数学的起源与早期发展

数学的起源与早期发展

当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。

——伯特兰·罗素

1 数与形概念的产生

如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱人物也消失在历史的迷雾中。然而，数学每前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万年前，那些居住在岩洞里的人就有了数的概念，在为数不多的事物中间增加或取出几个同样的事物，他们能分辨出多寡（不少动物也具有这类意识）。慢慢地，人类就有了明确的数的概念：1，2，3，……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道他拥有多少只绵羊。

在有文字记载以前，记数和简单的算术就发展起来了。打猎的人知道，把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。就像不同种族称呼家庭主要成员的声音大同小异一样，人类最初的计数方法也是相似的，最早可能是手指计数，一只手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。两只手上的指头合在一起，不超过10个元素的集合就有办法表示。例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个手指头。后来，才逐渐衍生出三种有代表性的记数方法——石子记数（有的是用小木棍）、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、石块或兽骨上），这样不仅可以记录较大的数字，也便于累计和保存。

在古希腊的荷马史诗《奥德赛》中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。

说来有点残酷，一些美洲印第安人通过收集被杀者的头皮来算计他们杀敌的数目，而一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来算计他们杀死野猪的数目。

当指头不敷运用时，就出现了石子记数等，以便表示同更多的集合元素的对应。但记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有结绳记数和刻痕记数。我国《周易·系辞下》有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的说法。“结绳而治”即结绳记事或结绳记数，“书契”就是在物体上刻痕，以后逐渐发展成为文字。

结绳记事、记数，并不限于中国，世界各地都有，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦以及伊斯兰国家都有记载或实物标本。纽约美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，在一根较粗的绳子上拴系涂有颜色的细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的位置、形状表示不同的事物和数目。结好的绳有一个专名叫“基普”。日本的琉球群岛的某些小岛至今还保留这种结绳记数的古老方法。（课件展示古印加人的结绳）

在物体上刻痕记数，最迟在旧石器时代的晚期已经出现。1937年在捷克摩拉维亚的洞穴中发现一根幼狼胫骨，长约18厘米，上有很深的人工刻痕，时间据考大约在3万年前。刻痕共55道，分为两组，第一组25道，第二组30道，每一组刻痕又按五个一群排列。

后来，就产生了各种各样的语言，包括对应于大小不同的数的语言符号。再后来，又经历了数万年的发展后，直到距今大约五千多年前，才出现了书写记数以及相应的记数系统。早期记数系统有：①公元前3400年左右的古埃及象形数字；②公元前2400年左右的巴比伦楔形数字；③公元前1600年左右的中国甲骨文数字；④公元前500年左右的希腊阿提卡数字；⑤公元前500年左右的中国筹算数码；⑥公元前300年左右的印度婆罗门数字⑦以及年代不详的玛雅数字。

（课件展示古埃及的象形数字。）埃及有四种文字，最古老的是象形文字。后来经过简化，成为僧侣文，再进一步简化成通俗文字。还有一种科普特文是公元后2—3世纪时用希腊字母拼写的埃及文字。象形数字用一根垂直棒或一竖表示1，一根足械或轭表示10，一卷轴或一圈绳表示100，一朵莲花表示1000。10，000是一个手指头，有时向左弯，有时向右弯。100，000有好几种写法，有时像青蛙或鱼，有时像小鸟。1，000，000是一个跪着的人，象征埃及管空间之神。当在一个数中出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，这说明古埃及人的记数系

统是叠加制而不是位值制。这些数字常见于陶片、石头、木头或纸草上，在坟墓内、庙宇的墙上及方尖塔上都可以看到。

早在公元前4、5千年，两河流域（今伊拉克境内）的苏美尔人就

创造了楔（xie）形文字，用木笔在软泥板上刻写，形状像楔子。后来

传给巴比伦人。他们用垂直的楔形来表示1，如。用末端二个横向楔

形表示10，如。

（课件展示中国甲骨文数字）这是殷周时代刻在龟甲兽骨上的数字，最初出土于河南安阳小屯村的殷墟，距今3千多年。殷墟是我国商代后期的都城。公元前1300年商王盘庚建都与安阳，史称“殷墟”。

更加接近现代位值制的是中国的算筹记数法。算筹是用于计算的小竹棍

(也有木质、骨质、象牙或金属材料的算筹)，和筷子差不多长，它是中国人

创造的计算工具．春秋战国时代，算筹的使用已相当普遍，书中多有记载，

如“孟子持筹而算之”(《十发》)，“善计者不用筹策”(《老子》)，等等．

用筹进行计算称为筹算．据文献记载，用算筹表示数有纵横两种摆法。(图

中第一行为纵式，第二行为横式)记数时与十进位值制相配合，采用从左到

右（或从上到下）纵横相间的摆法，遇零则空位．例如2561摆成，

308摆成．筹算加减法与珠算类似，从左到右逐位相加或相减．筹算乘

除法的步骤稍微复杂一些．

算筹在中国数学史上占有非常重要的地位，在长达两千年的时间里，一

直是中国的主要计算工具，直到元明时代才逐渐被珠算所代替。中国古代数

学家也称为筹人。

印度文明可远溯到公元前2000年，但他们在公元前800年以前是没有数学的。大约在公元前3世纪以后，印度出现了数的记号，典型的的是婆罗门数字。（课件展示婆罗门数字）婆罗门数字的出色之处是它给1到9的每个数都有单独的记号，还没有零和进位记法。

哥伦布到达以前的美洲，有两个文化中心：一个是南美洲的印加，广泛使用结绳记数，前面介绍了。另一个是中美洲的玛雅。玛雅人分布在现今墨西哥南部的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯西部一带。玛雅文化的开始可以上溯到公元前1000年获更早，但真正繁荣的时期是公元3—9世纪。他们创造了一种象形文字，最初刻在石碑和建筑物的墙上。大约从9世纪起，将无花果的树皮压制成“纸”，用红、蓝。黄、吕、黑等颜色在上面写成“书”。16世纪西班牙入侵，将这些珍贵的文献焚毁殆尽。玛雅人创造了一种20进位值制记数法，数字表达与算盘的算珠有异曲同工之妙。玛雅人创造了零点符号，像半开的眼睛，也像一只贝壳。他们使用三个符号：一点、一横、一个代表零符号──就可以表示任何数字。类似的原理今天被应用在电脑的“二进位制”上。

这些记数系统采用不同的进制，其中巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外，其他均采用十进制。记数系统的出现使人类文明向前迈进了一大步，在此基础上初等算术便在几个古老的文明地区发展起来。

与算术的产生相仿，最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来。史前人首先从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计、及绘画装饰中加以再现。

（课件展示埃及前王朝时期陶器与西安半坡遗址及出土陶器。）

半坡遗址，位于距陕西省西安市十余里的半坡村。考古学家使用碳14测出半坡遗址的年代在距今5000年左右，属于新石器时代的聚落遗址。遗址总面积约10万平方米，是一片不规则的圆形。遗址的主体部分是通常所见的居住区，居住区内有房基、窖穴和饲养家畜的圈栏。房屋有地面和半地穴式两种，全部为单间。可以看出建筑技术已有了相当的水平。石器是半坡人使用的主要生产工具。半坡遗址居住区的东面是制陶区。从出土的陶器看，陶器坯子主要是手制。

经验的几何知识随着人们的实践活动而不断扩展。据希腊历史学家，被尊称为“历史之父”的希罗多德（越公元前484—前425）的研究，古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈

量。尼罗河定期泛滥，通常自7月中旬开始，淹没全部谷地。11月洪水逐渐退落，土地上遗留着肥沃的淤泥。正月，埃及人在松软的土壤里播种，能获得丰富的收成。古埃及测量土地人员有一个专名，叫做“司绳”或者“拉绳者”，“拉绳者”指的就是当时的几何学家。（课件展示底比斯墓中灰泥墙上的拉绳者图，约公元前1415年）

古印度几何学的起源则与宗教实践密切相关，公元前8世纪至5世纪形成的《绳法经》就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载。古代中国，几何学起源更多地与天文观测相联系。数学经典《周髀算经》就是一部讨论西周初年（公元前1100年左右）天文测量中所用数学方法的著作。（后面详细介绍）

2河谷文明与早期数学

历史学家往往把兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。其中古埃及与美索不达米亚的数学在年代上更为久远，只是在公元前均告衰微，崛起稍晚点的中国与印度数学则延续到纪元之后并在中世纪臻于高潮。这里先介绍古埃及与美索不达米亚数学，古代中国与印度数学我们放到中世纪一并讲述。

2.1 埃及数学

⑴背景

埃及是文化发达最早的几个地区之一。埃及文明源自何处至今未知，但它肯定在公元前4000年之前就已存在。正如希腊史学家希罗多德（Herodotus）所说，埃及是受尼罗河恩施的。这条河把南方的水一年一度地泛滥到沿河两岸之后留下沃土。他们的大多数人自古以来就一直靠耕种这片沃土为生。这国家的其余部分都是荒漠。

在今天埃及这块地方，古代有两个王国，一个在北方，一个在南方。早在旧石器时代，那里就有居民。埃及的历史，从公元前3100年左右美尼斯统一南、北埃及建立第一王朝起，到公元前332年亚历山大大帝灭最后一个埃及王朝止，前后绵延约三千年。埃及文化在公元前2500年左右到达最高点，当时的统治者建立了至今闻名的金字塔。公元600年左右，埃及的历史和数学就附属于希腊文明了。

⑵埃及古文字

公元前3000年左右，埃及已有可考的文字记录。最古老的文字是象形文字，每个文字记号是某件东西的图形。人类最初用实物或图画来表示某种思想，这种办法在今天还可以看到它的痕迹，例如在饭馆前面挂一个幌子，表示卖某种食物。图画经过长期的演变，形成象形文字。象形文字我们前面介绍过。象形文字和图画的区别在于象形文字有固定的形状和读音，而图画没有。如图为埃及象形文字。（课件展示）

象形文字有很大的局限性，写起来相当麻烦。约公元前2500年被简化成一种便于书写的僧侣文，僧侣文多为僧侣所用。僧侣文是拼音的，每个音节由一个会意文代表，而整个文字则由一些会意文组成。书写的方式是用颜料写在纸草上。纸草是盛产于尼罗河三角洲的水生植物，形状像芦苇，可以制造各种用具，如编筐、织绳等，嫩芽可吃。古代埃及人把纸草的茎逐层撕成薄片，压平后一张张粘起来就可以当纸用。纸草可以任意接长。10世纪，中国的造纸术传入埃及，纸草被中国纸所取代。因纸草会干裂成粉末，所以除了铭刻在石头上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下来。

象形文字除了简化成僧侣文之外，在公元前7世纪时还发展成一种通俗文。僧侣文主要用于抄写宗教文献，而通俗文字则用于其他方面。2—3世纪，埃及人信奉基督教，在翻译《圣经》时又创造一种用希腊文字母拼写的埃及文，叫做科普特文。

象形、僧侣、通俗、科普特都是埃及的古代文字。7世纪以后，阿拉伯人占领埃及，这个地区改奉伊斯兰教，完全使用阿拉伯文，直到今天。象形文字大概在3世纪被废弃以致全部遗忘。

1798年，拿破仑率军进攻埃及。拿破仑是科学的爱好者，在军事进攻的同时，他组织了科学考察团，其中有著名的数学家蒙日（Gaspard Monge,1746—1818）和傅立叶（Jean Baptiste Fourier,1768—1830），对埃及进行了全面的考察。1799年，拿破仑的士兵在离亚历山大48

公里的罗赛塔村发现一块黑色玄武岩的石碑，长114厘米，宽72厘米（如图2—3）。碑上刻有用三种文字记述的铭文，上面是象形文字，中间是通俗文字，下面是希腊文（如图2—4）。铭文刻于公元前196年，内容是托勒密五世的践位庆典。拿破仑吃了败仗，此物归英国不列颠博物馆所有。这块石碑使精通希腊文的学者找到了解读埃及古文字的钥匙。如图为罗塞塔石碑和罗塞塔石碑上的铭文。（课件展示）

埃及古文字的解读，主要归功于19世纪法国文字学家商博良（J_F.Champollion，

1790_1832）英国物理学家杨（Thomas Young，1773-1829）。商博良的经历颇具传奇色彩。传说他在11岁时遇到数学家傅立叶，傅立叶给他看带有象形文字的纸草和石头，并肯定地说：没有人能认识这些古怪的字。这孩子说：我长大了一定能认识它。他从此就和古文字结下不解之缘，13岁能阅读希腊文、拉丁文和埃及文。17岁进入法国东南部的格勒诺布尔大学。经过20多年的钻研，终于揭开象形文字之谜。可惜英年早逝，年仅42岁。而另一位古文字的探索者杨，在1813—1814年率先对通俗文字作了分析，为商博良的解读开辟了道路。而拿破仑可以说是埃及学到最早倡导者。

⑶金字塔

宇航员在月球上观察地球，陆地上的建筑物只能清楚地看到中国的万里长城和埃及的金字塔。这是人类在地球上创造的两大奇迹。金字塔是古埃及法老的坟墓，确是埃及古代人民智慧的结晶。（课件展示金字塔）

金字塔的构思反映古埃及人的信仰。他们相信高山、大漠、长河都是神圣的,法老王被宣扬为自然神。于是通过审美就把高山、大漠、长河的形象的典型特征赋予王权的纪念碑,在广阔的大漠中金字塔显得雄伟壮观。它的形象和尼罗河的风光十分协调,大漠孤烟，长河落日,非常壮阔。

现存的各种类型的金字塔约有80座，最大的一座是第4王朝法老胡夫（约公元前2589—前2566）的金字塔。位于开罗附近的吉萨，原高146.5米，因损坏及下沉现高137米，基底正方形每边长233米（现长227米）。根据近代的测量，发现大金字塔底边长度的误差仅仅是1.6厘米，即全长的1／14000。基底直角的误差只有12〞或直角的1∕27000。如果没有相当的几何和测量知识，很难想象能作出如此精确的长度和角度。数学史家M.康托尔（1829—1920）猜测古埃及人已知用3：4：5的关系来作出直角。

（课件展示狮身人面像）在仅次于胡夫金字塔的哈夫拉金字塔的东面，伏着一尊巨大的狮身人面像，它面朝着东方，似乎在向初升的太阳行注目礼。它和金字塔共同显示了法老生前的无上权威以及死后的灵魂不灭。狮身长240英尺，高66英尺，人面部是哈夫拉法老的理想肖像。这是人类第一件巨型雕像，仅人面部就有5米长，耳朵有3米。

⑷埃及数学的史料

现在我们对古埃及数学的认识，主要是根据两本用僧侣文写成的纸草书：莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。

（课件展示《莱茵德纸草书》，上为全景下为局部。人教出版社《数学史选讲》课本有此书。）《莱因德纸草书》﹝Rhind Papyrus﹞最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年被苏格兰收藏家莱茵德购得，所以以他的名字命名。他死后归伦敦大英博物馆所有。该纸草书全长525厘米，宽33厘米，中间有少量缺失。缺失碎片1922年在纽约一私人收存的医学纸草书中被发现，现藏于美国布鲁克林博物馆。《莱茵德纸草书》是公元前1650年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的数学著作之一。作者是书记官阿姆士。内容似乎是依据了更早年代﹝公元前1849年─公元前1801年﹞的教科书，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作。全书分成三部分，一是算术；二是几何；三是杂题，共有84题。记载着埃及人在生产、生活中遇到的实际问题。例如，对劳动者酬金的分配；面积和体积的计算；不同谷物量的换算等等。其中，也含有纯数学知识问题。例如，分数的难题计算等等。

莫斯科纸草书，是由俄国贵族戈列尼雪夫1893年在埃及购得的，所以又叫戈列尼雪夫纸草书。1912年转藏于莫斯科普希金精细艺术图书馆。这部纸草书长约550厘米、宽8厘米，共记载着25个问题。这部纸草书产生年代约为公元前1890年，也是用僧侣文写成的。

这两部纸草书是古埃及最重要的传世数学文献。除此之外，还有一些零星的资料：卡呼恩纸草书和柏林纸草书、阿赫米姆木板文书以及克索斯时代的羊皮书一卷等。

⑸埃及的算术与代数

古埃及人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号。（课件展示）我们前面介绍过，用一根垂直棒或一竖表示1，倒置的窗或骨表示10，形似大写字母C的套索表示100，一朵莲花表示1000，弯曲的手指表示10000，一只青蛙或一条鳕鱼表示100000，而跪着的人像则表示1000000。当在一个数中出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，这说明古埃及人的记数系统是叠加制而不是位值制。

古埃及人已有了分数的概念。埃及数学最显著的特点是使用单分数。埃及象形文字用一种特殊的记号来表示单位分数即分子为1的分数：在整数上方简单地画一个长椭圆，就表示该整数的

倒数。如。除了几个特殊分数之外，埃及人将所有分数都表示为一些单位

分数的和，如把2

5

写成

11

35

+，

2

7

写成

11

428

+。加法记号是没有的，但从上下文可以看出加的

意思。

古埃及人的算术主要用叠加法。做通常加减法时，他们只是靠添上或划掉一些记号，以求得最后结果。乘除法也是化成叠加步骤来做的。例如计算2633

?，他们先将33的倍数列表（如表2－1），然后从左边一列中选取出和为26的数2，8和16，再将右边一列中她们各自对应的数相加，即将66，即为所求。

表2－1

埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算。在除法运算中，加倍程序被倒过来执行，即除数取代被除数的地位而被拿来逐次加倍。例如，他们做19除以8的算法如下：

1 8

2 16

1/2 4

1/4 2

1/8 1

于是得解答为2+1/4+1/8.求解的思想无非是取8的倍数和部分数，使之合并成19。

古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题。埃及人称未知数为“堆”。他们解决这类问题的方法是假位法：先假设一个特殊的数作为“堆”值，将其代入等号左边去运算，然后比较得数与应得结果，再通过比例方法算出正确答数。例如莱茵德纸草书第24题：已

知“堆”与七分之一“堆”相加为19，求堆的值。数7作为未知数x的实验值，于是

1

8

7

x x

+=，

而应得结果是19，这两个结果之比为19

8

等于

11

2

48

++，将7乘以

11

(2)

48

++即得正确的“堆”

值为

11

16

28

++。假位法是莱茵德纸草书中普遍使用的方法。

在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载。如莱茵德纸草书中有这样一个问题：今将10

斗麦子分给10个人，每人依次递降18

斗，问各得多少？这是一个等差数列的前若干项和、项数以及公差求其各项的问题。

等比数列也已在莱茵德纸草书中出现。如：在一个人的财产中，有七间房子，每间房子里七只猫，每只猫能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麦，而每穗大麦又能长出七俄斗大麦，问这份财产中房子、猫、老鼠、麦穗和麦子总共有多少？这显然是一个公比为7的等比数列求和问题。

这一类问题在不同的年代、不同的地区中多次出现。如斐波那契的《算盘书》（1202年）中有：“7个老妇去罗马，每人牵着7匹骡，每匹骡驼7个袋，…”的题目。中国的《孙子算经》卷下（3世纪）有一题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”

⑹埃及的几何学

古埃及人的几何学知识较为丰富。在莱茵德纸草书和莫斯科纸草书109个问题中，有26个是几何问题，其中大部分是计算土地的面积与谷物的体积，还有许多与金字塔有关。埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的死方法，也有算立方体、箱体、柱体和其他图形体积的法则。

莱茵德纸草书第41题：“有一个圆柱形的谷仓，底面圆的直径是9，高是10，求体积。”他们正确地掌握了底乘高等于体积的关系。设圆直径为d ，面积为S ，埃及人使用的公式是

2()9

d S d =-。本例直径是9，减去它的19，余8，平方得64，就是面积。再乘以高得640，就是体积。这就等于取π为3.1605。

莫斯科纸草书中第14题也是一个求体积的题：“如果告诉你一个截顶金字塔的垂直高度为6，底边为4，顶边为2，求其体积。”古埃及人的算法是：4的平方为16，4的二倍为8，2的平方是4，把16，8和4相加得28，取6的三分之一为2，取28的二倍为56，则它的体积就是这个数。由此可以看出古埃及人是通过具体问题说明了正四棱台的体积公式是221()3

V a ab b h =++。著名数学史家贝尔（E.T.Bell ，1883—1960）形象地将这一古埃及数学杰作称为“最伟大的埃及金字塔”。

埃及是世界上文化发达最早的地区之一，在长期的生产活动中积累了丰富的实践经验。由于土地丈量及金字塔建筑的需要，促使几何学初步兴起。但知识是零碎的、片断的，尚未形成严整的体系，还缺乏逻辑因素，基本上看不到命题的证明。算术方面采用单分数使得四则运算非常麻烦。公元前4世纪以后，希腊人占领了这个地区，情况才发生了根本的变化。

2.2 美索不达米亚数学

⑴背景

亚洲西部大底格里斯河与幼发拉底河之间的地带，通常叫做美索不达米亚，也称两河流域，是今日伊拉克的一部分。早在公元前四千年，苏美尔人就在这里建立起城邦国家并创造了文字。和尼罗河一样，两河流域也是人类文化的摇篮。与尼罗河谷不同的是，这里是一片大平原，海拔在200米以下，没有天然的屏障，常遭异族入侵。因此民族成分比较复杂，政权也多次更迭。自从公元前24世纪中叶阿卡德人第一次入侵建立阿卡德王国（约公元前2371—前2230），以后又有阿摩利人、加喜特人、依兰人、赫梯人、亚述人、伽勒底人和波斯人相继登上统治舞台。两河流域在这种错综复杂的民族战乱中却维系着高度统一的文化，史称“美索不达米亚文明”。

⑵楔（xie ）形文字与泥版书

楔形文字是古代西亚使用的文字，用削尖的芦杆或木棒刻在软泥版上，晒干或烘干后坚硬如石。最初为苏美尔人所创造，后来阿卡德人、巴比伦人、亚述人、赫梯人、波斯人都使用过。泥版书比埃及纸草书易于保存，迄今已有约50万块泥版文书出土，是我们了解美索不达米亚文明的依据。（课件展示泥版书）对楔形文字的解读比埃及文字晚，关键的一步是在19世纪70年代迈出的，当时发现的伊朗西部克尔曼沙阿附近的贝希斯敦石崖，上面用三种文字记载着波斯王大流士一世的战功刻着古波斯文、巴比伦文和埃兰文。对波斯文的知识使人们得以揭开古巴比伦文

字的奥秘。

泥版书中，引人注目的是普林顿322号。（课件展示普林顿322号泥版书）该泥版书最初来源不明，因曾被一位叫普林顿的人收藏而得名，现存美国哥伦比亚大学图书馆。此泥版书是在公元前1900年至前1600年间用古巴比伦字体写的。普林顿322号是一块更大的泥版书的右半部分，长12.7cm ，宽8.8cm ，上面记载的文字属古巴比伦语，因此其年代为公元前1900——1600年（古巴比伦王国时期）。普林顿322号实际上是一张表格，由4列15行六十进制数字组成。

⑶记数法和代数问题

大多数文明普遍采用十进制，但美索不达米亚人却创造了一套以60进制为主的楔形文字记数系统。他们用垂直的楔形来表示1，如。用末端二个横向楔形表示10，如。对60以内的整数采用简单十进累记法。表示21。对于大于59的数，采用六十进制的位值记法。同一个记

号，根据它在数字表示中的相对位置而赋予不同的值，这种位值原理是美索不达米亚数学的一项突出成就。位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空。例如 这一写法中，右边的表示2个单位；中间的表示基数（60）的2倍；而左边的则表示基数（60）的平方的2倍，因此这个数字是指()()22602602?+?+，用十进制写出来就是7322。这种位值制是不彻底的，因为其中没有零号。这样122和7202的形式是相同的，都表示为 ，只能根据上下文来消除二义性。

美索不达米亚人长于计算，他们创造了许多成熟的算法，例如开方根计算。这种开方程序既

简单又有效：设x =并设1a 是这根的首次近似；由方程11b a a =求出第二次

近似1b ，若1a 偏小，则1b 偏大，反之亦然。取算术平均值2111()2

a a

b =

+为下一步近似，因为2a 总是偏大，再下一步近似22b a a =必偏小，取算术平均3221()2a a b =+将得到更好的结果。这一程序可以无限继续下去。

与埃及人相仿，美索不达米亚人也借助于各种数表来进行计算。在已发现的300多块泥版书中，大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还有指数表。倒数表用于把除法转化为乘法进行，指数表和插值法一起用来解决复利问题。

美索不达米亚数学在代数领域内达到了相当的高度。埃及代数主要是讨论线性方程，对于二次方程则仅涉及到最简单的情形。而巴比伦人已能卓有成效地处理相当一般的三项二次方程。例如耶鲁大学收藏到一块泥版书中有这样的问题：“已知依几布姆比依古姆大7。问依几布姆和依古姆各为多少？”

“依几布姆”和“依古姆”是古巴比伦数学文献中表示互为倒数的两个数的专用术语，在十

进制中则相当于乘积为60之幂的两个数。该题相当于求解方程组1,0(60)7

xy x y =??-=?，这又相当于先求

解一个一元二次方程271,0(60)0x x --=。题中给出的算法相当于7122x =

就是我们今天熟知的二次方程2

0x px q --=的求根公式2p x =。 由于正系数二次方程没有正根，因此在古代与中世纪，甚至近代早期，二次方程一直被分成

以下三类：①2x px q +=②2x px q =+③2x q px +=（0,0p q >>）来研究。所有这三类方

程在古巴比伦泥版书中都可以找到，并都给出了正确的解算程序。

古埃及人没有留下解三次方程的记录，美索不达米亚泥版书中有很多三次方程的例子，主要

通过查立方表或立方根表来求解。

在勾股定理与勾股数方面，美索不达米亚人的成就远远走在其他文明古国的前面。例如有一块泥版书上有这样一个问题：倚墙而立的木杆长0；30尺，若上端下滑0；6尺，问下端将移离墙多远？作者运用勾股定理求出了正确答案。 A

D

l-h l B a C

如图，设,,BC a AD h ==则,BD l h a =-=满足不定方程222x y z +=的正整数组(,,)x y z 叫“毕达哥拉斯数”，简称为“勾股数”。它构成直角三角形的三个边。美索不达米亚最令人吃惊的成就是在很古老的年代便给出大量的、数目巨大的勾股数。

根据诺依格包尔等人的研究，普林顿322号数表与所谓“勾股数”有关。计算表明：普林顿322数表第Ⅱ、Ⅲ列的相应数字，恰好构成了毕达哥拉斯三角形中的斜边c 与直角边b 。第Ⅳ列数字实际上给出了一张从031至0

45的正割三角函数平方表。

普林顿322表中的数字是如何得到的？我们今天知道，所有的素毕达哥拉斯数组(),,a b c 都可用以下参数形式表出：22222,,a pq b p q c p q ==-=+。其中p ，q 互素，p q >且不同时为奇数。古巴比伦人可能就是通过上述法则来产生普林顿322表中的有关数字的。

总而言之，普林顿322号是一个有力的实物证据，它列出了15组勾股数，其复杂的程度远远超过别的文明古国，在时间上也早了一千多年。他们当时已经掌握了一般的勾股定理与勾股数的公式。

⑷几何

几何在美索不达米亚人的心目中是不重要的。几何并不是他们一门独立的学科，是与测量等实际问题相联系的数值计算。美索不达米亚学者已掌握三角形、梯形等平面图形面积和棱柱、平截头方锥等一些立体图形体积的公式。他们还知道利用图形的相似性概念。耶鲁大学收藏到一块泥版文书上有一个问题可以用现代语言表述如下： 0,90,//.20=305,20ABC B AB DE BD DC ABDE S ?∠===已知。，梯形的面积（即56020320?+=），求“上宽” AB 和“下宽” DE 。

A

B D C

由题意有1()2S AB DE BD =+?，即1()2S AB DE BD

+= 利用相似三角形对应边成比例的性质可得

AB DE AB DE BD DC DC BD

-==+ 即1()()22(2)2AB DE BD S AB DE DC BD DC BD +?-==++

而11()()22

11()()22

AB DE AB DE AB AB DE AB DE DE ++-=+--= 泥版书给出的计算程序就是遵循了上述的关系，所得结果为上宽=20，下宽=12。

美索不达米亚几何与埃及几何有一个相同的缺陷，即对准确公式与近似关系混淆不分。巴比伦人的四边形面积公式也是两组对边边长算术平均之积。巴比伦人甚至对平截头体积计算有时也采用近似公式，如等于上、下底面积的算术平均乘以高。不过对于上下底面积分别为2a 和2

b 的

平截头方锥，有的泥版书上也记载了相当于下式的计算法则：221232a b a b V h ??+-????=+?? ? ?????????，这是准确的公式，并可化为埃及人的221()3

V a ab b h =++的形式。 在美索不达米亚河谷地区，圆面积通常被取作为半径平方的三倍，即取圆周率π为3，不如埃及人精确。不过，在他们给出正六边形及其外接圆周长之比时，他们用138

作为π值。 总的说来，美索不达米亚数学与埃及数学相仿，主要是解决各类具体问题的实用知识，处于原始算法积累时期。几何学作为一门独立的学问甚至还不存在。埃及纸草书和巴比伦泥版书中汇集到各种几何图形面积、体积的计算法则，本质上属于算术的应用。

向理论数学的过渡，是大约公元前6世纪在地中海沿岸开始的，那里是一个崭新的、更加开放的文明——历史学家称之为“海洋文明”，带来了初等数学的第一个黄金时代——以论证几何为主的希腊数学时代。

作业

1.进一步收集阅读相关资料，进行整理研究，探讨数学的起源与世界古老文明生产的关系。

2.研究探讨古埃及和古巴比伦人古老的数学知识在我们的生活中哪些还具有现实意义。