2020年高考数学之冲破压轴题讲与练专题10 数列与不等式的综合问题(解析版)

第二章数列与不等式

专题10 数列与不等式的综合问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.

①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；

②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较．

【压轴典例】

例1.（2013·全国高考真题（理））设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,… 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2

n n

b a +，则( ) A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列

C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列

D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【答案】B 【解析】

因为11b c >，不妨设111142,33a a b c ==，13

()22

p a b c a =++=；故2

1111113515···2266a a a a S =

=； 21a a =，112125326

a a

b a +==，11214

7326a a c a +==，2

111121326 (22336)

a a a a S a ==；显然21S S >；

同理，31a a =，112159428a a b a +==，11313

7428

a a c a +==，211113133535 (228816)

a a a a S a ==，显然32S S >. 例2. （2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*

{|2,}n B x x n N ==∈．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．【答案】27 【解析】

设=2k n a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k

n S -=?-?-+?-++++L L

(

)1122

121221

2(12)2

222

k k k

k k ---++?--=

+=+--

由112n n S a +>得22

1121152

2212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥ 所以只需研究56

22n a <<是否有满足条件的解，

此时25

[(211)+(221)+(21)][222]n S m L L =?-?-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等

差数列项数，且16m >. 由2

212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，

得满足条件的n 最小值为27. 例3.（2018·浙江高考模拟）设数列的前项和分别为，其中

，使

成立的最大正整数__________,__________．

【答案】 6. 114. 【解析】

根据题意，数列{a n }中，a n =-3n+20，则数列{a n }为首项为17，公差为-3的等差数列，

且当n≤6时，a n ＞0，当n ＞7时，a n ＜0，又由b n =|a n |，当n≤6时，b n =a n ，当n ＞7时，b n =-a n ，则使T n =S n 成立的最大正整数为6，T 2018+S 2018=（a 1+a 2+……+a 6+a 7+a 8+……+a 2018）+

（b 1+b 2+……+b 6+b 7+b 8+……+b 2018）=（a 1+a 2+……+a 6+a 7+a 8+……+a 2018）+（a 1+a 2+……+a 6-a 7-a 8-……-a 2018） =2（a 1+a 2+……+a 6）=

，故答案为：6，114

例4.（2019·江西师大附中高考模拟（文））数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排

1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则

满足2019n S >的最小正整数n 的值为（）

A ．20

B ．21

C ．26

D ．27

【答案】B 【解析】

第一行为4，其和为4，可以变形为：1232T =?-；

第二行为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为：(

)22

41323

213

T -==?--；

第三行为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为(

)33

41323

213

T -==?--；

依此类推：第n 行的和：232n

n T =?-；

则前6行共：12345621+++++=个数前6行和为：

()()()()

26267212322322322333123152172S =?-+?-+???+?-=?++???+-=-=

满足2019n S >

而第六行的第6个数为：543972?=，则202197212002019S S =-=<

∴满足2019n S >的最小正整数n 的值为：21

本题正确选项：B

例5.（2019·内蒙古高考模拟（理））数列()

1n a n n =+的前n 项和为n S ，若1S ，

m S ，n S 成等比数列()1m >，则正整数n 值为______. 【答案】8

【解析】 ∵()11111n a n n n n =

=-++，∴11111122311

n n S n n n =-+-++-=++L ，又1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，∴()2

1m n S S S =?，即

()

1211m n n m =?++，()2221

1m n n m =++， ∴()2

221m m <+，即2210m m --<，

解得1212m -<<+，结合1m >可得2m =， ∴8n =，故答案为8.

例6.（2016·天津高考真题（理））已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的，是

和的等比中项.

（Ⅰ）设

求证：数列{}是等差数列；

（Ⅱ）设求证：

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】

（Ⅰ）证明：由题意得，有

，

因此，所以

是等差数列.

（Ⅱ）证明：

所以.

例7.（2016·四川高考真题（理））已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n 项和，，

其中q>0，

（Ⅰ）若成等差数列，求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）由已知，两式相减得到.

又由得到，故对所有都成立.

所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.

从而.

由成等差数列，可得，即，则，由已知,，故.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.

所以双曲线的离心率.

由解得.

因为，所以.

于是，

故.

例8.（2016·浙江高考真题（理））设数列满足，．

（Ⅰ）证明：，；

（Ⅱ）若，，证明：，．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

（Ⅰ）由得，故，，

所以，

因此．

（Ⅱ）任取，由（Ⅰ）知，对于任意，

，故．

从而对于任意，均有．

由的任意性得．①

否则，存在，有，取正整数且，

则，与①式矛盾．

综上，对于任意，均有．

【压轴训练】

1.（2019·安徽高考模拟（理））设是等差数列，下列结论一定正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

【答案】C

【解析】

若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；

对于B选项，当，分别为-4，-1，2时，满足a1+a3＜0，但a2+a3＝1>0，故B不正确；

又{a n }是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2＝a 1+a 3＞2

，∴a 2，即C 正确；

若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＝﹣d 2

≤0，即D 不正确．故选：C ．

2．（2018·浙江高考模拟）已知等差数列的前项和是，公差不等于零，若

成等比数列，则

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】由成等比数列．可得

，

可得（，

即

，∵公差不等于零，

故选：C ．

3．（2019·山东高考模拟（文））已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得

18m n a a a =，则

m n

+的最小值为__________．【答案】2 【解析】

Q 正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，

432111=+2a q a q a q ∴，

整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12

q =

， Q 存在两项m a ，n a 使得18m n a a a g ，

2221164m n a q a +-∴=，

整理，得8m n +=，

∴

9119119()()(10)88m n m n m n m n n m

+=++=++ 19(102)28m n n m

+=g …，则

m n

+的最小值为2．当且仅当

9m n n m

=取等号，又m ，*n N ∈．8m n +=，所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2．故答案为：2

4．（2019·湖南师大附中高考模拟（理））已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若124a =-，48

a =-，则当T n 取最大值时，n 的值为_____. 【答案】4 【解析】

设等比数列{a n }的公比为q ，

因为124a =-，489a =-，可得3

41127a q a ==，解得13

q =，

则()()()1

11231

2(2

131)(3

2424)n n n

n n n T a a a a q

-+++???+-=???=-=-，当T n 取最大值时，可得n 为偶数，函数1

y =

（）在R 上递减，又由2192T =，4489T =，6

83T =，可得246T T T <>，

当6n >，且n 为偶数时，6n T T <，故当4n =时，T n 取最大值.

5．（2019·安徽高考模拟（理））已知数列

的各项均为正数，记为的前项和，若

，

，则使不等式

成立的的最小值是________.

【答案】11 【解析】

由可得

，则（）（）=0，

又数列

的各项均为正数，∴

，

即，可得数列{a n }是首项为公比为q ＝2的等比数列，

∴

,则n>10，又，∴n 的最小值是11，

故答案为11.

6．（2019·甘肃天水一中高考模拟（文））已知数列{}n a 满足11a =，0n a >，11n n a a +=，那么32n a <成立的n 的最大值为______ 【答案】5 【解析】

11n n a a +=，所有

{}n

a 11a =，公差d 1=

n n a =，2n a n = 解2

32n a n =<，得n 42<所以32n a <成立的n 的最大值为5 故答案为：5

7．（2019·河北高考模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2119*2

n n n n

S S n N +-+=∈，若

24a <-，则n S 取最小值时n =__________.

【答案】10 【解析】

由21192

n n n n

S S +-+=，()21(1)1912n n n n S S ----+=，

两式作差可得：1110(2)n n S S n n +--=-≥，即110(2)n n a a n n ++=-≥，

由110n n

a a n ++=-，219n n a a n +++=-，

两式作差可得：21(2)n n a a n +-=≥，

则32

8a a +=-，24a <-，故234a a <-<，

进一步可得：4567891011,,,a a a a a a a a <<<<，

又10

110a a +=，则10110a a <<，

且1112

12130a a a a <+<+

，

则n S 取最小值时10n =.

8．（2019·河南高考模拟（理））记首项为11(0)a a >，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

121

a d =-，且1n n n S a S λ+≤+，则实数λ的取值范围为__________．【答案】19,121??

????

【解析】

由1n n n S a S λ+≤+，得11n n n n S S a a λ++-=≤. 因为10a >，所以0d <，()12312n a a n d n d ?

?=+-=-

???

. 所以当111n ≤≤时，0n a >，当12n ≥时，0n a <. （1）当111n ≤≤时，由1n n a a λ+≥得12

11223

n n n n n a a d d a a a n λ++≥==+=+-. 因为221911223212321n +

≤+=-?-，所以19

λ≥.

（2）当12n ≥时，由1n n a a λ+≥得12

1223

n n a a n λ+≤=+-. 因为2

11223

n +

>-，所以1λ≤.

综上所述，λ的取值范围是19,121??

???

. 9．（2019·四川重庆南开中学高考模拟（理））在正项递增等比数列{}n a 中，51a =，记12...n n S a a a =+++，12111

...n n

T a a a =

+++，则使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为__________．【答案】9

【解析】

由题得11111(1)(1)(1)11(1)1n n

n n

q q a q a q q q a q q

--?-≤=---，

因为数列是正项递增等比数,所以10,1a q >>，

所以21

11n a q -≤.

因为51a =，所以4428

1111,,a q a q a q --=∴=∴=，

所以81

901,,9n n q q

q q n ---?≤∴≤∴≤.

所以使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为9. 故答案为：9

10．（2017·吉林高考模拟（理））已知数列{}n a 满足()

113

,31.2

n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足1

n n b a =-

，求证：{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++L ，求证：()1.2

n n n T ->

【答案】(1) 见解析；(2)见解析. 【解析】

(1) 由题可知(

)

n N

∈，从而有13n n b b +=，111

b a =-

=，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.

(2) 由(1)知13n n b -=，从而1

132n n a -=+

，11

331log 3log 312n n n c n --??=+>=- ??

?，有

()12101212

n n n n T c c c n -=+++>+++-=

L L ，

所以()12

n n n T ->

11．（2019·江苏金陵中学高考模拟）已知各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1，n≥2，n∈N *（其中k ，t 为常数）．

（1）若k ＝

12，t ＝1

，数列{a n }是等差数列，求a 1的值；（2）若数列{a n }是等比数列，求证：k ＜t ．【答案】（1）a 1＝5（2）见解析【解析】

（1）∵k＝

12，t ＝14

，∴2

111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ，

令n ＝2，则212211a a a 124+=-，令n ＝3，则2

123311124a a a a ++=-，

两式相减可得：()()()23323211

a a a a a a +=+-，∵a n ＞0，∴a 3﹣a 2＝2＝d ．

由212211124

a a a +=-，且d ＝2，化为2

112a a -﹣4＝0，a 1＞0．

解得a 1＝5

（2）∵S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1①，n≥2，n∈N *，所以S n +ka n+1＝2

n 1ta +﹣1②， ②-①得a n +ka n+1﹣ka n ＝2n 1ta +﹣2

n ta ，∴a n ＝（a n+1﹣a n ）[t （a n+1+a n ）﹣k]，令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，∴（q ﹣1）k+1＝ta n （q 2

﹣1）， ∴1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]；∵对任意n≥2，n∈N *， 1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴a n 不是一个常数； ∴t＝0，∴S n ﹣1+ka n ＝﹣1，且{a n }是各项均为正整数的数列，∴k＜0，故k ＜t ．

12．（2019·天津高考模拟（理））已知单调等比数列{}n a ，首项为

，其前n 项和是n S ，且331

2a S +，5S ，

44a S +成等差数列，数列{}n b 满足条件

1231

2)n b n

a a a a =L

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设1

n n n

c a b =-

，记数列{}n c 的前n 项和是n T . ①求n T ；

②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有k n T T ≥.

【答案】(1)12n

n a ??= ???

，(1)n b n n =+；(2)①.1112n n T n =

-+；②.4k =. 【解析】

(1)设1

1n n a a q -=.由已知得53344122S a S a S =

+++，即5341

222

S a S =+，进而有()543122S S a -=.所以53122a a =，即2

14q =，则12

q =±.

由已知数列{}n a 是单调等比数列，且112

a =，所以取1

2q =.

数列{}n a 的通项公式为12n

n a ??= ???

. 1231(2)n b n

a a a a =Q

L ，(1)2322222222n b n n

+∴????==L ，则(1)n b n n =+.

即数列{}n b 的通项公式为(1)n b n n =+. (2)①.由(1)可得：1111112(1)21n n n n n c a b n n n n ??

=-=-- ?++??

，分组求和可得：1111112112n n n

T n n ??=-

--=- ?

++??. ②由于1

1111111(1)(2)222122(1)(2)

n n n n n n n n T T n n n n ++++++--=--+=++++，由于12n +比()()12n n ++变化快，所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增，而456,,n T T T T L 递减.所以，4T 最大. 即当4k =时，k n T T ≥.

13．（2019·安徽高考模拟（文））已知数列为等差数列，且公差

，其前项和为，

，且，

，成等比数列. （1）求等差数列

的通项公式；

（2）设，记数列的前项和为，求证

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由题意得：，

解得：

，∴

（2）由（1）得，∴ ∴

14．（2019·广东高考模拟（理））已知数列{}n a 满足11*121

(22)2()n n n a a a n N n

-++++=∈L . （1）求12,a a 和{}n a 的通项公式；

（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1) 1a 4= 26;a = 22n a n =+ (2) 125

[,].52

【解析】

(1)由题意得1

11222?2n n n a a a n -++++=L ，所以23

112124,222,a a a =?=+=?得26;a = 由1

11222?

2n n n a a a n -++++=L , 所以()2

121221?2n n n a a a n --+++=-L （2n ≥），

相减得()1

+12

?21?2n n n n a n n -=--，

得22,1n a n n =+=当也满足上式. 所以{}n a 的通项公式为22n a n =+.

(2)数列{}n a kn -的通项公式为()2222,n a kn n kn k n -=+-=-+ 是以4k -为首项,公差为2k -的等差数列,

若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，等价于当4n =时,n S 取得最大值,

所以()()45

44220,

55220.a k k a k k ?-=-+≥??

-=-+≤??

解得

125.52

k ≤≤ 所以实数k 的取值范围是125,.52??

? 15.（2017·浙江高考模拟）已知无穷数列{}n a 的首项11

2a =，

1111,2n n n a n N a a +??=+∈ ???

. （Ⅰ）证明： 01n a <<；

（Ⅱ）记()2

n n n

n n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 3

n T <

. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析. 【解析】

（Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立；

②假设当n k = ()

*k N ∈时不等式成立，即01k a <<，那么当1n k =+时，

11112k k k a a a +??=+ ??? > 11·2?12k k

a a =，所以101k a +<<，即1n k =+时不等式也成立.

综合①②可知， 01n a <<对任意*n N ∈成立. （Ⅱ）

122

n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列. 又

1111112n n n n n a a a a a +??-=-+ ??? 112n n a a ??=- ???，易知1n n a a ??-????为递减数列，所以111n

n a a +??

???也为递减数列，所以当2n ≥时，

111n n a a +-

22112a a ??≤- ???

154245??=- ??? 9

40= 所以当2n ≥时， ()2

n n n

n n a a b a a ++-== ()()111119

n n n n n n a a a a a a +++??--<- ???

当1n =时， 1193

4010

n T T b ===

<，成立；当2n ≥时， 12n n T b b b =+++L < ()()()3243199

4040

n n a a a a a a +??+-+-++-??L ()1299

4040

n a a +=

+- ()2999942731140404040510010a ??<

+-=+-=< ??? 综上，对任意正整数n ， 3

n T <

16.（2017·浙江高考模拟）已知数列

{}n a 满足： 11p a

p +=

， 1p >， 11ln n n n

a a a +-=.

（1）证明： 11n n a a +>>；（2）证明：

121

n n

n n a a a a ++<<+；（3）证明：

()1211121121

ln 122

n n n n n a a a p p ----?

（1）先用数学归纳法证明1n a >. ①当1n =时，∵1p >，∴11

1p a p

>； ②假设当n k =时， 1k a >，则当1n k =+时， 111

1ln 1

k k k k k a a a a a +--=>=-. 由①②可知1n a >. 再证1n n a a +>.

111ln ln ln n n

n n

n n n n n

a a a a a a a a a +----=

-=，令()1ln f x x x x =--， 1x >，则()'ln 0f x x =-<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10f x f <=，

所以

1ln 0ln n n n

a a a a --<，即1n n a a +>.

（2）要证

121

n n

n n a a a a ++<<+，只需证2111ln 2n n n n n a a a a a -+<<+，只需证()2210,

{

1220,n n n n n n

a lna a a lna a -+<+-+>其中1n a >，先证22ln 10n n n a a a -+<，

令()22ln 1f x x x x =-+， 1x >，只需证()0f x <. 因为()()'2ln 2221220f x x x x x =+-<-+-=，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10f x f <=. 再证()1ln 220n n n a a a +-+>，

令()()1ln 22g x x x x =+-+， 1x >，只需证()0g x >，

()11

'ln 2ln 1x g x x x x x +=+

-=+-，令()1ln 1h x x x =+-， 1x >，则()22111

'0x h x x x x -=-=>，

所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=，

从而()'0g x >，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g x g >=，综上可得

121

n n

n n a a a a ++<<+. （3）由（2）知，一方面， 1112n n a a ---<，由迭代可得()1

11111122n n n a a p --??

-<-= ?

?????

，

因为ln 1x x ≤-，所以1

11ln 12n n n a a p -??

≤-< ???

，所以

()1212ln ln ln ln n n a a a a a a ?=++?+ 0111111222n p -????????<++?+?? ? ? ??????????? 111112121212

n n p p -??- ?-??=?

=?-；

另一方面，即

1111

2n n n n

a a a a ++-->

，由迭代可得1

1111111212n n n

n a a a a p ----????

>?= ? ?+????

因为1

ln 1x x ≥-，所以1ln 1n n a a ≥- 1

1112n p -??> ?+??

，所以

()011

12121111ln ln ln ln 1222n n n a a a a a a p -??

???????=++?+>?++?+?? ? ? ?+??????????

112112n n p --=?+；

综上，

()1211121121

ln 122

n n n n n a a a p p ----?

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

2011高考数学压轴题专题训练

2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型，易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

2017-18全国卷高考真题数学不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题数学不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，，当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ．当[]11x ∈-，时，()2g x =，()()12f x f -=≥．当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=．综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ．（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立．则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，．

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0a >，222ba b +==2.证明：（1）()22()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<