新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分式化简与求值
新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分
式化简与求值
新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分
式化简与求值
一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）
1．（4分）已知x2+x﹣3=0，则=_________．
2．（4分）若，则=_________．
3．（4分）若a、b、c满足解：a+b+c=0，abc＞0，且，y=，则x+2y+3xy=_________．
4．（4分）已知，则=_________．
5．（4分）若，则的值是_________或_________．
6．（4分）若==，那么的值等于_________．
7．（4分）已知a、b、c满足a2+b2+c2=1，，那么a+b+c的值为
_________．
8．（4分）已知，，，则x的值为_________．
9．（4分）若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为_________．
二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）
10．（3分）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：
①②③④．其中正确的是（）
A．①③B．①④C．②④D．②③
11．（3分）如果，，那么等于（）
A．1B．2C．3D．4
12．（3分）设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）
A．3b=2c B．3a=2b C．2b=c D．2a=b
13．（3分）若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则的值等于（）
A．B．C．﹣15 D．﹣13
14．（3分）设轮船在静水中速度为v，该船在流水（速度为u＜v）中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设u=0，即河流改为静水，该船从A至B再返回A，所用时间为t，则（）
A．T=t B．T＜t
C．T＞t D．不能确定T、t的大小关系
15．（3分）设a、b、c满足abc≠0，且a+b=c，则的值为（）A．﹣1 B．1C．2D．3
16．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）
A．﹣1 B．C．2D．
17．（3分）已知﹣列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1=8，a7=5832，，则a5为（）A．648 B．832 C．1168 D．1944
18．（3分）已知x2﹣5x﹣1991=0，则代数式的值为（）
A．1996 B．1997 C．1998 D．1999
三、解答题（共9小题，满分87分）
19．（10分）（1）化简，求值：，其中a满足a2+2a﹣1=0；
（2）设a+b+c=0，求的值．
20．（8分）已知，其中x、y、z互不相等，求证：x2y2z2=1．
21．（9分）（1）已知b2=ac，求的值；
（2）已知x、y、z满足，求代数式的值．
22．（10分）设a、b、c满足，求证：当n为奇数时，．
23．（10分）已知a2﹣a﹣1=0，且，求x的值．
24．（10分）（1）已知实数a满足a2﹣a﹣1=0，求a8+7a﹣4的值．
（2）已知，求的值．
25．（10分）已知xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16，求代数式的值．
26．（10分）不等于0的三个数a、b、c满足，求证：a、b、c中至少有两个互为相反数．
27．（10分）（2001?天津）某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员．他们先用两天将第一、二两个车间的成品检验完毕后，再去检验第三、四两个车间所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B组检验员也检验完余下的五个车间的成品，如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．
（1）用a，b表示B组检验员检验的成品总数；
（2）求B组检验员的人数．
新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分
式化简与求值
参考答案与试题解析
一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）
1．（4分）已知x2+x﹣3=0，则=﹣3．
考点：分式的基本性质．
专题：计算题．
分析：由已知条件x2+x﹣3=0，得x2+x=3，代入所求的式子就可以求出式子的值．
解答：解：由已知条件x2+x﹣3=0，得x2+x=3，
∴原式===﹣3．
故答案为﹣3．
点评：分式变形后，分子与分母整体约分，是解决本题的基本方法．
2．（4分）若，则=．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题；整体思想．
分析：
先将化简为含有的形式，然后代入进行求值．
解答：
解：=
=
=，把代入得：
a×=．
故答案为：．
点评：本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是把所求分式化简成含有的形式，然后根据条件求解．
3．（4分）若a、b、c满足解：a+b+c=0，abc＞0，且，y=，则x+2y+3xy=2．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题；探究型．
分析：由a+b+c=0，abc＞0，可确定出a、b、c三个数中必有两个为负值，一个为正值
根据绝对值的含义及可得出x=﹣1
由a+b+c=0与推出y=3
将x、y代入x+2y+3xy即可求解．
解答：解：由a+b+c=0，abc＞0可知a、b、c三个数中必有两个为负值，一个为正值，
a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，
∴=1﹣1﹣1=﹣1，
，
=，
=，
=，
=，
=，
=，
=﹣3，
则x+2y+3xy=﹣1+2×（﹣3）+3×（﹣1）×（﹣3）=2，
故答案为2．
点评：本题主要运用a3+b3+c3=3abc（a+b+c=0）这一结论及绝对值的含义来解题．同学们一定弄清y的推导过程．4．（4分）已知，则=．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：
设=k，则a=﹣，b=，c=，代入即可求出答案．
解答：
解：设=k，
解得：a=﹣，b=，c=，代入，
=，
=．
故答案为：．
点评：
本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是设出=k，把a，b，c分别用k表示出来，然后再代入求解．
5．（4分）若，则的值是﹣2或0．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：
引入参数，利用参数寻找a、b、c、d的关系．设=k，根据关系即可求得k的值，进而求解．
解答：
解：设=k，则d=ak，c=dk=ak2，b=ck=ak3，a=bk=ak4．
∴k4=1，即k=±1．
当k=1时，a=b=c=d．原式=0；
当k=﹣1时，则a=﹣b=c=﹣d，则原式=﹣2．
点评：在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．
6．（4分）若==，那么的值等于8或﹣1．
考点：分式的化简求值．
分析：
观察与发现，后者是通过前者相乘得来．那么只要找出的值解出，因此设通过变换化为（a+b+c）（k﹣2）=0那么可能是a+b+c=0或k=2对这两种情况分别讨论．
解答：解：
设若===k，
则a+b=kc，b+c=ka，c+a=kb
（a+b）+（b+c）+（c+a）=kc+ka+kb
2（a+b+c）=k（a+b+c）
即（a+b+c）（k﹣2）=0
所以a+b+c=0或k=2
①当a+b+c=0时，则a+b=﹣c，，同理、
所以=﹣1
②当k=2时，
所以=8
故答案为8或﹣1
点评：
做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设，做到这步已经成功了一半．因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系．
7．（4分）已知a、b、c满足a2+b2+c2=1，，那么a+b+c的值为0，1，﹣1．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：
由，那么（a+b+c）（++）=0，即可求解．
解答：
解：由，那么（a+b+c）（++）=0，
∴a+b+c=0或++=0，
当++=0时，ab+bc+ac=0，
∵a、b、c满足a2+b2+c2=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，
∴a+b+c=±1，
故答案为：0或1或﹣1．
点评：
本题考查了分式的化简求值，属于基础题，关键是由变形为
（a+b+c）（++）=0．
8．（4分）已知，，，则x的值为．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题；整体思想．
分析：
已知=1，=2，=3，则：=1，即=1；（1）
，即；（2）
，即．（3）
利用加减法解这个三元方程组即可．
解答：
解：已知=1，=2，=3，则：
=1，即=1；（1）
，即；（2）
，即．（3）
（2）﹣（3）得到：（4）
（1）﹣（4）得到：=，
解得：x=．
故答案为：．
点评：
把已知=1变形为=1是解决本题的关键，巧妙利用整体思想可使问题得到有效解决．
9．（4分）若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为1．
考点：代数式求值；解分式方程．
分析：先用未知数x表示y，z，再根据解分式方程的步骤求出x的值，代入从而得到xyz的值．
解答：
解：因为，
所以4（4x﹣3）=x（4x﹣3）+7x﹣3，
解得．
从而，．
于是．
故答案为1．
点评：本题考查了分式方程的解法．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．本题解题的关键是用一个未知数表示另两个未知数．
二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）
10．（3分）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：
①②③④．其中正确的是（）
A．①③B．①④C．②④D．②③
考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：
利用已知条件a、b、c、d都是正实数，且，进行灵活变形即可得出答案．
解答：解：
，
故选D．
点评：本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是运用已知条件进行灵活变形．
11．（3分）如果，，那么等于（）
A．1B．2C．3D．4
考点：分式的化简求值．
分析：所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．
解答：
解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，
两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，
展开，得1﹣﹣a+=1
去分母，得ac+2=2a
两边同除以a，得c+=2．
故选B．
点评：本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法．
12．（3分）设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）
A．3b=2c B．3a=2b C．2b=c D．2a=b
考点：比例的性质；分式的化简求值．
分析：利用等比性质即可求得a=2b，代入即可求得b，c的关系．
解答：
解：由等比性质可得：===，
∴a=2b，
把a=2b代入=得，3b=2c．
故选A．
点评：本题主要考查了等比性质，正确利用等比性质是解决本题的关键．
13．（3分）若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则的值等于（）
A．B．C．﹣15 D．﹣13
考点：解三元一次方程组．
专题：计算题．
分析：
先由解得，再代入即可．
解答：
解：由
解得，
代入==﹣13，
故选D．
点评：本题的实质是考查三元一次方程组的解法通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．
14．（3分）设轮船在静水中速度为v，该船在流水（速度为u＜v）中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设u=0，即河流改为静水，该船从A至B再返回A，所用时间为t，则（）
A．T=t B．T＜t
C．T＞t D．不能确定T、t的大小关系
考点：分式的乘除法；列代数式（分式）．
分析：船在流水中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间=路程÷顺水速度+路程÷逆水速度，顺水速度=静水中的速度+流水速度，逆水速度=静水中的速度﹣流水速度，据此列式进行比较．
解答：
解：由题意得，T=，
t=，
∵=＞1，
即T＞t，
故选C．
点评：此题考查分式的乘除运算和列代数式，读懂题意的同时运用除法进行比较分式的大小，有点难度．
15．（3分）设a、b、c满足abc≠0，且a+b=c，则的值为（）A．﹣1 B．1C．2D．3
考点：分式的化简求值．
分析：由a+b=c，可得b=c﹣a，c=a+b，a=c﹣b，然后对所求分式进行变形，先利用平方差公式变形，再根据需要代入b=c﹣a，c=a+b，a=c﹣b，进行变形，再利用分数的性质化简即可求值．
解答：解：∵a+b=c，
∴b=c﹣a，c=a+b，a=c﹣b，
∴++，
=++，
=++
=++
=++
=1+1﹣1
=1
故选B．
点评：本题利用了等式的性质、分数的性质、平方差公式以及整体代入的有关知识．
16．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）
A．﹣1 B．C．2D．
考点：分式的化简求值．
分析：
由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．
解答：解：由a+b+c=2，两边平方，
得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，
将已知代入，得ab+bc+ac=；
由a+b+c=2得：c﹣1=1﹣a﹣b，
∴ab+c﹣1=ab+1﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1），
同理，得bc+a﹣1=（b﹣1）（c﹣1），
ca+b﹣1=（c﹣1）（a﹣1），
∴原式=++
=
=
=
==﹣．
故选D．
点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．17．（3分）已知﹣列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1=8，a7=5832，，则a5为（）A．648 B．832 C．1168 D．1944
考点：分式的化简求值；约分．
专题：计算题；探究型．
分析：
列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，假设
仅知道a1=8，a7=5832，因而要想法用a1，a7表示出k的关系，进而求出k的值．
观察发现，只有将各式分子分母分别相乘，才能最终剩余a1，a7，k即
解得k，利用上面的原理也可以化为，那么a5就能解得．
解答：
解：令=k，
则?，
即，
解得，
?，
解得a5===648．
故选A．
点评：做好本题的关键是注意观察虚拟一个比值k，再利用已知条件a1=8，a7=5832，k找到他们间的关系，进而找到a1，a5，k间的关系，问题就能解决．本题虽是选择题，但也有一定难度，也可做为大题出现．
18．（3分）已知x 2﹣5x ﹣1991=0，则代数式
的值为（ ）
A ． 1996
B ． 1997
C ． 1998
D ． 1999
考点： 分式的化简求值．
分析： 首先要化简分式到最简，再把已知条件变形，代入即可． 解答：
解：=
=
=
=
=x 2﹣5x+8；
∵x 2﹣5x ﹣1991=0， ∴x 2﹣5x=1991，
∴原式=1991+8=1999． 故选D ．
点评： 解答此题的关键是把分式化到最简，这个过程难度较大．
三、解答题（共9小题，满分87分） 19．（10分）（1）化简，求值：
，其中a 满足a 2+2a ﹣1=0；
（2）设a+b+c=0，求的值．
考点：
分式的化简求值． 分析： （1）先把分式化简，再代入求值即可； （2）由已知可得a+b=﹣c ，c=﹣a ﹣b ，则2a 2+bc=2a 2+b （﹣a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a+a+b ）=（a ﹣b ）（a ﹣c ），同理
2b 2+ac=（b ﹣c ）（b ﹣a ），2c 2+ac=（c ﹣a ）（c ﹣b ），代入所求代数式计算即可． 解
答： 解：
（1）原式==； ∵a 2+2a ﹣1=0， ∴a 2+2a=1， ∴原式==1；
（2）由已知可得a+b=﹣c ，c=﹣a ﹣b ，
则2a2+bc=2a2+b（﹣a﹣b）=（a﹣b）（a+a+b）=（a﹣b）（a﹣c），
同理2b2+ac=（b﹣c）（b﹣a），2c2+ab=（c﹣a）（c﹣b），
∴原式
==
，
∵b=﹣a﹣c，
∴a2（b﹣c）﹣b2（a﹣c）+c2（a﹣b）
=a2（﹣a﹣2c）﹣（a+c）2（a﹣c）+c2（a+a+c）
=﹣a3﹣2a2c﹣a3﹣a2c+ac2+c3+2ac2+c3
=﹣2a3﹣3a2c+3ac2+2c3
=2（c3﹣a3）+3ac（c﹣a）
=（c﹣a）（2c2+5ac+2a2）
=（c﹣a）（2c+a）（c+2a）
=（c﹣a）（2c﹣b﹣c）（﹣a﹣b+2a）
=（a﹣b）（b﹣c）（a﹣c）
∴原式
===1．此题考查分式的化简求值，难度较大，已知条件的反复应用、因式分解的应用都要灵活．
点
评：
20．（8分）已知，其中x、y、z互不相等，求证：x2y2z2=1．
考点：分式的等式证明．
专题：证明题．
分析：根据题意的等式得出xy，xz，yz的表达式，然后三者相乘即可得出结论．
解答：
解：由可得：x﹣y=﹣，zy=，
同理，zx=，xy=，
∴x2y2z2=××=1．
故结论得证．
点评：本题考查分式的不等式证明，难度不算很大，注意有连等式时一般可得出很多条件，要注意根据需要对等式进行变形．
21．（9分）（1）已知b2=ac，求的值；
（2）已知x、y、z满足，求代数式的值．
考点：分式的化简求值．
分析：（1）先把分式化简，再代入求值即可；
（2）由已知可得，则，同理求得所求代数式中的后两个式子的
表达式，相加并化简即可．
解答：解：（1）原式
====，
∵b2=ac，
∴原式=1；
（2）由已知可得，
则①，
同理②，③，
①+②+③得
=（x+y+z）﹣=x+y+z﹣y﹣x﹣z=0．
点评：此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简．此题难度较大．22．（10分）设a、b、c满足，求证：当n为奇数时，．
考点：分式的等式证明．
分析：将已知条件的分式等式移项、通分，转化为整式的等式，再因式分解得出（a+b）（b+c）（a+c）=0，从而有a=﹣b，b=﹣c，c=﹣a至少一个成立，当n为奇数时，a n、b n、c n就有可以抵消的，说明等式成立．
解答：
证明：由已知，得=﹣，
通分，得=，
去分母、移项，得c（a+b）（a+b+c）+ab（a+b）=0，
（a+b）（ac+bc+c2+ab）=0
（a+b）（b+c）（a+c）=0
即a=﹣b，b=﹣c，c=﹣a至少有一个成立，
故当n为奇数时，成立．
点评：本题考查了由分式等式向整式等式转化的方法，因式分解在整式变形中的作用．几个因式的积为0，这几个因式中至少有一个为0．
23．（10分）已知a2﹣a﹣1=0，且，求x的值．
考
点
：
分式的化简求值．
分
析
：
通过已知a2﹣a﹣1=0，变换得a2=a+1，再将用a2=a+1遇a 2逐级代入化简后，求出x的值．
解答：解：由a2﹣a﹣1=0，得a2=a+1
=
=
由于，所以
解得
答：x的值是．
点
评
：
本题解题的关键点是方程的左端化简，化简时一定注意用到已知式，代入降次，甚至去掉a．
24．（10分）（1）已知实数a满足a2﹣a﹣1=0，求a8+7a﹣4的值．
（2）已知，求的值．
考点：分式的化简求值．
分析：（1）由条件得a2=a+1，通过不断平方，把原式用较低次方的多项式表示，代入所求代数式计算；
（2）已知条件三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出的值．
解答：解：（1）由已知得a2=a+1，
两边平方，得a 4=a2+2a+1=3a+2，
两边再平方，得a8=9a2+12a+4=21a+13，
∴a8+7a﹣4=21a+13+
=
=
==48；
（2）∵++
=
=
=
=﹣=﹣，
∴（+1）+（+1）+（+1）=3﹣=，
即++=，
∴=．
点评：本题考查了分式的恒等变形，采用了降次、通分、因式分解等方法，运算量大，考察学生的运算能力，需要仔细．
25．（10分）已知xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16，求代数式的值．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：根据xy+2z=xy+2（2﹣x﹣y）=（x﹣2）（y﹣2），同理即可把所求的式子的分母进行转化，即可求解．
解答：解：xy+2z=xy+2（2﹣x﹣y）=（x﹣2）（y﹣2）
同理，yz+2x=（y﹣2）（z﹣2），zx+2y=（z﹣2）（x﹣2）．
原式===﹣
点评：本题主要考查了代数式的化简求值，正确对分母进行变形是解决本题的关键．
26．（10分）不等于0的三个数a、b、c满足，求证：a、b、c中至少有两个互为相反数．
考点：分式的加减法．
专题：证明题．
分析：直接通分，将分式等式转化为整式等式，再因式分解得到（b+c）（a+b）（a+c）=0，可知其中至少有一个因式为0．
解答：
证明：∵
∴
bc（a+b+c）+ac（a+b+c）+ab（a+b+c）=abc
∴（b+c）a2+（2bc+c2+b2）a+bc2+b2c=0
即（a2b+ab2）+（a2c+ac2）+（abc+bc2）+（abc+b2c）=0，
ab（a+b）+ac（a+c）+bc（a+c）+bc（a+b）=0，
（a+b）（ab+bc）+（a+c）（ac+bc）=0，
b（a+b）（a+c）+c（a+c）（a+b）=0，
∴（b+c）（a+b）（a+c）=0
∴b=﹣c或a=﹣b或a=﹣c．
即a、b、c中至少有两个互为相反数．
点评：本题考查了分式加减运算的运用，先通分，去分母，将分式等式转化为整式等式，再运用因式分解的知识解题．
27．（10分）（2001?天津）某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员．他们先用两天将第一、二两个车间的成品检验完毕后，再去检验第三、四两个车间所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B组检验员也检验完余下的五个车间的成品，如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．
（1）用a，b表示B组检验员检验的成品总数；
（2）求B组检验员的人数．
考点：分式方程的应用．
专题：应用题；压轴题．
分析：（1）B组检验员检验的成品总数=余下五个车间原有的成品+这5天新生产的成品；
（2）工作效率=工作总量÷检验的人数，根据“每个检验员的检验速度一样快”，可用这个等量关系来列方程．解答：解：（1）5a+25b；
（2）∵每个检验员的检验速度一样，
∴，
解得a=4b，即每个检验员速度为：b，
B组检验员人数为：=12（人）．
答：（1）B组检验员检验的成品总数为5a+25b；
（2）B组检验员的人数为12人．
点评：列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
参与本试卷答题和审题的老师有：lf2-9；王金铸；bjf；mrlin；zhangCF；mmll852；zhjh；HJJ；wdyzwbf；438011；lanchong；王岑；workholic（排名不分先后）
菁优网
2014年5月16日