赣县中学高中数学竞赛数论第3三讲整除(上)

第3讲 整除（一）

一、知识介绍

1、整除

①、定义：对于整数a 与)0(≠b b ，若存在整数q ，使等式bq a =成立，则称b 整除a 或

a 能被

b 整除，并记作a b ，亦称a 是b 的倍数或b 是a 的约数；若不存在这样

的整数，则称b 不整除a ，记作b

a

②、性质：（c b a ,,均为整数） ⑴、传递性：若c b b a ,，则c a ；

⑵、若a 为整数，则a )1(±；若a 为非零整数，则a a a ,0； ⑶、若∑==∈n

i i

i i i i b x a b a n i Z x b a 1,),2,1(,,则且 ； ⑷、若)(n m b ±且m b ，则n b ，Z n m ∈,；

⑸、若0,,,≠∈m Z m b a 且b a ，则bm am ，反之，亦成立； 进一步，若b a ，d c ，则d b ac ； ⑹、若b a ，则b a ≤，因此，若b a ，又a b ，则b a ±=；

⑺、b a ,互质，若c a ，c b ，则c ab ；若bc a ，则c a ；

⑻、p 为质数，若n a a a p 21，则至少有一个i a ，使得)1(n i a p i ≤≤

特别地，若p 为质数，且n a p ，则a p ；

2、整数的多项式表示：十进制中的n +1位正整数可表示成0111011101010a a a a a a a a n n n n n n +?+?+?=--- ，其中011,,,a a a a n n -都是0到9的数码)0(≠n a ，这种表示一个整数的方法叫做整数的多项式表示，0,a a n 分别叫做首位数字和末位数字（个位数字）。

二、例题讲解

例1、 当n 为正整数时，求证：n n -5能被10整除。

例2、 设c b a ,,是三个互不相等的正整数，求证：333333,,ca a c bc c b ab b a ---三个

数中，至少有一个数能被10整除。

例3、 设n 为自然数，求证：n n n n A 2358556323237+--=能被1985整除。

例4、 设p 是大于5的素数，求证：12404 p

例5、请确定最小的正整数A ，其末位数字为6，若将末位的6移至首位，其余数字不变，

则为原数的4倍。

例6、一个正整数，如果用7进位制表示，则为xyz ，如果用5进位制表示为zyx ，请用

10进位制表示此数。

第3讲 整 除 练 习

1、设自然数n 有下述性质：从1、

2、…n 中任取65个不同的数，这65个数必有两个数之差等于8，这样的n 最大的一个是___________________.

2、设q p ,是大于2的质数，求证：)(1644q p -

3、当n 为正整数时，求证：n n -5能被30整除

2、请确定最小的正整数A ，其末位数字为2，若将末位的2移至首位，其余数字不变，

则为原数的2倍。

3、一个正整数，若用九进制表示为ABC ,若用7进位制表示为CBA ,请用十进制表示此数。

4、一个八位数8319abcd 可被1983整除，求这个八位数。

附加题：

1、设}{n a 满足*11,2,1N n a a a a n n n ∈+=

=+，求数列}{n a 的通项公式

2、在圆内接四边形ABCD 中，已知

1>=CD

BC AD AB ,求证：过点A 、C 作圆的两条切线与直线BD 三线共点。

B