第4章 马尔可夫链

107509-概率统计随机过程课件-第十三章马尔可夫链第一节第二节(上)

第十三章 马尔可夫链 马尔可夫过程是一类特殊的随 机过程, 马尔可夫链是离散状态的马尔可夫过程,最初是由俄国数学家马尔可夫1896年提出和研究的. 应用十分广泛,其应用领域涉及 计算机,通信,自动控制,随机服务,可靠性,生物学,经济,管理,教育,气象,物理,化学等等. 第一节 马尔可夫链的定义 一．定义 定义 1 设随机过程} ),({T t t X ∈的状态空间S 是有限集或可列集,对任意正整数n ,对于T 内任意1+n 个参数121+<

如果条件概率 })(,,)(,)(|)({221111n n n n j t X j t X j t X j t X P =???===++})(|)({11n n n n j t X j t X P ===++,(13.1) 恒成立,则称此过程为马尔可夫链. 式(13.1)称为马尔可夫性,或称无后效性. 马氏性的直观含义可以解释如下: 将n t 看作为现在时刻,那末,121,,,-???n t t t 就是过去时刻,而1+n t 则是将来时刻.于是,(13.1)式是说,当已知系统现时情况的条件下,系统将来的发展变化与系统的过去无关.我们称之为无后效性. 许多实际问题都具有这种无后 效性. 例如 生物基因遗传从这一代 到下一代的转移中仅依赖于这一代而与以往各代无关. 再如,每当评估一个复杂的计 算机系统的性能时,就要充分利用系统在各个时刻的状态演变所具有

的通常概率特性:即系统下一个将到达的状态,仅依赖于目前所处的状态,而与以往处过的状态无关. 此外,诸如某公司的经营状况 等等也常常具有或近似具有无后效性. 二． 马尔可夫链的分类 状态空间S 是离散的(有限集或可列集),参数集T 可为离散或连续的两类. 三．离散参数马尔可夫链 （1）转移概率 定义2 在离散参数马尔可夫链 },,,,,),({210??????=n t t t t t t X 中, 条件概率 )(})(|)({1m ij m m t p i t X j t X P ===+ 称为)(t X 在时刻(参数)m t 由状态i 一 步转移到状态j 的一步转移概率, 简称转移概率.

马尔可夫链

马尔可夫链 马尔可夫链（Markov chains ）是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无限的。经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当前出发时的状态而与以前的历史无关。马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队系统的重要工具。 1) 离散时间参数的马尔可夫链 ①基本概念 定义 5.7 设{()0,1,2,}X n n ???=，是一个随机过程，状态空间{0,1,2,}E =，如果对于任意的一组整数 时间120k n n n ???≤<<<，以及任意状态12,, ,k i i i E ∈，都有条件概率 11{()|()}k k k k P X n i X n i --=== （5-17） 即过程{()0,1,2,}X n n ???=，未来所处的状态只与当前的状态有关，而与以前曾处于什么状态无关，则称 {()0,1,2,}X n n ???=，是一个离散时间参数的马尔可夫链。当E 为可列无限集时称其为可列无限状态的马尔可 夫链，否则称其为有限状态的马尔可夫链。 定义5.8 设{()0,1,2,}X n n ???=，是状态空间{0,1,2, }E =上的马尔可夫链，条件概率 (,){()|()}ij p m k P X m k j X m i i j E =+==∈，、 （5-18） 称为马尔可夫链{()0,1,2,}X n n ???=，在m 时刻的k 步转移概率。 k 步转移概率的直观意义是：质点在时刻m 处于状态i 的条件下，再经过k 步（k 个单位时间）转移到状 态j 的条件概率。特别地，当1k =时， (,1){(1)|()}ij p m P X m j X m i =+== （5-19） 称为一步转移概率，简称转移概率。 如果k 步转移概率(,)ij p m k i j E ∈，、，只与k 有关，而与时间起点m 无关，则{()}X n 称为离散时间的齐次马尔可夫链。 定义5.9 设{()0,1,2,}X n n ???=，是状态空间{0,1,2,}E ???=上的马尔可夫链，矩阵 0001010 11101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) (,) n n j j jn p m k p m k p m k p m k p m k p m k P m k p m k p m k p m k ?? ???? ? ?=? ?????? ? （5-20） 称为{()}X n 在m 时刻的k 步转移概率矩阵。 当1k =时，(,1)P m 称为一步转移概率矩阵。 对于齐次马尔可夫链，容易推得k 步转移概率矩阵与一步转移概率矩阵具有关系 ()(),,1k P m k P m =????，1,2,k ???= （5-21）

2010年5月苏北赛算法：马尔可夫链。适合很多题型

马尔可夫链 在自然界与社会现象中，许多随机现象遵循下列演变规律，已知某个系统(或过程)在时刻0t t =所处的状态，与该系统(或过程)在时刻0t t >所处的状态与时刻0t t <所处的状态无关。例如，微分方程的初值问题描述的物理系统属于这类随机性现象。随机现象具有的这种特性称为无后效性(随机过程的无后效性)，无后效性的直观含义：已知“现在”，“将来”和“过去”无关。 在贝努利过程(){} ,1X n n ≥中，设()X n 表示第n 次掷一颗骰子时出现的点数，易见，今后出现的点数与过去出现的点数无关。 在维纳过程(){} ,0X t t ≥中，设()X t 表示花粉在水面上作布朗运动时所处的位置，易见，已知花粉目前所处的位置，花粉将来的位置与过去的位置无关。 在泊松过程(){,0}N t t ≥中，设()N t 表示时间段[0,]t 内进入某商店的顾客数。易见，已知时间段0[0,]t 内进入商店的顾客数()0N t ，在时间段()0[0,]t t t >内进入商店的顾客数 ()N t 等于()0N t 加上在时间段0(,]t t 内进入商店的顾客数()()0N t N t -，而与时刻0t 前进 入商店的顾客无关。 一、马尔可夫过程 定义：给定随机过程 (){},X t t T ∈。如果对任意正整数3n ≥，任意的 12,,1,,n i t t t t T i n <<<∈= ，任意的11,,,n x x S -∈ S 是()X t 的状态空间，总有 ()()()1111|,n n n n P X x X t x X t x --≤== ()() 11|,n n n n n P X x X t x x R --=≤=∈ 则称(){} ,X t t T ∈为马尔可夫过程。 在这个定义中，如果把时刻1n t -看作“现在”，时刻n t 是“将来”，时刻12,,n t t - 是“过去”。马尔可夫过程要求：已知现在的状态()11n n X t x --=，过程将来的状态()n X t 与过程过去的状态()()1122,,n n X t x X t x --== 无关。这就体现了马尔可夫过程具有无后效性。通常也把无后效性称为马尔可夫性。 从概率论的观点看，马尔可夫过程要求，给定()()1111,,n n X t x X t x --== 时，()n X t 的条件分布仅与()11n n X t x --=有关，而与()()12,,n X t X t - 无关。

马尔可夫链在天气预测中的应用

马尔可夫链在天气预测中的应用 龚海涛 （数学系，093班25号） 摘要：马尔可夫链是一种预测方法，模式先假设某一时间各种状态之间的转移概率是基于 当前状态的而与其他因素无关，然后利用这一转移概率来推测未来状态的分布情况。本文将利用马尔可夫链对鞍山市区天气状态进行探究，通过对鞍山市区从2010年2月7号到2012年2月6号共730天的天气历史经验数据进行马尔可夫链分析，得到鞍山市天气状况的稳定分布。 关键字：马尔可夫链；转移概率矩阵 一、引言 马尔可夫链模型（Markov Chain Model ）是一种常用的概率模型也叫马尔可夫分析(Markov Chain Analysis),其原理为利用概率转移矩阵所进行的模拟分析。此模型为一动态模型，参数可随时间而变，故可以用来预测未来事物变化状态的趋势。 马尔可夫链的基本概念是在1907年由俄国数学家马尔可夫（Markov ）从布朗运动（Brown motion ）的研究中提出的，后经由Wiener 、Kolmogorve 、Feller 、Doeblin 及Lery 等人的研究整理而于1930到1940年代建立此模型（杨超然，1977）。 二、马尔可夫链的基本介绍 定义2.1（Markov 过程）随机过程｛X n ,n=0,1,2,3,…｝若它只取有限或可列个值E 0,E 1,E 2,…(我们用｛0，1，2，…｝来标记E 0,E 1,E 2,…，并称它们是过程的状态。｛0，1，2，…｝或其子集记为S ，称为过程的状态空间)对任意的n ≥0及状态i, j, i 0, i 1, … i n-1有 P{X n+1=j|X 0=i 0,X 1=i 1, …X n-1=i n-1,X n =i}=P{ X n+1=j|X n =i} （2.1） 式(2.1)刻画的Markov 链的特性称为Markov 性[1]。 Markov 链表示一个随机序列的条件概率只与最近的系统状态有关，而与先前系统状态 无关，所以Markov 性也被称为无后效性[2] 。Markov 性也可以用一句通俗的话来概括——已知现在，将来与过去无关。 定义2.2（转移概率）称式（2.1）中的条件概率P{ X n+1=j|X n =i}为Markov 链｛X n ,n=0,1,2,3,…｝的一步转移概率，简称转移概率[1]。 定义2.3（时齐马尔可夫链）当Markov 链的转移概率P{ X n+1=j|X n =i}只与状态i,j 有关，而与n 无关时，称Markov 链为时齐的，并记P ij = P{ X n+1=j|X n =i}(n ≥0)。 不管Markov 链的状态是否有限，我们都可以将P ij （i,j ∈S ）排成一个矩阵的形式，令 ()?????? ??? ? ? ?== 434241403332313023222120 1312111003020100ij P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P (2.2)

第五章 连续时间的Markov链

第五章 连续时间的马尔可夫链 第四章我们讨论了时间和状态都是离散的Markov 链，本章我们研究的是时间连续、状态离散的Markov 过程，即连续时间的Markov 链. 连续时间的Markov 链可以理解为一个做如下运动的随机过程：它以一个离散时间Markov 链的方式从一个状态转移到另一状态，在两次转移之间以指数分布在前一状态停留. 这个指数分布只与过程现在的状态有关，与过去的状态无关（具有无记忆性），但与将来转移到的状态独立. 5.1 连续时间马尔可夫链的基本概念 定义 5.1 设随机过程{(),0}X t t ≥，状态空间{,1}n I i n =≥，若对任意的正整数 1210n t t t +≤<<

概率统计讲课稿第十三章马尔可夫链第一节第二节(上)

第十三章 马尔可夫链 马尔可夫过程是一类特殊的随机过程, 马尔可夫链是离散状态的马尔可夫过程,最初是由俄国数学家马尔可夫1896年提出和研究的. 应用十分广泛,其应用领域涉及计算机,通信,自动控制,随机服务,可靠性,生物学,经济,管理,教育,气象,物理,化学等等. 第一节 马尔可夫链的定义 设随机过程}),({T t t X ∈的状态空间S 是有限集或可列集, 对任意正整数n ,对于T 内任意1+n 个参数121+<

112211{(),(),,(),()}n n n n P X t j X t j X t j X t j ++==???== 而 112211{(),(),,(),()}n n n n P X t j X t j X t j X t j ++==???== 11221111{()}{()|()}{()|(),,n n n n P X t j P X t j X t j P X t j X t j X ++====???==L 这就归结为求形如 })(,,)(,)(|)({221111n n n n j t X j t X j t X j t X P =???===++的条件概率。在何种条件下这类条件概率容易算出来？ 一．定义 定义 1 设随机过程} ),({T t t X ∈的状态空间S 是有限集或可列集, 如果对任意正整数n ,对于T 内任意1+n 个参数121+<

概率统计讲课稿第十三章马尔可夫链(习题课)

第十三章马尔可夫链(习题课) 习题十三 1. 已知齐次马尔可夫链的转移概率矩阵 ? ?=03131P 323132???????? ?31310 问此马尔可夫链有几个状态？求二步转移概率矩阵. 解 因为转移概率矩阵是三阶的, 故此马尔可夫链的状态有三个; 二步转移概率矩阵 2) 2()2()(P p P ij == ? ?=0313*******???????? ?31310 ? ?031313 23132?????????31310 ??=929293949594???????? ? 939292 . 2. 在一串贝努利试验中,事件A 在 每次试验中发生的概率为p ,令

? ??=发生次试验第不发生次试验第A n A n X n ,1,0 ,Λ,3,2,1=n (1) },2,1,{Λ=n X n 是否齐次马尔可夫链？ (2) 写出状态空间和转移概率矩阵; (3) 求n 步转移概率矩阵. 解 (1) 根据题设条件 知道ΛΛ,,,,2 1 n X X X 是相互独立的, 所以 },2,1,{Λ=n X n 是马尔可夫链, 又转移概率 ???=======++1 ,0,}{}|{1 1j p j q j X P i X j X P n n n 与n 无关, 故},2,1,{Λ=n X n 是齐次马尔可夫链; (2) 状态空间}1,0{=S , 一步转移概率矩阵 )(ij p P = ? ?=q q ?? ?? p p , ? ??========++1,0,}{}|{1 1j p j q j X P i X j X P p n n n ij . (3) n 步移概率矩阵

股票成交量的马尔可夫链分析与预测 论文

股票成交量的马尔可夫链分析与预测论文 关键字：预测股票成交链分析量的马尔 【摘要】成交量是判断股票走势的重要依据，投资者对成交量异常波动的股票应当密切关注。股票的成交量对于投资者操作股票具有至关重要的参考意义，关系到投资者的切身经济利益。文章对股票成交量引入马氏链预测模型，通过研究发现，在短期里，该模型可以比较准确地预测成交量的变化趋势。 【关键词】股票成交量；马尔科夫链；转移概率 马尔可夫过程是以俄国数学家markov的名字命名的一种随机过程模型，它在经济预测、管理决策、水文气象等领域应用广泛。许多学者也将该方法应用于股价预测并建立预测模型，但很少有人用马氏链的理论和方法来对股票成交量进行分析与预测。股价之所以产生各种各样的波浪形态，主要是由于成交量变化引起的，成交量是股价各种走势的形成原因，所说的“量在价先”即是这个道理，成交量往往能先于股价预示出形态的未来发展方向或运行区间。所以如果我们理解了成交量各种变化过程及其对应k线走势的本质含义，就能动态地掌握成交量的分布变动状况，预测股价的未来走势，从而找到短线或中线的操作机会。股票成交量受诸多随机因素的影响，而这种影响常使股票成交量波动很大，不容忽略。本文运用马氏链理论建立股票成交量的数学预测模型，并以此来分析与预测股票成交量的波动，希望能使投资者避免盲目和不理性的投资行为，采取科学的投资策略。 一、马尔科夫链预测原理 马尔可夫过程概述 定义1:设有随机过程{xn，n∈t}，其时间集合t={0，1，2，…}，状态空间e={0，1，2，…}，亦即xn是时间离散和状态离散的。若对任意的整数n∈t及任意的i0，i1，…，in+1∈e，条件概率满足 p{xn+1 = in+1|x0=i0，x1=i1，…， xn=in} = p{xn+1 =in+1｜xn=in} （1） 则称{ xn， n∈t}为马尔可夫链，简称马氏链。（1）式称为过程的马尔可夫性（或称无后效性）。它表示若已知系统现在的状态，则系统未来所处状态与过去所处的状态无关。定义 2: 称条件概率 pij（m，1）=p{xm+1=j｜xm=i}(i，j∈e) （2） 为马氏链{xn，n∈t}在时刻m的一步转移概率，简称为转移概率.若对任意的i，j∈e，马尔可夫链{ xn，n∈t}的转移概率pij（m，1）与m无关，则称马氏链是齐次的，记pij（m，1）为pij 。 同时定义:系统在时刻m从状态i出发，经过n步后处于状态j的概率pij（m，n）=p{xm+n=j|xm=i}（i，j∈e，m≥0，n≥1）（3） 为齐次马尔可夫链{xn，n∈t}的n步转移概率。由齐次性知其与m无关，故简记为pij（n）。 定义3:齐次马尔可夫链的所有一步转移概率pij组成的矩阵p1=（pij）称为它在时刻m的一步转移概率矩阵(i，j∈e)。所有n步转移概率pij（n）组成的矩阵pn=（pij（n））为马尔可夫链的n步转移概率矩阵，其中:0≤pij（n）≤1，。 设{xn，n∈t}为齐次马尔可夫链，则： pn = p1p1（n-1） = p1n（n≥1）（4） 二、运用马尔可夫链预测马钢股份（600808）成交量变化趋势 这里，用马尔可夫链对马钢股份（600808）2007年3月16日到2007年4月22日的日成交量变化过程进行分析。（数据来源：新浪网财经频道）分析过程分以下几步：第一步，构造成交量变化的分布状态；第二步，检验马尔科夫性；第三步，马尔可夫模型的建立和预测；第四步：历史数据的预测值和实测值的误差分析。 （一）构造成交量变化的分布状态 xt是代表股票成交量大小的随机时间序列，对xt所能取到的最小值m0和最大值mn所限定的区间划分成若干小区间:（m0，m1]，（m1，m2]，…，（mn-1，mn]，其中mi≥mi-1。再记ek=（mk-1，mk]，则可视xt（t=1，2，…，n）为一个以e=ek（k=1，2，…，n）为状态空间的随机时间序列（或称随机过程）。下面根据马钢股份（600808）这只股票成交量的实际情况划分，将2007年3月16日到2007年4月22日的日成交量划分为4个区域，使每一天的成交量仅落入其中一个区域内，每一区域可作为一种状态。需要注意的是，由一个标准划分的各个状态之间应相互独立，使预测对象在某一时间只处于一种状态。 min xt = m0 = 304310 max xt = mn = 1085344 （mn-m0）/4= 195258 那么，xt是一个以e=ek（k=1，2，3，4）为状态空间的随机序列。分为4个价格区间，每一区间为一状态（如下表2）。

马尔可夫链模型讲解

马尔可夫链模型（Markov Chain Model） 目录 [隐藏] 1 马尔可夫链模型概述 2 马尔可夫链模型的性质 3 离散状态空间中的马尔可夫链模 型 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建立 o 5.2 马尔可夫模型的应用 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述 马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为 。 马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态 的个数。对于任意i∈s，有。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处 于状态i的概率，满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质 马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X | X n) n+ 1 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：

马尔可夫性与马尔可夫链

马尔可夫性与马尔可夫链 【教学目标】 1．掌握马尔可夫性与马尔可夫链。 2．熟练运用马尔可夫性与马尔可夫链解决具体问题。 3．亲历马尔可夫性与马尔可夫链的探索过程，体验分析归纳得出马尔可夫性与马尔可夫链，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握马尔可夫性与马尔可夫链。 难点：马尔可夫性与马尔可夫链的实际应用。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习马尔可夫性与马尔可夫链，这节课的主要内容有马尔可夫性与马尔可夫链，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解马尔可夫性与马尔可夫链内容，形成初步感知。 （2）首先，我们先来学习马尔可夫性，它的具体内容是： 1n X +的随机变化规律与0X ，1X ，…1n X -的取值都没有关系，随机变量序列{}n X 的所具有的这类性质称为马尔可夫性 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例： 马尔可夫性描述了一种_____。 解析：状态序列 可以给学生一定的提示。 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习： 序列所有可能取值的集合，被称为_____。 （3）接着，我们再来看下马尔可夫链内容，它的具体内容是：

一般地，我们称具有马尔可夫性的随机变量序列{}n X为马尔可夫链。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：请同学们查询资料，判断马尔可夫链与布朗运动是否有联系 解析：马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习： 请写出马尔科夫链满足的两个假设。 三、课堂总结 （1）这节课我们主要讲了马尔可夫性与马尔可夫链 （2）它们在解题中具体怎么应用？ 四、习题检测 1．请同学们写出马尔可夫性的定义。 2．请同学们写出马尔科夫链的定义。 3．请同学们写出马尔科夫性和马尔科夫链之间的联系。

第十二章马尔可夫链第一节第二节(上)

第十二章 马尔可夫链 马尔可夫过程是一类特殊的随机过程, 马尔可夫链是离散状态的马尔可夫过程,最初是由俄国数学家马尔可夫1896年提出和研究的. 应用十分广泛,其应用领域涉及计算机,通信,自动控制,随机服务,可靠性,生物学,经济,管理,教育,气象,物理,化学等等. 第一节 马尔可夫链的定义 设随机过程}),({T t t X ∈的状态空间S 是有限集或可列集, 对任意正整数n ,对于T 内任意1+n 个参数121+<

我们需要知道 112211{(),(),,(),()}n n n n P X t j X t j X t j X t j ++==???== 而 112211{(),(),,(),()}n n n n P X t j X t j X t j X t j ++==???== 11221111{()}{()|()}{()|(),,n n n n P X t j P X t j X t j P X t j X t j X ++====???==这就归结为求形如 })(,,)(,)(|)({221111n n n n j t X j t X j t X j t X P =???===++的条件概率。在何种条件下这类条件概率容易算出来？ 一．定义 定义 1 设随机过程}),({T t t X ∈的状态空间S 是有限集或可列集, 如果对任意正整数n ,对于T 内任意1+n 个参数121+<

马尔可夫链的概念及转移概率

第四章 4.1 马尔可夫链的的概念及转移概率 一、知识回顾 二、马尔可夫链的的定义 三、转移概率 四、马尔可夫链的一些简单例子 五、总结

一、知识回顾 1. 条件概率 定义：设A，B为两个事件，且，称 为事件A发生条件下B事件发生的条件概率。 将条件概率公式移项即得到所谓的乘法公式： 2.全概率公式 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，若为S的一个完备事件组，既满足条件： 1)两两互不相容，即 2).，且有，则 此式称为全概率公式。 3.矩阵乘法 矩阵乘法的定义 ， 如果

那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积，记作 4.马尔可夫过程的分类 马尔可夫过程按其状态和时间参数是连续的或离散的，可分为三类：（1）时间、状态都是离散的马尔科夫过程，称为马尔可夫链； （2）时间连续、状态离散的马尔科夫过程称为连续时间的马尔可夫链的；（3）时间、状态都连续的马尔科夫过程。

二、马尔科夫链的定义 定义4.1设有随机过程，若对于任意的整数和任意的，条件概率都满足 (4.1.1) 则称为马尔科夫链，简称马氏链。 式(4.1.1)即为马氏链，他表明在状态已知的条件下，的条件概率与无关，而仅与所处的状态有关。 式(4.1.1)是马尔科夫链的马氏性（或无后效性）的数学表达式。由定义知 = = = 可见，马尔科夫链的统计特性完全由条件概率 所决定。如何确定这个条件概率，是马尔科夫链理论和应用中的重要问题之一。 现举一例说明上述概念： 例4.1.1 箱中装有c个白球和d个黑球，每次从箱子中任取一球，抽出的球要到从箱子中再抽出一球后才放回箱中，每抽出一球作为一次取样试验。 现引进随机变量序列为,每次取样试验的所有可能结果只有两个，即白球或黑球。若以数代表白球，以数代表黑球则有

马尔可夫链预测方法

马尔可夫链预测方法 一、基于绝对分布的马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析方法，称为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP 法”。其具体方法步骤如下: 1．计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准，即确定马尔可夫链的状态空间I ，这可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可用样本均方差为标准，将指标值分级，确定马尔可夫链的状态空间 I =[1, 2，…，m ]； 2．按步骤1所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3．对步骤2所得的结果进行统计计算，可得马尔可夫链的一步转移概率矩阵1P ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4．进行“马氏性” 检验； 5．若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i ，则可认为初始分布为 (0)(0,,0,1,0,0)P = 这里P (0)是一个单位行向量，它的第i 个分量为1，其余分量全为0。于是第2时段的绝对分布为 1(1)(0)P P P =12((1),(1),,(1))m p p p = 则第2时段的预测状态j 满足：(1)max{(1),}j i p p i I =∈； 同样预测第k ＋1时段的状态，则有 1()(0)k P k P P =12((),(),,())m p k p k p k = 得到所预测的状态j 满足: ()max{(),}j i p k p k i I =∈ 6．进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。 二、叠加马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，利用各种步长的马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，的方法，称为“叠加马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“SPMCP 法’。其具体方法步骤如下: 1) 计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行； 2) 按1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3) 对2)所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4) 马氏性检验； 5) 分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各步转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率 (6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即 ,所对应的i 即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加 入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。 (7)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。

马尔可夫链

马尔可夫过程 一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年 A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。 目录 马尔可夫过程 离散时间马尔可夫链 连续时间马尔可夫链 生灭过程 一般马尔可夫过程 强马尔可夫过程 扩散过程 编辑本段马尔可夫过程 Markov process 1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。 类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。

概率统计讲课稿第十三章马氏链第二节(下)

三.有限维概率分布 马尔可夫链},,,),({210???=t t t t t X 在初始时刻0t 的概率分布 })({)(00j t X P t p j ==, ???=,2,1,0j 称为初始分布. 初始分布与转移概率完全地确定了马尔可夫链的任何有限维分布.下面的定理二正是论述这一点. 不妨设齐次马尔可夫链的参数集和状态空间都是非负整数集,那么有 定理二 设齐次马尔可夫链},2,1,0),({???=n n X 的状态空间},,,2,1,0{??????=i S ,则对任意n 个非负整数n k k k

})(|)({})({112211j k X j k X P j k X P ==?== })(,)(|)({221133j k X j k X j k X P ===? } )(,,)(,)(|)({112211--=???===???n n n n j k X j k X j k X j k X P })(|)({})({112211j k X j k X P j k X P ==?== })(|)({2233j k X j k X P ==? })(|)({11--==???n n n n j k X j k X P ?==})({11j k X P ) ()()(1123321221-----???n n n n k k j j k k j j k k j j p p p , 由全概率公式,上式等号右端第一 因式化为 })({11j k X P = })0(|)({})0({011i X j k X P i X P i ==?==∑+∞ = ∑+∞ ==0 ) (11)0(i k ij i p p , 于是得到 })(,,)(,)({2211n n j k X j k X j k X P =???== )()()()(0112332122111 )0(-----+∞ =???=∑n n n n k k j j k k j j k k j j k ij i i p p p p p , 证毕 . 例6 在本节例5中,设初始时输入0和1 的概率分别为31和32 ,求第 2、3、6 步都传输出1的概率.

随机过程报告记录——马尔可夫链

随机过程报告记录——马尔可夫链

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马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为 ,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上 改变它的状态。随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ?其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。 定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的 ,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足 }i {},...,i X i {1n 100 01n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。 假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。 定义1.2 条件概率 }{P 1)(i X j X p n n n ij ===+ 称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转 移概率。 一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫

107511-概率统计随机过程课件-第十三章马氏链第三节(上)

第三节 参数连续的齐次马尔可夫链 在实际应用中, 马尔可夫链的参 数t 通常表示时间,参数集T 通常取非负实数集.本节就来讨论这类参数连续的马尔可夫链. 一. 转移概率函数 定义 5 设}0),({≥t t X 是参数连续 的马尔可夫链,对于任意非负实数t 和任意正实数τ,以及链的任意两 个状态j i ,,条件概率 )(})(|)({)(t p i t X j t X P ij ττ===+ 称为马尔可夫链在时刻t 由状态i 出 发,经过时间间隔τ,在时刻τ+t 到 达状态j 的转移概率.τ称为转移时 间. 一般来说, )()(t p ij τ既依赖于出发 时刻t ,又依赖于转移时间τ.

特殊地,如果)()(t p ij τ不依赖于出 发时刻t ,仅依赖于转移时间τ,则 称马尔可夫链}0),({≥t t X 具有齐次性 或时齐性.此时可记 )(})(|)({)()(τττij ij p i t X j t X P t p ===+=,(13.15)就是说,对于参数连续的齐次马尔可夫链,从状态i 转移到状态j 的转移概率仅仅依赖于完成状态转移的转移时间τ,而与出发时刻无关.)(τij p 是转移时间τ的函数. 一般地, 参数连续的齐次马 尔可夫链的转移概率函数具有如下性质: 性质1 当0>τ时, 0)(≥τij p . 当0=τ时,规定 ???≠===j i j i p ij ij ,0,1)0(δ,(13.16) ij δ称为克罗纳克(Kronecker)符号. ? ??≠===j i j i p ij ij ,0,1)0(δ表示:在任何瞬时,一个状态留在原位的概 率为1,而跳离原位的概率为0.

第三章 马尔可夫链

第三章 马尔可夫链 一、马尔可夫链的概念 马尔可夫过程是一类有重要应用意义的随机过程，它具有如下特征：随机过程‘将来’所处的状态仅与‘现在’所处的状态有关，而与‘过去’曾处于什么状态无关。 马尔可夫过程按其状态和时间参数是离散还是连续的可以分成三类 （1） 时间和状态都是离散的马尔可夫过程，称为马尔可夫链。 （2） 时间连续、状态离散的马尔可夫过程，称为连续时间的马尔可夫链。 （3） 时间和状态都连续的马尔可夫过程。 本章介绍马尔可夫链 定义1 设}0,{≥n X n 为随机序列，其状态空间为},,,{210 i i i I =，如果对任意正整数n 及任意n+2个状态I i i i i n ∈+1210,,,, ，有 },,,{110011n n n n i X i X i X i X P ====++ }{11n n n n i X i X P ===++ 则称此随机序列}0,{≥n X n 为马尔可夫链。 若将时刻n 称为‘现在’，将时刻n+1称为‘将来’，而把0，1，2，……，n-1称为‘过去’。定义中的等式便可通俗解释为：在已知}0,{≥n X n ‘现在’所处的状态条件下，‘将来’所要达到的状态与‘过去’所经历的状态无关，这一特性常称为马尔可夫的无后效性。 例1．一个n 级数字传输系统，每一级的输入和输出信号只取0或1两个值，每一级的输出是下一级的输入；并假定当一级输入为0时，其输出为0和为1的概率分别为p 和1-p;当输入为1时，其输出为1和0的概率分别为p 和1-p （见图）

令Xn 表示第n 级输出，则{ Xn,n ≥0}便为一个马尔可夫链。 例2．从1，2，……，N 数字中任取一个数，记为X0；再从1，2，……，X0数字中任取一个数，记为X1；再从1，2，……，X1中任取一个数，记为X2；依此类推，在1，2，……，Xn-1中任取一个数，记为Xn 。可以证明{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。 事实上，{ Xn,n ≥0}的状态空间为I={1，2，……，N}，对任意正整数n ，取n+1个状态I i i i i n ∈,,,,210 ,由题意可知 故{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。 二、转移概率 由马尔可夫链的无后效性和乘法公式有 },,,{1100n n i X i X i X P === },,,{},,,{111100111100----===?=====n n n n n n i X i X i X P i X i X i X i X P },,,{}{11110011----===?===n n n n n n i X i X i X P i X i X P = }{}{}{}{000011221111i X P i X i X P i X i X P i X i X P n n n n n n n n ========------ 由此可见，马尔可夫链的统计特性完全由条件概率