BC=3,然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=,从而得到满足条件的PA的长为3或．【解答】解：连结CP,PB的延长线交⊙C于P′,如图,

∵CP=5,CB=3,PB=4,

∴CB2+PB2=CP2,

∴△CPB为直角三角形,∠CBP=90°,

∴CB⊥PB,

∴PB=P′B=4,

∵∠C=90°,

∴PB∥AC,

而PB=AC=4,

∴四边形ACBP为矩形,

∴PA=BC=3,

在Rt△APP′中,∵PA=3,PP′=8,

∴P′A==,

∴PA的长为3或．

故答案为3或．

14．如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点D对应的刻度是58°,则∠ACD的度数为61°．

【考点】圆周角定理．

【分析】首先连接OD,由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,可得点A,B,C,D 共圆,又由点D对应的刻度是58°,利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数,继而求得答案．【解答】解：连接OD,

∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,

∴点A,B,C,D共圆,

∵点D对应的刻度是58°,

∴∠BOD=58°,

∴∠BCD=∠BOD=29°,

∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．

故答案为：61°．

15．如图,两个同心圆,大圆半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB 的取值范围是8＜AB≤10．

【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．

【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大,什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点,此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时,弦AB最大且与小圆相交有两个公共点,此时AB最大,由此可以确定所以AB的取值范围．

【解答】

解：如图,当AB与小圆相切时有一个公共点D,

连接OA,OD,可得OD⊥AB,

∴D为AB的中点,即AD=BD,

在Rt△ADO中,OD=3,OA=5,

∴AD=4,

∴AB=2AD=8；

当AB经过同心圆的圆心时,弦AB最大且与小圆相交有两个公共点,

此时AB=10,

所以AB的取值范围是8＜AB≤10．

故答案为：8＜AB≤10

16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0,有以下三个结论：①当m=0时,方程只有一个实数解；②当m≠0时,方程有两个不等的实数解；③无论m取何值,方程都有一个负数解,其中正确的是

①③（填序号）．

【考点】根的判别式；一元一次方程的解．

【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况,进而填空．

【解答】解：当m=0时,x=﹣1,方程只有一个解,①正确；