数学分析 §5.1导数的概念
第五章 导数与微分
§1 导数的概念
【教学目的】深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。
【教学重点】导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 【教学难点】导数的概念。
一、导数的定义
1．引入（背景）
导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[
]
0,t t 时间段的平均速度为：00)
()(t t t s t s v --=
，
当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0
0)
()(lim
t t t s t s v t t --=→。
问题2 曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0
0)
()(tan x x x f x f k --=
=α，
当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0
0)
()(lim 0
x x x f x f k x x --=→.
2．导数的定义
以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数)(x f y
=在0x 的某邻域内有定义，若极限0
0()(lim
x x x f x f x x --→）
存在，则称函数f 在点0x 处
可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或
.0
x x dx
dy =
定义1'
令0x x x -=?，)()(00x f x x f y -?+=?，则上述定义又可表示为： )('0x f ＝
.)()(lim lim
00000
x
x f x x f x y
dx
dy x x x x ?-?+=??=→?→?=
即函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。 例1 已知函数2
)(x x f =，求).1('
f
解 2)1(lim 11
lim 1)1()(lim
)1(1
211'
=+=--=--=→→→x x x x f x f f x x x ； 或2)2(lim 1
)1(lim )1()1(lim
)1(0200'
=+?=?-?+=?-?+=→?→?→?x x
x x f x f f x x x 。 例2 已知函数?????=≠=0
01sin
)(2
x x x
x x f ，求).0('
f
解
.01
sin lim 0)0()(lim
)0(00
'==--=→→x
x x f x f f x x 例3 已知函数
x x f =)(，求).0('f
解
?
?
?<->==--010
10)0()(x x x x x f x f Θ
，0)0()(lim 0--∴→x f x f x 不存在 故函数
x x f =)(在点0=x 处不可导。
例4 已知函数3
)(x x f =
，求).0('f
解 +∞===--→→→32
03
001
lim lim 0)0()(lim x x x x f x f x x x ，故函数3)(x x f =在点0=x 处不可导。
二、导数的几何意义
通过对引例2我们已经看到，已知曲线方程)(x f y =，若)(x f 在点0x 可导，那么曲线)(x f y =在点
())(,00x f x 存在切线，并且切线斜率为)(0'x f 。
注：若曲线)(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，那么)(x f 在点0x 可导吗（不一定，如3x y =在0点）。
y=f(x)
0'
切线方程（点斜式）：))((00'0x x x f y y -=-； 法线方程（点斜式）：)()
(1
00'
0x x x f y y --
=-。 例5 求曲线3
x y =在点)1,1(P 处切线与法线方程。
解 Θ
3)1(lim 11lim 1
)1(lim 213111
=++=--=--=→→→=x x x x x y y dx
dy x x x x ， ∴ 切线方程：)1(31-=-x y ，即：023=--y x ；
法线方程：
)1(3
1
1--=-x y ，即：.043=-+y x
三、可导与连续的关系
1．定理 若函数f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续。 证明 函数f 在点0x 可导，由导数定义知
00)(lim lim lim
lim 0'0
000
=?=????=????=?→?→?→?→?x f x x y x x y y x x x x ，
所以f 在点0x 连续（P69最下式）。 2．若函数f 在点0x 连续，则f 在0x 不一定可导。 如例3中，函数x x f =)(在点00=x 连续，但是不可导。
y
x x f =)(
0 x
例6 证明函数)()(2
x D x x f =仅在点00=x 处可导。
其中)(x D 为狄利克雷函数：?
??=为无理数当为有理数
当x x x D 01)(。
证明 当00≠x 时，由归结原则可得函数)()(2
x D x x f =在点0x x =不连续，所以由定理便知它在0x x =处不可导； 当00=x 时，
0)(lim 0
)
0()(lim
)0(00
'==--=→→x xD x f x f f x x ，说明它在00=x 处可导； 综上便知函数)()(2
x D x x f =仅在点00=x 处可导。
四、单则导数
若只研究函数在某一点0x 右邻域（左邻域）上的变化率，只需讨论导数定义中极限的右极限（左极限），于是我们引入单则导数的概念。 1．定义
定义2 若函数)(x f 在)(0x U +有定义，定义右导数为：
x
x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--=++
→?→+)
()(lim )()(lim )(000000'
； 若函数)(x f 在)(0x U -有定义，定义左导数为：
.)
()(lim )()(lim )(000000'
x
x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--=--
→?→- 右导数和左导数统称为单则导数。
2．由左、右极限与极限之间的关系容易得到左、右导数与导数之间有如下关系： 定理 函数)(x f 在点0x 可导，且a x f =)(0'
?函数)(x f 在点0x 即左可导又右可导，且
.)()(0'
0'
a x f x f ==-+
例7 设函数
??
?<≥-=00
cos 1)(x x
x x x f ，讨论函数)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数。 解 由于
??
?
?????-=?-?+0
10cos 1)0()0(x x x x
x f x f ，
所以022sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim )0(2
0200'=????
???
? ??
???=??=??-=+++
→?→?→?+x x x x x x x f x x x ，
11lim )0(0
'==-→?-x f .
由定理可知函数在点0=x 处不可导。
五、导函数
1．可导函数
若函数f 在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称f 为I 上的可导函数。 2．导函数
区间I 上的可导函数f ，对每一I x ∈，都有一个导数（或单则导数）与之对应，这样定义了一个在I 上的函数，称之为函数f 在区间I 上的导函数，简称为导数，记作ΛΛ,,,
),(''dx
dy
dx df y x f 即：
I x x
x f x x f x f x ∈?-?+=→?,)
()(lim
)(0
'（求解时只需将x 看作固定常量即可）。
例8．求以下函数的导数（以下结果需熟记）： （1）常函数C x f =)(，（其中C 为常数）； （2）三角函数x x f x x f cos )(,sin )(==； （3）对数函数)0,1,0(log )(>≠>=x a a x x f a . 解 （1）()
000lim )(lim
00
'
=?-=??+=→?→?x x
x x f C x x ，即：()0'
=C ； （2）()
x
x
x x x
x
x x x x f x x f x x x x ???+
=?-?+=?-?+=→?→?→?2sin )2cos(2lim sin )sin(lim )()(lim
sin 000
'
x x x x x
x cos )2cos(2
2sin
lim
=?+???=→?， 即：()x x cos sin '
=；类似可求出：()x x sin cos '
-=.
（3）())1(log 1lim log )(log lim )(lim
log 000
'
x
x x x x x x x x x f x a x a a x x a ?+??=?-?+=??+=→?→?→? e x
x
x
x a x
x
a x log 1
)1(log 1lim 0=
?+
=?→?， 即：().1ln ,log 1log '
x
x e x x a a
==
六、函数极值
1．极值定义
定义3 若函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内对一切)(0x U x ∈有)()(0x f x f ≥（)()(0x f x f ≤），则称函数f 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极大（小）值点，称)(0x f 为极大（小）值，极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。
y
a 1x 2x 0 3x 4x
b x
说明：①极值为局部概念，极值与极值点均可以有多个；最值为整体概念，若存在则必唯一； ②极值不可能在一区间端点取得，只能在区间内部取得；最值无此限制；
③若f 在点0x 取得最值，当0x 为区间端点时，则此最值不是极值，但当0x 为区间内部的点时，则此最值一定是极值。
2．费马（Fermat ）定理
从图象上可以看到，若点0x 为函数f 的极值点，且点())(,00x f x 处曲线的切线存在（f 在0x 点可导），那么此切线应平行于x 轴（0)(0'
=x f ）。从而有：
定理 (费马定理) 若点0x 为函数f 的极值点，且f 在0x 点可导，则必有0)(0'
=x f . 证明 这里以极大值的情形给予证明，对极小值情形类似可证之。
设0x 为函数f 的极大值点，则对一切)(0x U x ∈都有)()(0x f x f ≥，于是， 当0x x >时：
0)()(00≤--x x x f x f ；当0x x <时：.0)
()(0
0≥--x x x f x f
由函数极限的保不等式性有： 0)()(lim )(000'
≤--=+
→+x x x f x f x f x x 且0)
()(lim )(000'0
≥--=-→-x x x f x f x f x x ，
又知)(0'x f 存在，故由定理便知0)(0'
=x f 。
说明：①稳定点：称满足0)(0'
=x f 的点0x 为函数f 的稳定点（求法：解方程0)(=x f ）； ②稳定点不一定是极值点（如函数3
x y =，点0=x
为稳定点但不是极值点）；
③极值点不一定是稳定点，只有加上可导条件极值点才是稳定点（如函数x x f =)(，点0=x 为极值点但不是稳
定点）。
y
y
3
x y = x y =
0 x 0 x
3．达布（Darboux ）定理
定理 (达布定理，导函数的介值定理) 若函数f 在[]
b a ,上可导，且)()(''b f a f -+≠，k 为介于)('
a f +与
)('b f -之间的任一实数，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使得.)('k f =ξ
y
)('
a f + )('
b f - a
0 b x
证明 不妨设)()('
'
b f a f -+>，则)()('
'
a f k
b f +-<<（此处介于指不等式严格成立） 引入函数[]
b a x kx x f x F ,,)()(∈-=
)(x f Θ在[]b a ,上可导，由定理知)(x f 在[]b a ,上连续，)(x F ∴在[]b a ,上连续，
由闭区间上连续函数的最值定理则：存在一点[]b a ,∈ξ，使得)(ξF 为)(x F 在[]
b a ,上的最大值， 欲利用费马定理来证0)('
=ξF ，需证以下两个方面：
（ⅰ）ξ为)(x F 在[]
b a ,上的极大值，只需证a ≠ξ且b ≠ξ； （ⅱ）)(x F 在点ξ=x 可导；
为此：[][]a
x ka a f kx x f a x a F x F a F a x a x ----=--=+
+
→→+)()(lim )
()(lim )
('
[][])1(0)(lim )()(lim )()()(lim 'Λ>-=---=----=+
→→→+++
k a f k a
x a f x f a x a x k a f x f a x a x a x
同理：[][]b
x kb b f kx x f b x b F x F b F b x b x ----=--=--
→→-)()(lim )()(lim )('
[][])2(0)(lim )()(lim )()()(lim 'Λ<-=---=----=-
→→→---
k b f k b
x b f x f b x b x k b f x f b x b x b x
[][]x
kx x f x x k x x f x x F x x F x F x x ?--?+-?+=?-?+=→?→?)()()(lim )()(lim
)(00'
[])3()()()(lim
'0
Λk x f x
x k x f x x f x -=
??--?+=→?
（1）式说明：[]
b a a U ,)(??+，对一切)(a U x +∈都有
0)
()(>--a
x a F x F ，
所以)()(a F x F >，于是a 不是)(x F 在[]
b a ,上的最大值点，即a ≠ξ；
（2）式说明：[]
b a b U ,)(??-，对一切)(b U x -∈都有0)
()(<--b
x b F x F ，
所以)()(b F x F >，于是b 不是)(x F 在[]
b a ,上的最大值点，即b ≠ξ；
（3）式说明：对一切()b a x ,∈，)('
x F 都存在，则对()b a ,∈ξ，)('
ξF 当然存在，且有
k f F -=)()(''ξξ。
从而，由费马定理便知0)()('
'
=-=k f F ξξ，即有)).,(()('
b a k f ∈=ξξ