平行垂直关系的证明(例、练及答案)

平行垂直关系的证明（例、练及答案）

1．平行关系的证明

例1：如图，，，，分别是正方体的棱，，，的中点． 求证：

（1）平面； （2）平面平面．

2．垂直关系的证明

例2：如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，

，．

（1）求证：平面； （2）求证：平面；

（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时

的E F G H 1111ABCD A B C D -BC 1CC 11C D 1AA EG ∥11BB D D BDF ∥11B D

H 111ABC A B C -1AA ⊥ABC M AC =AB BC =2

AC 1

AA 1B C ∥1A BM 1AC ⊥1A BM 1BB N 1AC N ⊥11AA C C 1

BN

BB

值；如果不存 在，请说明理由．

练习

一、单选题

1．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：

①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．若，，且，则

B ．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则

C ．若，，则

D ．若，，则

3．给出下列四种说法：

①若平面，直线，则； ②若直线，直线，直线，则； ③若平面，直线，则；

④若直线，，则．其中正确说法的个数为（） A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

αm n m n α1m 1n 11m n m n ⊥?⊥11m n m n ⊥?⊥1m 1n m ?n 1m 1n m ?n m n αβl m ⊥l n ⊥m n α?，l α⊥αβαβ∥m α⊥m n ⊥n α∥m n ∥n α⊥m α⊥αβ∥a b αβ??，a b ∥a b ∥a α∥b β∥αβ∥αβ∥a α?a β∥a α∥a β∥αβ∥

4．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（） （1），，， （2）， （3），， （4）， A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3

5．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若垂直于同一平面，则平行 B ．若平行于同一平面，则平行

C ．若不平行，则在内不存在与平行的直线

D ．若不平行，则不可能垂直于同一平面

7．已知是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若，则； ②若，则； ③若，则；

m n αβm α?n α?m β∥n βαβ?∥∥n m ∥n m αα⊥?⊥αβ∥m α?n m n β??∥m α⊥m n n α⊥?∥1111ABCD A B C D -M N P ，，1111C D BC A D ，

，MN AP ∥1MN BD ∥11MN BB D D ∥平面MN BDP ∥平面m n ，αβ，αβ，αβ与m n ，m n 与αβ，αβm n ，m n 与m n ，αβγm m αβ⊥⊥，αβ∥αγβγ⊥⊥，αβ∥m n m n αβ??，，∥αβ∥

④若是异面直线，，则．其中真命题是（） A ．①和②

B ．①和③

C ．③和④

D ．①和④

8．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是（）．

A ．

B ．

C ．三棱锥的体积为定值

D ．的面积与的面积相等

9．如图所示，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是（）

A ．

B ．与所成的角为

C ．平面

D ．平面平面

10．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）

m n ，m m n n αββα??，∥，，∥αβ∥11A C E F ，2EF

=BD CE ⊥EF ABCD ∥平面E FBC -BEF △CEF △AB O VA O C A

B ，M N ，VA VC

，MN AB ∥MN BC 45?OC ⊥VAC VAC ⊥VBC 111ABC A B C -1AA ⊥111A B C 111A B C E

BC

A ．与是异面直线

B ．平面

C ．，为异面直线且

D ．平面

11．设分别是正方体的棱上两点，且，给出下列四个命题：

①三棱锥的体积为定值；②异面直线与所成的角为；③平面

；④直线与平面所成的角为．其中正确的命题为（）

A ．①②

B ．②③

C ．①②④

D ．①④

12．如下图，梯形中，，，将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面．给出下面四个命题：

①；②三棱锥的体积为

；③平面； ④平面平面．其中正确命题的序号是（）

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．②④

二、填空题

13．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)

①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则．

1CC 1B E AC ⊥11ABB A AE 11B C 11AE B C ⊥11A C ∥1AB E E F ，1111ABCD A B C D -DC 21AB EF ==，11D B EF -11D B EF 45?11D B ⊥1B EF 11D B 1B EF 60?ABCD AD BC ∥1

45AD AB AD AB BCD ==⊥∠=?，，ABD △BD A A 'A BD '⊥BCD A D BC '⊥A BCD '

-2

CD ⊥A BD 'A BC '⊥A DC

'm n ，αβ，m α∥n α∥m n ∥m α∥m β∥αβ∥m n ∥m α⊥n α⊥m α∥αβ⊥m β⊥

14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论

①；②与所成的角为；③与是异面直线；④． 以上四个命题中，正确命题的序号是_________．

15．若四面体的三组对棱分别相等，即，给出下列结论：

①四面体每组对棱相互垂直； ②四面体每个面的面积相等；

③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大而小于； ④连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分． 其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）

16．如图，一张矩形白纸，，

分别为的中点，现分别将，沿折起，且在平面同侧，下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的序号）．

①当平面平面时，平面

②当平面平面时， ③当重合于点时，

④当重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题

17．如图，四棱锥中，，，，为正三角形．

AB EF ⊥AB CM 60?EF MN MN CD ∥ABCD AB CD AC BD AD BC ===，，ABCD ABCD ABCD 90?180?ABCD ABCD 10AB =AD =E F ，AD BC ，ABE △CDF △BE DF ，A C 、BFDE ABE ∥CDF AC ∥BFDE ABE ∥CDF AE CD ∥A C 、P PG PD ⊥A C 、P P DEF -150πP ABCD -22AB AD BC ===BC AD ∥AB AD ⊥PBD △

且

（1）证明：平面平面；

（2）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且平面

，求四面体的体积．

18．如图，四边形为正方形，

平面，，，，．

（1）求证：；

（2）若点在线段上，且满足，求证：平面；

（3）求证：平面．

参考答案

PA =PAB ⊥PBC P ABCD E PD PB ∥ACE A CDE -ABCD EA ⊥ABCD EF AB ∥4AB =2AE =1EF =BC AF ⊥M AC 1

4

CM CA =EM ∥FBC AF ⊥EBC

1．【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】证明（1）如图，取的中点，连接，，

因为，所以，所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面． （2）由题意可知．连接，，

因为，所以四边形是平行四边形，故 又，，所以平面平面． 2．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，

． 【解析】（1）证明：连接与，两线交于点，连接．

在中，∵，分别为，的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面． （2）证明：∵侧棱底面，平面，∴， 又∵为棱的中点，，∴．

∵，，平面，∴平面，∴ ∵，∴．又∵，∴在和中，

∴，

即，∴

∵，，平面，∴平面．

11B D O GO OB 111

2

OG B C BE ∥∥BE OG ∥

BEGO OB EG ∥OB ?11BB D D EG ?11BB D D EG ∥11BB D D 11BD B D ∥HB 1D F 1BH D F ∥

1HBFD 1HD BF ∥1111=B D HD D I =BD BF B I BDF ∥11B D H 1

2

1AB 1A B O OM 1B AC △M O AC 1AB 1OM B C ∥OM ?1A BM 1B C ?1A BM 1B C ∥1A BM 1AA ⊥ABC BM ?ABC 1AA BM ⊥M AC =AB BC BM AC ⊥1=AA AC A I 1AA AC ?11ACC A BM ⊥11ACC A 1BM AC ⊥=2AC =1AM 1AA 1Rt ACC △1Rt A AM △11tan tan AC C A MA ∠==11AC C A MA ∠∠＝111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=?11A M AC ⊥1BM A M M =I BM 1A M ?1A BM 1AC ⊥1A BM

（3）解：当点为的中点，即

时，平面平面

证明如下：

设的中点为，连接，，∵，分别为，的中点，∴，

且．又∵为的中点，∴，且，

∴四边形为平行四边形，∴，

∵平面，∴平面．又∵平面， ∴平面平面．

练习答案

一、单选题 1．【答案】D

【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体中：

对于说法①：若取平面为，，分别为，，分别为， 满足，但是不满足，该说法错误；对于说法②：若取平面为，，

分别为，分别为，满足，但是不满足，

该说法错误；对于说法③：若取平面为，，分别为，分别为

，

N 1BB 11

2

BN BB =1AC N ⊥11AA C

C 1AC

D DM DN D M 1AC AC 1DM CC ∥11

2

DM CC =N 1BB DM BN ∥DM BN =BNDM BM DN ∥BM ⊥11ACC A DN ⊥11AA C C DN ?1AC N 1AC N ⊥11AA C C 1111ABCD A B C D

-αABCD 1m 1n AC BD m n ，11A C BD ，11m n ⊥m n ⊥α11ADD A 1m 1n 111A D AD ，m n ，111A C BD ，m n ⊥11m n ⊥αABCD 1m 1n AC BD ，m n ，11AC BD ，

满足与相交，但是与异面，该说法错误；对于说法④：若取平面为，

、分别为，、分别为，满足与平行，

但是与异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D 选项． 2．【答案】D

【解析】对于选项A ，若，，且，则l 不一定垂直平面，∵有可能和平行， ∴该选项错误；

对于选项B ，若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则、可能相交或平行，∴该选项错误；

对于选项C ，若，则有可能在平面内，∴该选项错误；

对于选项D ，由于两平行线中有一条垂直平面，则另一条也垂直平面，∴该选项正确，故答案为D ． 3．【答案】D

【解析】若平面，直线，则可异面；

若直线，直线，直线，则可相交，此时平行两平面的交线； 若直线，，则可相交，此时平行两平面的交线； 若平面，直线，则无交点，即；故选D ． 4．【答案】B

【解析】由，，，，若相交，则可得，若，则与

可能平行也可能相交，故（1）错误；

若，根据线面垂直的第二判定定理可得，故（2）正确； 若，，，则或异面，故（3）错误； 若，，则或，故（4）错误；故选B ． 5．【答案】C

【解析】A ：和是异面直线，故选项不正确； B ：和是异面直线，故选项不正确；

1m 1n m n α11ADD A 1m 1n 11A D AD ，m n 11A C BC ，1m 1n m n l m ⊥l n ⊥m n α?，αm n αβαβm m n α⊥⊥，n ααααβ∥a b αβ??，a b ，a b ∥a α∥b β∥αβ，a b ，a α∥a β∥αβ，a b ，αβ∥a α?a β与a β∥m α?n α?m β∥n β∥a b ，αβ∥a b ∥αβm n ∥n α⊥m α⊥αβ∥m α?n β?m n ∥m n ，m α⊥m n ⊥n α∥n α?MN AP MN 1BD

C ：记．∵正方体中，分别是的中点，

∴，，∴为平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面．

D ：由C 知，而面和面相交，故选项不正确；故选C ． 6．【答案】D

【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确； 平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确；

平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确； D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D 正确．故选D ． 7．【答案】D

【解析】逐一考查所给的命题：

①由线面垂直的性质定理可得若，则，命题正确； ②如图所示的正方体中，取平面分别为平面

，

满足，但是不满足，命题错误；

③如图所示的正方体中，取平面分别为平面， 直线分别为，满足，但是不满足，命题错误；

④若是异面直线，，由面面平行的性质定理易知，命题正确；

AC BD O =I 1111ABCD A B C D -M N ，11C D BC ，1ON D M CD ∥∥11

2

ON D M CD ==1MNOD 1MN OD ∥MN ?1BD D 1OD ?1BD D MN ∥1BD D 11MN BB D D ∥平面11BB D D BDP m m αβ⊥⊥，αβ∥1111ABCD A B C D -αβγ，，1111ABB A ADD A ABCD ，，αγβγ⊥⊥，αβ∥1111ABCD A B C D -αβ，1111ABB A ADD A ，m n ，11BB DD ，m n m n αβ??，，∥αβ

∥m n ，m m n n αββα??，∥，，∥αβ∥

综上可得，真命题是①和④，本题选择D 选项． 8．【答案】D

【解析】在正方体中，平面，

而平面，故，故A 正确．

又平面，因此平面，故B 正确．

当变化时，三角形的面积不变，点到平面的距离就是到平面的距离，它是一个定值，故三棱锥的体积为定值（此时可看成三棱锥的体积），故C 正确．

在正方体中，点到

到的距离为1，D 是错误的，故选D ． 9．【答案】D

【解析】对于A 项，与异面，故A 项错；

对于B 项，可证平面，故，∴所成的角为，因此B 项错； 对于C 项，与不垂直，∴不可能垂直平面，故C 项错； 对于D 项，由于，平面，平面，∴，

∵，∴平面，平面，∴平面平面，故选D ． 10．【答案】C

【解析】对于A 项，与在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A 错；

对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故平面不可能，∴B 错； 对于C 项，∵，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C 正确；

对于D 项，∵所在的平面与平面相交，且与交线有公共点， 故平面不正确，∴D 项不正确；故选C ． 11．【答案】A

【解析】由题意得，如图所示，

1111ABCD A B C D -BD ⊥11A ACC CE ?11A ACC BD CE ⊥11A C ∥ABCD EF ∥ABCD EF CEF B CEF B 11A CCC E FBC -B CEF -B EF C EF MN AB BC ⊥VAC BC MN ⊥90?OC AC OC VAC BC AC ⊥VA ⊥ABC BC ?ABC VA BC ⊥=AC VA A I BC ⊥VAC BC ?VBC VAC ⊥VBC 1CC 1B E AC ⊥11ABB A AE 11B C 11A C 1AB E 11A C 11A C ∥1AB E

①中，三棱锥的体积的为，∴体

积为定值；

②中，在正方体中，，∴异面直线与所成的角就是直线与所成的角，

即，∴这正确的；

③中，由②可知，直线与不垂直，∴面不成立，∴是错误的； ④中，根据斜线与平面所成的角，可知与平面所成的角，即为，∴不正确． 12．【答案】B

【解析】①∵，∴， ∵，∴，

∵平面平面，且平面平面，∴平面， ∵平面，∴，故不成立，故①错误； ②棱锥的体积为，故②错误；

③由①知平面，故③正确；

④由①知平面，又∵平面，∴， 又，且、平面，， ∴平面，又平面， ∴平面平面，故④正确．故选B ．

二、填空题

11111111112

223323

D B EF B D EF D EF V V S B C EF --==??=????=△11EF C D ∥11D B EF 11D B 11C D 11145B D C ∠=?11D B EF 11D B ⊥1B EF 11D B 1B EF 11145B D C ∠=?90BAD AD AB ∠=?=，45ADB ABD ∠=∠=?45AD BC BCD ∠=?∥，BD DC ⊥A BD '⊥BCD A BD 'I BCD BD =CD ⊥A BD 'A D '?A BD 'CD A D ⊥'A D BC '⊥A BCD '

-1132?=CD ⊥A BD 'CD ⊥A BD 'A B '?A BD 'CD A B ⊥'A B A D '⊥'A D 'CD ?A DC 'A D CD D '=I A B '⊥A DC 'A B '?A BC 'A BC '⊥A DC '

13．【答案】③

【解析】，，则，与可能相交也可能异面，∴①不正确；

，，则，还有与可能相交，∴②不正确； ，，则，满足直线与平面垂直的性质定理，故③正确； ，，则，也可能，也可能，∴④不正确；

故答案为③． 14．【答案】①③

【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：

则，与异面，，只有①③正确．故答案为①③． 15．【答案】②④

【解析】①将四面体的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，

∴平行六面体为长方体．

由于长方体的各面不一定为正方形，∴同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误；

②四面体的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确；

③由②，四面体的每个面是全等的三角形，从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为．③错误； ④连接四面体每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确，故答案为②④．

m α∥n α∥m n ∥m n m α∥m β∥αβ∥αβm n ∥m α⊥n α⊥m α∥αβ⊥m β⊥m β∥m A β=

I AB EF ⊥EF MN AB CM MN CD ⊥∥，ABCD ABCD ABCD ABCD 180?ABCD

16．【答案】①④

【解析】在中，，在中，，

∴，由题意，将沿折起， 且在平面同侧，

此时四点在同一平面内，平面平面， 平面平面，当平面平面时，得到， 显然，∴四边形是平行四边形，∴， 进而得到平面，∴①正确的；

由于折叠后，直线与直线为异面直线，∴与不平行，∴②错误的； 折叠后，可得

，其中，， ∴和不垂直，∴③不正确；

当重合于点时，在三棱锥中，和均为直角三角形， ∴为外接球的直径，即， 则三棱锥的外接球的表面积为，∴④是正确， 综上正确命题的序号为①④．

三、解答题

17．【答案】（1）见解析；（

2）．

【解析】（1）证明：∵，且，∴，

又为正三角形，∴，又∵，

∴，

ABE △tan ABE ∠=

ACD △tan CAD ∠=ABE DAC ∠=∠ABE CDF △，△BE DF ，A C ，BEDF A

C G H ，，，ABE I AGHC AG =CDF I AGHC CH =ABE ∥CDF AG CH ∥AG CH =AGHC AC GH ∥AC ∥BFDE AE C

D A

E CD PG =

10PD =10GD =222PG PD GD +≠PG PD ,A C P P DEF -EFD △FCD △DF 2DF R =

=P DEF -2

2

44150R π=π?=π??

8

9

AB AD ⊥2AB AD ==BD =PBD △PB PD BD ===2AB =PA =AB PB ⊥

又∵，，∴，， ∴平面，又∵平面， ∴平面平面．

（2）如图，连接，交于点，∵，

且，∴，连接， ∵平面，∴，则， 由（1）点到平面的距离为2，

∴点到平面的距离为，

∴，

即四面体的体积为．

18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）∵，∴与确定平面，

∵平面，∴．由已知得且， ∴平面．又平面，∴． （2）过作，垂足为，连接，则． 又，∴．又且， ∴且，∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面，∴平面． （3）由（1）可知，．

在四边形中，，，，，

AB AD ⊥BC AD ∥AB BC ⊥PB BC B =I AB ⊥PBC AB ?PAB PAB ⊥PBC BD AC O BC AD

∥2AD BC =2OD OB =OE PB ∥ACE PB OE ∥2DE PE =P ABCD E ABCD 24

233

h =?=11148

2233239

A CDE E ACD ACD V V S h --??==?=????= ???△A CDE -8

9

EF AB ∥EF AB EABF EA ⊥ABCD EA BC ⊥AB BC ⊥=EA AB A I BC ⊥EABF AF ?EABF BC AF ⊥M MN BC ⊥N FN MN AB ∥14CM AC =

MN AB =EF AB ∥1

4

EF AB =EF MN ∥EF MN =EFNM EM FN ∥FN ?FBC EM ?FBC EM ∥FBC AF BC ⊥ABFE 4AB =2AE =1EF =90BAE AEF ∠=∠=?

∴，则． 设，∵，

故，则，即． 又∵，∴平面．

1

tan tan 2

EBA FAE ∠=∠=

EBA FAE ∠=∠AF BE P =I 90PAE PAB ∠+∠=?90PBA PAB ∠+∠=?90APB ∠=?EB AF ⊥EB BC B =I AF ⊥

EBC