投资组合理论

第三章 投资组合理论

一、概述

现代投资学最根本的特征是在其理论和方法中对投资风险的关注。他们讨论的一系列问题的立足点在于投资者的投资决策基于对两个目标——预期收益最大化和不确定性（风险）最小化的全盘考虑。现代投资组合理论为这种全盘考虑提供了一种行之有效的途径。

任何投资者都希望投资获得最大的回报，但是较大的回报伴随着较大的风险。为了分散风险或减少风险，投资者投资证券组合（portfolio ），目的是在适当的风险水平下通过多样化获得最大的预期回报，或者获得一定的预期回报时风险最小。

在1952年马柯维茨（Harry M. Markowitz ）发表了一篇里程碑性的论文。被公认为“现代组合理论”的开端。马柯维茨证券组合理论给予证券组合的预期回报和风险以定量分析。

二、资产组合的预期回报和风险 （一）概念

资产组合：使用不同的证券和其他资产构成的资产，是一个各种证券和资产的聚集。

投资者的持有期：投资者有一笔资金在现时进行投资，这笔资金要投资一段特定的时

间，即所谓投资者的持有期。

回报率：投资者财富在持有期的变化率。其可表示为：

期初财富

期初财富

期终财富回报-=

（二）预期回报

1．证券组合预期回报率的计算：

假设证券组合由n 个基本证券组成。可以计算从t-1期到t 期的预期回报率：

1

1

)()(---=

t t t P W W W E R E (3.1)

其中，证券组合在t 时期的财富为 ∑==

n

i it

t X

W 1

，it X 是在t 时期包含在证券组合中的第i

个基本证券的财富（该财富通常用该证券在t 时刻的价格来衡量）。因此，1-t W 为t-1时期包含在组合中的证券的综合价格；t W 为t 时期这些证券的综合价格，以及从t-1时期到t 时期之间收到的现金（或等价的现金）的综合值。 ∑==

n

i i P Ri E w R E 1

)()( （3.2）

其中，i w 表示财富的权重，E 表示期望值，P R 表示资产组合的回报率，i R 表示证券i 的回报率。

∑=--=

n

i t i t i i X

X w 1

1

,1

, 1

,1

,,)()(---=

t i t i t i i X X X E R E

并且

11

=∑=n

i i

w

。

因此，有两种方法计算资产组合的预期回报。根据(3.1)式，投资者在t-1期投资总额为

1-t W ，并且在t 时期，预期值为)(t W E ，即可计算从t-1期到t 期的资产组合的预期回报)(P R E 。根据(3.2)式，)(P R E 时期基本证券的预期回报和在证券组合的市值中占的百分比

（权重）的乘积之和。

2．计算示例

[例3.1]由甲、乙和丙三种基本证券组成的证券组合，计算在t 期的预期回报。已知的证

t-1期证券组合的市值1-t W =17200元，权重之和=1。

假设投资者有一年的持有期，他估计在这一段期限内甲、乙和丙三种证券的预期回报率分别为16.2%、

24.6%和22.8%。也就是说，投资者估计这三种证券的期末价值分别为46.48元[因为(46.48-40)/40=16.2%]，43.61元和76.14元。

法1：使用t 期预期值t W 计算预期回报率 证券组合的预期值)(t W E =20984元

证券组合的预期回报)(P R E =(20984-17200)/17200=22.00%

证券组合的预期回报率)(P R E =22.00%

3．小结

因为一个组合的预期回报率是其所含证券的预期回报率的加权平均，每一证券对组合的预期回报率的贡献依赖于它的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其他一

切无关。一位仅仅希望预期收益最大的投资者将持有一种证券，这种证券是他认为预期收益率最大的证券。很少有投资者这样做，也很少有投资顾问会提供这样一个极端的建议。相反，投资者将分散化投资，即他们的组合将包含不止一种证券。这是因为分散化可以减少由标准差所测度的风险。

（三）证券组合的标准差

投资者投资总希望获得尽可能大的预期回报，但他们同时需要考虑风险。一个有用的风险测度应该以某种方式考虑各种可能的“坏”结果的概率及“坏”结果的量值。取代测度大量不同可能结果的概率，风险测度将以某种方式估计实际结果与期望结果之间可能的偏离程度。 标准差就是这样一个测度。

1．概念

测度风险的标准差：回报相对于它的预期回报的离散程度。 2．标准差的计算

（1）如果证券组合由n 个基本证券组成， 那么证券组合的方差为

∑∑===n i n

j ij j i P

w w 11

2σσ （3.3）

其中，i w 为证券i 占投资额的百分比（权重）；

))]())(([(j j i i ij R E R R E R E --=σ是证券i 和j 的回报的协方差。当i=j 时即为证

券i 的方差，即2i ii σσ=。

协方差是两个证券的回报同时变化的测度。如果协方差是正数，证券i 的回报大于预期回报，换句话说，证券i 和证券j 在同一方向变化。如果协方差是负数，两个证券回报必向相反方向变化，即其中一个补偿另一个。

为了能更清楚说明两个证券的相关程度，通常把协方差正规化，使用证券i 和j 的相关系数ij ρ

j

i ij

ij σσσρ=

（3.4） 其中，i σ和j σ分别是证券i 和j 的方差。

相关系数总落在-1和+1之间：当1=ij ρ时，证券i 和j 是完全正相关的； 当1-=ij ρ时，证券i 和j 是完全负相关的； 当0=ij ρ时，证券i 和j 是不相关的。

下列各图展现了不同相关程度的两个证券A 和B 的回报率的散点图。

图3-1两种证券的收益

（2）由两种证券构成的证券组合的方差 212,1212222212122σσρσσσw w w w P ++= (3.5）

当12,1=ρ时，

2211σσσw w P +=

当12,1-=ρ时，||2211σσσw w P -=

当02,1=ρ时，2

122

222121

)(σσσw w

P +=

显然，证券组合的标准差在12,1=ρ时最大，12,1-=ρ时最小。 3．计算示例

[例3．2]有两种证券的预期回报和标准差分别为%20)(1=R E ，%101=σ；

%30)(2=R E ，%202=σ。并且权重%401=w ，%60=i w 。试分别计算2,1ρ=1，0.5，

-0.5，和-1时的证券组合的标准差。

12,1=ρ时

%16%20%60%10%402211=?+?=+=σσσw w P

5.02,1=ρ时

%

42.14)2.01.05.06.04.022.06.01.04.0()

2(2

12

2

2

2

2

1212,12122

222121=?????+?+?=++=σσρσσσw w w w P 02,1=ρ时

%

65.12)2.06.01.04.0()

(2

122222

122

22

21

21

=?+?=+=σσσw w P 5.02,1-=ρ时

%

58.10)2.01.05.06.04.022.06.01.04.0()

2(2

12

2222

1

212,1212

2222121=?????-?+?=++=σσρσσσw w w w P 12,1-=ρ时，

%

8|2.06.01.04.0||

|2211=?+?=-=σσσw w P 4．小结

可以看出，证券组合通过多样化减少了风险，即使在这两个证券完全正相关的情况下，证券组合的标准差也比基本证券中第二个证券的标准差要小。从上述情况可知，两个证券的相关程度对证券组合的标准差有很大影响。随着相关程度从完全正相关到完全负相关，证券组合的标准差减小到最小。不过在实际操作中很难找到完全负相关的证券。

总之，投资组合的标准差依赖与各基本证券的标准差、投资比例以及同其他基本证券间的协方差。所以一般地，投资者可购买的证券组合由无穷多种，他们需要从中找出最优的证券组合。因此，导出有效集理论。

三、证券组合分析

（一）Markowitz 有效集 1．可行集

（1） 概念

可行集[feasible set]：可行集也称为机会集，它代表由N 种基本证券所形成的所有组合。 （2） 图示

图3-2对可行集的位置提供了描述。所有可能的组合可以位于可行集的边界上或内部（图中的G 、E 、S 和H 就是这样的组合的例子）。一般的，这个集合有一个如图所示的伞形形状。依赖于所包含的特定证券，它可能更右或更左，更高或更低，更胖或更瘦一些。除非出现反常情况，其形状看起来应该与图中所示相似。

(P R E

P σ

图3-2 可行集和有效集

横轴为标准差P σ，纵轴为预期回报)(P R E 。

2．有效集 （1）概念

有效集（有效边界）[efficient set （frontier ）]：可行集中满足下列两个条件的证券组合

叫做Markowitz 有效集：（1）对每一风险水平，提供最大预期回报率；

(2) 对每一预期回报率水平提供最小的风险。

(2) 图示

将有效集定理应用于可行集可对有效集进行定位。

首先，满足的一个条件的组合集必须被确定。如图3-2，没有哪一个组合提供比组合E 更小的风险，同时也没有一个组合提供比H 更大的风险。于是，随着风险水平的变化，提供最大预期回报率的组合集是可行集介于E 和H 之间的“北部”边界上的组合集。

接下来考虑第二个条件，没有哪个组合提供比组合S 更大的预期回报率，同样，没有哪个组合提供比组合G 更低的预期回报率。于是随着预期回报率水平的变化，提供最小风险的组合集是可行集介于G 和S 之间的“西部”边界上的组合集。

为了确定有效集，两个条件必须被同时满足。我们可以看到只有位于E 和S 之间的“西北部”边界上的组合是如此。由此，这些组合形成有效集，从这个有效组合的集合中，投资者将发现他的最佳组合，所有其它可行组合是无效组合。 （3） 组合的边界

根据[例3.2]，按照不同的相关系数和权重得到的证券组合（)(P R E ，P σ）的不同值，我们可做出图3-3。

图中，绿线为1-=ρ时的证券组合；红线为1+=ρ时的证券组合。

证券组合边界的上限和下限分别出现在两种证券的相关系数为+1和-1的时候，这就意味着，这两种证券的任何组合的标准差不会位于连接着两种证券的直线（AB ）的右边；也不会位于连接这两种证券的折线（ACB ）的左边。

(P R E

10% 15% 20% P σ

图3-3 证券A 和B 构成的证券组合

（4） 组合的实际位置

从图3-3中我们还可看出，兰线为0=ρ时的证券组合；绿线与兰线之间的为5.0-=ρ时的证券组合；兰线与红线之间的为5.0=ρ时的证券组合。所以，如果相关系数小于0，组合曲线将更加向左弯曲；如果相关系数大于0，向左弯曲程度减弱。证券组合随着基本证券所这相关系数减小而凹向纵轴。因此，相关系数在-1和+1之间的有效集是凹的。 （5） 有效集的凹性

有效集不可能不是下凹形的。如果在图3-4中有效集UV 之间有凹陷（即有效集是非凹的），由于投资者可能投资在证券U 和V 上，这时证券U 和V 组合的证券组合必在有效集UV 的左边，比具有相同预期回报位于有效集UV 上的点W 更有效。

因为，如果证券U 和V 的相关系数为1，证券组合必在直线UV 上，与W 有相同预期回报的证券组合Z 的标准差小于W 的标准差；而U 和V 的相关系数实际上小于等于1。因此，证券组合的标准差可能小于或更小于W 的标准差，证券组合Y 的标准差比W 更小。

)(P R E

Y σ Z σ W σ P σ

图3-4 有效集的凹性

（二）最优证券组合的选择 1．无差异曲线 （1）概念

无差异曲线：表示一个投资者对风险和收益的偏好的曲线。 （2）性质

1）一条给定的无差异曲线上的所有组合对投资者来说，其提供的满意程度是相同的。

推论：无差异曲线不能相交。

2）一个投资者将发现位于一条“更西北”的无差异曲线上的组合比“更东南”的无差异

曲线上的组合更满意。

3）我们假设投资者不喜爱风险（risk averse ），从这个假设可以得到无差别曲线有正的斜

率并且是凸的。

（3）不同类型风险厌恶投资者的无差异曲线

(P R E (P R (P R E

P σ P σ P σ

高度风险厌恶投资者 中等风险厌恶投资者 轻微风险厌恶投资者 图3-5 不同风险厌恶投资者的无差异曲线

2．最优证券组合的选择 （1）概念

预期效用原理：效用函数U 是财富W 的函数，即)(W U U =。根据公式（3.1）效用函数又是回报的函数。而预期效用是预期回报和标准差的函数。预期效用原理是使投资者的预期效用最大。

最优证券组合：一个投资者选择的一个有效的证券组合并且具有最大的效用。 （2）最优证券组合的选择（optimal portfolio ）

最优证券组合在有效集和具有最大可能效用的无差别曲线的切点上。由于风险厌恶的投资者的无差异曲线是正斜率且下凸形的，而且有效集一般是正斜率且下凹形的，这意味着投资者的无差异曲线与有效集的切点只有一个。

(P R E

P σ

图3-6 最优证券组合的选择

（三）市场模型 1．简介

在求Markowitz 有效集时需要计算证券组合的协方差矩阵。如果证券组合由n 个证券组成，需要估计n(n-1)/2个协方差。许多机构投资者可能需要估计更多个证券，因此需要简化

协方差的计算，W. Sharpe 的市场模型可以被用来简化协方差的计算。 2．市场模型 （1）公式

市场模型假设一种普通股在某一给定时期内的收益率与同一时期市场指数的回报率相联系。市场模型可表示为

it It i i it e R R ++=βα (3.6) 其中：it R 为证券i 在期间t 的回报率； It R 为市场指数在期间t 的回报率； i α为截距项，是证券i 不计市场回报水平的常数回报；

i β为斜率项，是证券i 的回报率相对于市场指数的回报率的敏感性；

it e 为随机误差项，是在时期t 的实际回报和给定市场回报时的预期回报之间的差。 （2）分析

①随机误差项：其表示证券回报率中没有被市场模型所完全解释的部分。随机误差项可看作一个随机变量，它的平均和为零，即它的数学期望0)(=it e E 。因此，证券i 的预期回报率为 )()(It i i it R E R E βα+= （3.7）

②贝塔值:假定市场指数和随机误差项不相关，有

2),(I I i i R R Cov σβ=，2I σ是I R 的方差。

（3.8） β值大于1表示这种证券回报率的波动比市场指数的波动更大，β值小于1表示比市场的回报波动小。

除假设随机误差项的数学期望是零，市场指数和随机误差项不相关外，再增加证券和证券的误差项是不相关的。可以得到

2

2

2

2

i I i i εσσβσ+= （3.9） 2

),(I j i j i R R Cov σββ= (3.10) （3）市场模型的图形表示

图3-7（a ）中的直线提供了证券A 的市场模型的图形，其对应于方程

I A R R 2.1%2+= 图3-7（b ）表示证券B 的市场模型，其对应于方程 I B R R 8.0%1+-=

A R

B R

14%

7% 8% 3%

%2=AI σ %1-=BI σ

5% 10% I R 5% 10% I R (a)证券A (b)证券B

图3-7 市场模型

（4）使用市场模型简化计算

假设，证券组合包含n 个证券需要计算，则

使用市场模型：n 个i α值 n 个i β值 n 个2

i εσ值

1个市场指数的预期回报率 + 1个市场指数的方差 3n+2个估计值 而Markowitz 有效集需要投入 n 个预期回报率 n 个方差

+ n(n-1)/2个协方差 n(n+3)/2个估计值

因此，市场模型大大简化了协方差的估计问题。

（四）多样化

1．单个证券的风险

根据市场模型，任何证券i 的总风险都是用它的方差来测度，记为2i σ，根据（3.9）式，它由两部分组成：（1）市场风险（或系统风险）22I i σβ，以及（2）个别风险（或非系统风险）2

i εσ。

2．组合的风险

我们已知一个证券组合的回报率总是基本证券的回报率的加权平均， ∑==n

i i P Ri E w R E 1)()(（公式（3.2）

），进一步我们可导出组合的市场模型： Pt It P P Pt e R R ++=βα （3.11）