中考数学专题复习四点共圆模型含答案

共圆模型

模型1 共端点，等线段模型

如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．

如图②，若OA＝OB＝OC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．

如图③，常见结论有：∠ACB＝1

2∠AOB，∠BAC＝1

∠BOC.

模型分析

∵OA＝OB＝OC.

∴A、B、C三点到点O的距离相等．

∴A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．

∵∠ACB是?AB的圆周角，∠AOB是?AB的圆心角，

∴∠ACB＝1

∠AOB.

同理可证∠BAC＝1

∠BOC.

（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．

（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题．

模型实例

如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接BD．

求证：∠1＋∠2＝90°.

证明

证法一：如图①，

∵AB＝AC＝AD．∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙A上．∴∠ABC＝∠2.

在△BAC中，∵∠BAC＋∠ABC＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°.

证法二：如图②，

∵AB＝AC＝AD．∴∠BAC＝2∠1．∵AB＝AC，

∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙O上．

延长BA与圆A相交于E，连接CE．

∴∠E＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．）

∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE.

∵BE为⊙A的直径，∴∠BCE＝90°．

∴∠2＋∠ACE＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.

小猿热搜

1．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E．求证：∠1＝∠2．

证明

∵A、D关于AP轴对称，∴AP是BD的垂直平分线．

∴AD＝AB，ED＝EB．又∵AB＝AC.

∴C、B、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．

∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD. ∴∠2＝2∠EDB.又∵∠1＝2∠CDB. ∴∠1＝∠2.

2．己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的长．

解答

以A为圆心，以a为半径作圆，延长BA交⊙A于E点，连接ED．

∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA. ∵AC＝AD，

∴∠DCA＝∠CDA. ∴∠DAE＝∠CAB.在△CAB和△DAE中．

∴△CAB≌△DAE. ∴ED＝BC＝b

∵BE是直径，∴∠EDB＝90°.

在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，

∴BD

模型2 直角三角形共斜边模型

模型分析

如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，

∴A、B、C、D四点共圆．

（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；

（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．

模型实例

例１如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：

（１）图中有多少组四点共圆？

（２）求证：∠ADF＝∠ADE．

解答

（１）６组

①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；

②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；

③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；

④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；

⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；

⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．

（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.

同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.

∴∠ADF＝∠ADE．

例２如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外

角平分线于点F，求证：FE=DE.

解答

如图，连接DB、DF.

∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，

∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，

∴∠DBF=90°．

又∵∠DEF=90°，

∴D、E、B、F四点共圆．

∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．

∴△DEF是等腰直角三角形．

∴FE=DE．

1.如图，锐角△ABC中，BC.CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FG BC

证明：由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，

∴B、C、D、E四点共圆．

∴∠DBC=∠DEG，

同理，Rt∠EDF与Rt△DGE共斜边DE，

∴D、E、F、G四点共圆．

于是∠DEG=∠DFG，

因此，∠DBC=∠DFG．

于是FG∥BC

2. 如图，BE.CF为△ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：AD⊥BC.

3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.

4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.

证明：（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°，

∴D，E，H在以AT为直径的圆上，

∴∠AHD=∠ATD，∠AHE=∠ATE，

又∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC，

∴∠ATD=∠ATE，

∴∠AHD=∠AHE．

补充：

中考数学总复习专题六圆的有关证明与计算试题新人教版

专题六圆的有关证明与计算圆的切线的判定与性质【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点．（1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明；（３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵

中考数学-圆的切线证明方法

专题-------圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M,求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. D ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,

∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD ， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 例3 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP . 求证：PC 是⊙O 的切线. C D

证明：连结OC ∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线. 二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例4 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足.

中考数学几何模型之阿氏圆最值模型(解析版)

中考数学几何模型：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. A B P O 【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知R=2 5 OB ，连接 PA 、PB ，则当“PA+ 2 5 PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有2 5 PB=PC 。故本题求“PA+ 2 5 PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。

【技巧总结】计算PA k PB +g 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +g 的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB 2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值

“中考数学专题复习圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】

【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】四．“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备

3 六．“隐圆”典型例题【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离），此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。

人教版初中数学圆的经典测试题含答案解析

人教版初中数学圆的经典测试题含答案解析一、选择题 1．如图，在ABC ?中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ?绕一逆时针方向旋转40? 得到ADE ?，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( ) A ． 14 63π- B ．33π+ C ． 33 38 π- D ． 259 π 【答案】D 【解析】【分析】由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，可得AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积．【详解】 ∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ， ∴△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°， ∴AD=AB=5，S △ACB =S △AED ， ∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ， ∴S 阴影=4025360π?=259 π ，故选D. 【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等. 2．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是（） A ．圆形铁片的半径是4cm B ．四边形AOB C 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcm D ．扇形OAB 的面积是4πcm 2 【答案】C 【解析】

初中数学阿氏圆最值模型归纳

几何模型:阿氏圆最值模型【模型来源】 “阿氏圆"又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PＢ=k(k≠1),则满足条件得所有得点Ｐ得轨迹构成得图形为圆。这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆"。 A B P O 【模型建立】如图1 所示,⊙O 得半径为Ｒ,点A、B 都在⊙O外,P为⊙O上一动点,已知R=OB, 连接PA、PＢ,则当“ＰA+PB”得值最小时,P 点得位置如何确定？解决办法:如图2,在线段 OB 上截取ＯC使ＯＣ=Ｒ,则可说明△ＢPＯ与△ＰCＯ相似,则有ＰB=PC。故本题求“PA＋ＰB”得最小值可以转化为“ＰA+ＰC”得最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当A、P、C 三点共线时,“PＡ＋ＰＣ”值最小。【技巧总结】计算得最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题:在圆上找一点P使得得值最小,解决步骤具体如下: 1.如图,将系数不为1得线段两端点与圆心相连即OP,OB 2.计算出这两条线段得长度比 3.在ＯB上取一点C,使得,即构造△POM∽△BOP,则, 4.则,当A、P、C三点共线时可得最小值

典题探究启迪思维探究重点例题1、如图,在Rｔ△ABC中,∠Ｃ=90°,AＣ=4,BC=3,以点C为圆心,２为半径作圆Ｃ,分别交AC、BＣ于D、Ｅ两点,点P就是圆C上一个动点,则得最小值为________＿＿。 E A B C D P M P D C B A 【分析】这个问题最大得难点在于转化,此处P点轨迹就是圆,注意到圆Ｃ半径为2,ＣA=4, 连接CP,构造包含线段AＰ得△CPA,在ＣＡ边上取点M使得CＭ＝2, 连接ＰM,可得△CPＡ∽△CMP,故PA:ＰＭ＝2:1,即PM=. 问题转化为PM+ＰＢ≥ＢＭ最小值,故当B,Ｐ,M三点共线时得最小值,直接连BM即可得. 变式练习〉＞> 1.如图1,在RＴ△AＢＣ中,∠ＡCＢ=９0°,CＢ＝４,CA=6,圆C得半径为2,点Ｐ为圆上一动点,连接AP,BP, 求①,②,③,④得最小值。 [答案]:①＝,②=２,③=,④=.

2018中考冲刺专题—隐形圆模型基本类型图形解读与应用

2018年中考冲刺—隐形圆模型基本类型图形解读与应用一、隐形圆的四大模型【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】

【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】二、“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。破解策略：对于一个动点和一个定点之间的最值问题，若动点所在的角为直角，则其运动轨通常为圆。而连接动点所在的圆的圆心与定点之间的距离加上或减去半径，就可以求出线段的最值。因此在这类题型中，最常做的是辅助圆，找出这个圆所在的圆心，连接圆心与定点之间的连线，再求出圆心与定点之间的距离，减去或加上半径即可求出最值. “隐圆”问题的两个依据： ①圆上各点到定点（圆心O）的距离相等，都等于定长（半径R）； ②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 常考题型与解题方法： 1. 利用隐圆求几何最值； 2. 利用隐圆求变量的取值范围，实际上可以转化为求最值，即求出变量的最大值与最小值，再

进一步确定变量的取值范围； 3. 利用隐圆求弧长，角度等，针对有些平面几何问题，用常规方法求解难度极大，但若能够针对题目的本质特征，恰当地画出隐藏的圆，巧妙运用圆的有关知识找到解题捷径，往往可以化难为易，化繁为简. 三、“隐圆”题型知识储备四、链接中考—经典例题【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为________.

2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。【思考：若∠BOD=45°呢？（提示：需要构造倍角模型）】 3.如图1，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点，若A B=2，则△AOB面积最大值为_________. 4. 如图1，AC为边长为形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同速度沿BC、CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB周长的最大值___.

人教版初中数学圆的技巧及练习题

人教版初中数学圆的技巧及练习题一、选择题 1．一个圆锥的底面半径是5，高为12，则这个圆锥的全面积是（） A ．60π B ．65π C ．85π D ．90π 【答案】D 【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案. 【详解】 ∵圆锥的底面半径是5，高为12， ∴侧面母线长为2251213+=， ∵圆锥的侧面积=51365ππ??=，圆锥的底面积=2525ππ?=， ∴圆锥的全面积=652590πππ+=，故选：D. 【点睛】此题考查圆锥的全面积，圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系，熟记计算公式是解题的关键. 2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（） A ．123 B ．1536π-π C ．30312π- D ．48336π-π 【答案】C 【解析】【分析】易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．【详解】连接OE ，OF ． ∵BD=12，AD ：AB=1：2， ∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =33,S 扇形= 60361 6,633933602 OEB S ππ?==?=V

∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选：C 【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积． 3．已知，如图，点C ，D 在⊙O 上，直径AB=6cm ，弦AC ，BD 相交于点E ，若CE=BC ，则阴影部分面积为（） A ．934 π- B ． 9942 π- C ． 39 324 π- D ． 39 22 π- 【答案】B 【解析】【分析】连接OD 、OC ，根据CE=BC ，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，根据S 阴影=S 扇形-S △ODC 即可求得．【详解】连接OD 、OC ， ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°， ∵CE=BC ， ∴∠CBD=∠CEB=45°， ∴∠COD =2∠DBC=90°， ∴S 阴影=S 扇形?S △ODC = 2903360 π?? ?1 2×3×3=94π ?92.

圆中有关最值问题一.doc

圆中有关最值问题（1）教学设计一、设计思路：圆中有关最值问题是中考数学中的重要内容，是综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题。其运用性质有：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三边关系定理、对称法等。本节课以例题入手来研究圆中的有关最值问题。二、学情分析学生知识技能基础：学生在前面几节课已经认识了圆，学习了圆的有关知识，以及数学的基本结论：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三角形三边关系等基本知识，这些为本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。学生活动经验基础：通过以往的数学学习，学生已经具有了一些数学活动经验的基础；另一方面，在以往的数学活动中，学生已经经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力。三、教学目标知识与技能： 1、会利用直径是圆中最长的弦这一基本结论解决有关最值问题； 2、会利用圆外一点与圆上各点的连线中最短与最近距离这一基本事实，解决圆中有关最值问题。方法与途径：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，培养学生动手动脑、发现问题及解决问题的能力，以及推理能力和有条理的表达能力。情感与评价：通过实际操作、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思维变得更加灵活。现代教学手段：多媒体和几何画板的合理应用，增加了课时内容，激发了学生学习的积极性，突破了教学重点、难点的同时，更重要的是使复杂问题更加简单化，通过清楚的动画演示，使学生进一步感受何时取得最大值问题。四、教学重点与难点教学重点：将试题转化为最值中的有关模型教学难点：将试题转化为最值中的有关模型的方法

(名师整理)人教版数学中考《圆的综合应用》专题复习精品教案

中考数学人教版专题复习：综合复习之圆的综合应用考点题型分值圆的综合应用圆的有关概念和性质；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其判定；圆的切线的判定和性质；弧长、扇形面积的计算，圆锥的侧面展开图；圆与相似三角形、三角函数的综合运用。填空题、选择题和解答题为主，也有阅读理解题，条件开放、结论开放探索题等新的题型。 6～12分二、重难点提示重点：掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题。难点：切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题。考点精讲一、圆的基本性质 1. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等。 O A B E 如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，? ?=CD AB ；（2）若AB ＝CD （或? ? =CD AB ），则∠AOB ＝∠COD 。 O A B C D

3. 同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角。【核心归纳】圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。垂径定理是圆的轴对称性的体现，弧、弦、圆心角之间的关系定理是圆的中心对称性质的体现。二、与圆有关的位置关系 1. 点与圆位置关系：（1）点在圆内?d ＜r ；（2）点在圆上?d ＝r ；（3）点在圆外?d ＞r 。 O P r d O P r d O P r d 2. 直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交?d ＜r ；（2）直线与圆相切?d ＝r ；（3）直线与圆相离?d ＞r 。 O r d O r d O r d 3. 圆与圆的位置关系：（1）两圆内含（R ＞r ）?d ＜R －r ；（2）两圆内切（R ＞r ）?d ＝R －r ；（3）两圆相交?R －r ＜d ＜R ＋r ；（4）两圆外切?d ＝R ＋r ；（5）两圆外离?d ＞R ＋r 。 O 2 r O 1R O 2 r O 1R O 2 r O 1 R O 2 r O 1 R O 2 r O 1 R 【核心归纳】 1. 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 2. 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 4. 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上；相交两圆的连心线垂直且平分公共弦。

6.中考数学圆的综合证明题

中考复习——圆的综合证明题 1．如图，在Rt△ABC中， ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O （1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=1 2 ，求 AE AC 的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 4．如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点．（1）请直接写出∠COD的度数；（2）求AC?BD的值； 5．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求tan∠CFE的值； 6．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．

（1）判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若CD =15，BE =10，tanA=512 ，求⊙O 的直径． 7．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与OD 交于点F ，连接DF ， DC ．已知OA =OB ，CA =CB ，DE =10，DF =6．（1）求证：①直线AB 是⊙O 的切线；②∠FDC =∠EDC ；（2）求CD 的长． 8．如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别相交于点E ，F ，连接AD 与EF 相交于点G ．（1）求证：AD 平分∠CAB （2）若OH ⊥AD 于点H ，FH 平分∠AFE ，DG =1． ①试判断DF 与DH 的数量关系，并说明理由； ②求⊙O 的半径． 10．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径， OD ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CF 于点E 、 D ，且D E =DC ． A B C D E F G H O

第11讲阿氏圆最值模型(解析版)

中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. B P O

【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=2 5 OB，连接PA、PB，则当“PA+2 5 PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=2 5 R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有 2 5 PB=PC。故本题求“PA+2 5 PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、 P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。【技巧总结】计算PA k PB +g的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PA k PB +g的值最小，解决步骤具体如下： 1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1 2 PA PB +的最小值为__________． E A B C D P 【分析】这个问题最大的难点在于转化1 2 PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，

四点共圆模型

共圆模型模型1 共端点，等线段模型如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．如图③，常见结论有：∠ACB ＝12∠AOB ，∠BAC ＝1 2 ∠BOC 模型分析 ∵OA ＝OB ＝OC . ∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等． ∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上． ∵∠ACB 是?AB 的圆周角，∠AOB 是?AB 的圆心角， ∴∠ACB ＝1 2 ∠AOB . 同理可证∠BAC ＝1 2 ∠BOC . （1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题．模型实例如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AC ＝AD ，连接BD ．求证：∠1＋∠2＝90°. 证明证法一：如图①，图① O A C B 图② B O C A 图③ O A B C 2 1B C D A 图① 2 1C D A B 图② 12 B A C E D

∵AB ＝AC ＝AD ． ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上． ∴∠ABC ＝∠2. 在△BAC 中，∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②， ∵AB ＝AC ＝AD ．∴∠BAC ＝2∠1．∵AB ＝AC ， ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上．延长BA 与圆A 相交于E ，连接CE ． ∴∠E ＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE ＝AC ，∴∠E ＝∠ACE . ∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE ＝90°． ∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°. 小猿热搜 1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，在△ABC 的外侧作直线AP ，点B 与点 D 关于AP 轴对称，连接BD 、CD ，CD 与AP 交于点E ．求证：∠1＝∠2．证明 ∵A 、D 关于AP 轴对称，∴AP 是BD 的垂直平分线． ∴AD ＝AB ，ED ＝EB ．又∵AB ＝AC . ∴C 、B 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∵ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∴∠2＝2∠EDB .又∵∠1＝2∠CDB . ∴∠1＝∠2. 2．己知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a ＞b ，求BD 的长．解答以A 为圆心，以a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ． ∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DAE ＝∠CDA . ∵AC ＝AD ， ∴∠DCA ＝∠CDA . ∴∠DAE ＝∠CAB .在△CAB 和△DAE 中． AD AC DAE CAB AE AB =?? ∠=∠??=? ∴△CAB ≌△DAE . ∴ED ＝BC ＝b ∵BE 是直径，∴∠EDB ＝90°. 在Rt △EDB 中，ED ＝b ，BE ＝2a ， 1 2 P B A C E D A D 21 P E C B A C B D B C E D A

人教版初中数学圆的经典测试题

一、选择题 1．如图，ABC ?是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，12BC =，阴影部分是ABC ?的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）. A ． 16 B ．6π C ．8π D ．5 π 【答案】B 【解析】【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．【详解】解：∵AB=5，BC=4，AC=3， ∴AB 2=BC 2+AC 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 的内切圆半径= 4+3-52=1， ∴S △ABC = 12AC?BC=12 ×4×3=6， S 圆=π， ∴小鸟落在花圃上的概率= 6π ，故选B ．【点睛】本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式. 2．如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是（）

A ．13π B ．1324π+ C ．1324π- D ．524π+ 【答案】C 【解析】【分析】先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）即可得解．【详解】解：∵S 扇形FCD 29036096ππ==??，S 扇形EAD 2 40360 94ππ==??，S 矩形ABCD 6424=?=， ∴S 阴影＝S 扇形FCD ﹣（S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD ）＝9π﹣（24﹣4π）＝9π﹣24+4π ＝13π﹣24 故选：C ．【点睛】本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）是解答本题的关键． 3．下列命题中，是假命题的是( ) A ．任意多边形的外角和为360 B ．在AB C 和'''A B C 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=，则ABC ≌'''A B C C ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边 D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D 【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析．【详解】解：A. 任意多边形的外角和为360,是真命题； B. 在ABC 和'''A B C 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=，则ABC ≌'''A B C ，根据HL ，是真命题；

中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)

圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线；（2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△

△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△

△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ．（1）求证：EF △BC ；（2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．

利用阿氏圆求几何最值应用举例一

阿氏圆及其应用举例（1）一、什么是阿氏圆？已知平面上两点A 、B ，则所有符合＝k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．二、阿氏圆基本解法：构造三角形相似．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、 BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1 2 PA PB 的最小值为__________． E A B C D P M P D C B A 分析：在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM 、PC ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=1 2PA ．问题转化为PM+PB 最小值，连BM 即可．三、阿氏圆应用举例例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则AP +BP 的最小值为（） A ．7 B ．5 C ． D ． B P O

解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴＝， ∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴＝＝，∴PM＝PA， ∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM＝＝5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP+BP的最小值为（） A．B．6C．2 D．4 解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP 的最小值为，故选：A．例3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．解：∵2AD+3BD= 2 3 3 AD BD ?? + ? ?? ，∵求 2 3 AD BD +最小值即可, 在CA上截取CM，使得CM＝4，连接DM，BM．

人教版初中数学圆的经典测试题附答案

人教版初中数学圆的经典测试题附答案一、选择题 1．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，对角线10AC =，O e 内切于ABC ?，则图中阴影部分的面积是（） A ．24π- B ．242π- C ．243π- D ．244π- 【答案】D 【解析】【分析】先根据勾股定理求出BC ，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设 O e 的半径为r ，利用面积法求出r=2，再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴影的面积．【详解】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B=90°， ∵6AB =，10AC =， ∴BC=8，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设O e 的半径为r ， ∵O e 内切于ABC ?， ∴OH=OE=OF=r ， ∵11 ()22 ABC S AB BC AB AC BC r =?=++?V ， ∴ 11 68(6108)22r ??=++?，解得r=2， ∴O e 的半径为2， ∴21 68-2 224-4ABC O S S S ππ=-=???=V e 阴影，故选：D ．

【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形内切圆的定义，阴影面积的求法，添加合适的辅助线是解题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( ) A．1 B．3 2 C．3D． 5 2 【答案】A 【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE=1 2 AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解. 【详解】解：连接CE， ∵E点在以CD为直径的圆上， ∴∠CED=90°， ∴∠AEC=180°-∠CED=90°， ∴E点也在以AC为直径的圆上，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8， ∴OC=1 2 AC=4， ∵BC=3，∠ACB=90°， ∴22 OC BC ，

圆中的最值问题

圆中的最值问题【考题展示】题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，+的最大值.（有修改）求a b 题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________．题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120 A BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为 ∠=?，6 _________．（有修改）题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________．题1图题2 图题3 图

题4图题5图【典题讲练】类型1（相关题：题5） 1.1 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________． 1.2在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件． 1.3 如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y 轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动．（1）当A在原点时，求点B的坐标；（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．

中考数学几何模型9：隐圆模型

中考数学几何模型9：隐圆模型名师点睛拨开云雾开门见山【点睛1】触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可

（4）四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补则A 、B 、C 、D 四点共圆备注：点A 与点C 在线段AB 异侧（5）四点共圆模型② 固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等则A 、B 、C 、P 四点共圆备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB 绕点O 旋转一周，点M 是线段AB 上的一动点，点C 是定点（1）求CM 最小值与最大值（2）求线段AB 扫过的面积（3）求ABC S △最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OM ⊥AB ，B 、A 、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆结论：①CM 1最小，CM 3最大

②线段AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积 ③ABC S △最小值以AB 为底，CM 1为高；最大值以AB 为底，CM 2为高典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A `MN ，连接A `C ，则A `C 长度的最小值是__________． A' N M A B C D 变式练习>>> 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．

中考数学专题复习 四点共圆模型 含答案