五年级奥数 图形面积

图 形 面 积

【基本原则】

各种具有一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，其中包括四边形和梯形被两条对角线分割而成的4个小三角形之间的面积关系．

【典型例题】

1．

图16-1

中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍， EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 ABD ， ABC 等高，所以面积的比为底的比，有

1

2

ABD ABC S BD S BC == ,所以ABD S =11

22

ABC S ?=? 180=90(平方厘米)．

同理有13ABE ABD AE S S AD =

?= ×90=30(平方厘米)，3

4

AFE ABE FE S S BE =?= ×30=22.5(平方厘米)．

即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．

2．如图16-2，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，

有 EAD 、 ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABD EA

S S S AB

=

= ．同理36EAH EAD EAD ABD AH

S S S S AD

=

== ．

类似的，还可得 6FCG BCD S S = ，有()66EAH FCG ABD BCD ABCD S S S S S +=+= =30平方厘米． 连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFB ABC S S = ，6DHG ACD S S = ，

有()66EFB DHG ABC ACD ABCD S S S S S +=+= =30平方厘米.

有四边形EFGH 的面积为 EAH, FCG, EFB, DHG,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)

方法二：连接BD ，有 EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，

EA AH

AB AD

??=2×3=6，所以EAH S =6ABD S ．

类似的，还可得FCG S =6BCD S ，有EAH S +FCG S =6（ABD S +BCD S )=6ABCD S =30平方厘米．

连接AC ，还可得EFB S =6ABC S ，DHG S =6ACD S ，有EFB S +DHG S =6（ABC S +ACD S ）=6ABCD S =30平方厘米．

有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．

评注：方法二用到了一个比较重要的性质，若两个三角形的某对夹角相等或互补(和为180°)，那么构成这个角

的两边乘积的比为面积比．

这个原则，我们可以在中学数学中的三角部分学到，当然我们也可以简单的利用比例性质及图形变换来说明，有兴趣的同学可以自己试试．

3．图16-3中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?

【分析与解】 方法一：如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．

因为△ADE 、△DEC 高相同，所以面积比为底的比，有

ADE DEC S S =AE

EC

，所以ADE S =AE EC ×6.同理

有

ABE BCE

S S =AE

EC ，所以ABE S =AE EC ×7．

所以有△ADE 与△ABE 的面积比为6：7．又有它们的面积和为52-(6+7)=39(公顷.)

所以ADE S =

767+×39=18(公顷)，ABE S =767

+×39=21(公顷.)

显然，最大的三角形的面积为21公顷．

方法二：直接运用例2评注中的重要原则，在△ABE ，△CDE 中有∠AEB=∠CED ，所以△ABE ，△CDE 的面积比为(AE×EB)：(CE×DE)．

同理有△ADE ，△BCE 的面积比为(AE ×DE)：(BE×EC)． 所以有ABE S ×CDE S =ADE S ×BCE S ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即ABE S ×6=ADE S ×7，所以有△A BE 与△ADE 的面积比为7：6，ABE S =

7

67

+×39=21公顷，ADE S =

6

67

+×39=18公顷． 显然，最大的三角形的面积为21公顷．

评注：在方法二中，给出一个很重要的性质：在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、

左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．希望大家牢牢记住，并学会在具体问题中加以运用.

4.

如图16-4，已知．AE=

15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC

三角形的面积三角形的面积等于多少?

【分析与解】 如下图，连接AD ，BE ，CF.

有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有

ABE ABC S S =AE

AC

，所以ABE S =AE AC ×ABC S =15ABC S

同理有AEF S =AF AB ABE S ,即=AEF S =15×56ABC S =1

6

ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =1

8

ABC S ．

所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61

120ABC

S ．

即

DEF ABC 三角形的面积

三角形的面积为61120

．

5．如图16-5，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE ，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 如下图，连接FC ，△DBF 、△BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;△FGC 、△DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么△DEF 的面积为

1

3

y 平方厘米．

BCD S =2x+2y=1，BDE S =x +13y=l ×13=13

． 所以有x+y=0.53x+y=1??

?①②

．

比较②、①式，②式左边比①式左边多2x，②式右边比①式右边大0.5，有2x=0.5，即x=0.25,y=0.25．

而阴影部分面积为y+2

3

y=

5

3

×0.25=

5

12

平方厘米．

评注：将这种先利用两块独立的图形来表达相关图形的面积，再根据已知条件列出一个二元一次方程组，最终求出解的方法称为“凌氏类蝶形法”．

类蝶形问题必须找好两块独立的图形，还必须将边的比例关系转化为面积的比例关系．

类似的还有一道题：△ABC中，G是AC的中点，D、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已△ABM的面积比四边形FCGN的面积大1.2平方厘米，则△ABC的面积是_______平方厘米?

有兴趣的同学可以自己试试．

6．如图16-6，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?

【分析与解】因为E是DC中点，F为Ac中点，有AD=2FE且阳平行于AD，则四边形ADEF为梯形．

在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=A2

D：F2E=4．

又已知②-⑤=6，所以⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4：8，所以②×⑤=④×④：16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18．

有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1：4．所以△ADC面积为梯形ADEF面积

的

4

4-1

=

4

3

，即为18×

4

3

=24．

因为D是BC中点，所以△ABD与△ADC的面积相等，而△ABC的面积为△ABD、△ADC的面积和，

即为24+24=48平方厘米．

三角形ABC的面积为48平方厘米．

评注：梯形中连接两条对角线．则分梯形为4部分，称之为：上、下、左、右．如下图：

运用比例知识，知道：

①上、下部分的面积比等于上、下边平方的比． ②左、右部分的面积相等．

③上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积．

7．图16-7是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如图16-8，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图16—8中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．

有∠ABC 为直角，而∠CED=∠ABC ，所以∠CED 也为直角.而CE=CB=5.

△A DE 与△CED 同高，所以面积比为底的比，及

ADE CED S S =AE EC

=13-55=8

5，设△ADE 的面积为“8”，

则△CED 的面积为“5”．

△CED 是由△CDB 折叠而成，所以有△CED、△CDB 面积相等，△ABC 是由△ADE、△CED、△CDB 组成，所以ABC S =“8”+“5”+“5”=“18”对应为

12×5×12=30，所以“1”份对应为5

3

，那么△ADE 的面积为8×53=131

3

平方厘米． 即阴影部分的面积为131

3

平方厘米．

8．如图16-9，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，已知梯形的上底长是下底长的2

3

．那么余下阴影部分的面积是多少?

【分析与解】 不妨设上底长2，那么下底长3，则上面部分的三角形的高为10÷2×2=10，下面部分的三角形的高为12÷3×2=8，则梯形的高为lO+8=18．

所以梯形的面积为

1

2

×(2+3)×18=45，所以余下阴影部分的面积为45-10-12=23．

评注：这道题中上下底、梯形的高都不确定，但是余下阴影部分的面积却是确定的值，所以面积值与上下底、高的确定值无关，所以可以大胆假设，当然也可以谨慎的将上底设为2x 下底为3x ．

9．图16-10中ABCD 是梯形，三角形ADE 面积是1．8，三角形ABF 的面积是9,三角形BCF 的面积是27．那么阴影部分面积是多少?

【分析与解】 设△A DF 的面积为“上”，△BCF 的面积为“下”， △ABF 的面积为“左”，△DCF 的面积为“右”．

左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而下=27，所以上=81÷27=3.

△ADE 的面积为1.8，那么△A EF 的面积为1.2，则EF ：DF=AEF S ：AED S =1.2：3=0.4．

△CEF 与△CDF 的面积比也为EF 与DF 的比，所以有ACE S =0.4×ACD S =0.4×(3+9)=4.8．

即阴影部分面积为4.8．

10．如图16-11，梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米，下底BC 长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米．则梯形ABCD 的面积为多少平方厘米?

【分析与解】 △ADD 与△BCO 的面积比为AD 平方与BC 平方的比，即为9：81=19

．

而△DCO 与△ABO 的面积相等为12，又BCO S ABO S ×DCO S =ADO S ×BCO S =12×12=144，

因为144÷9=4×4，所以ADO S =4，则BCO S =4×9=36，

而梯形ABCD 的面积为△ADO、△BCO、△ABO、△CDO 的面积和，即为4+36+12+12=64平方厘米．

即梯形ABCD 的面积为64平方厘米．

11．如图16-12，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?

【分析与解】 连接BF ，四边形BCDF 为梯形，则 BFE 的面积与黄色 CDE 的面积相等为 6.

6636FED BCE BFE CDE S S S S ?=?=?= ，所以3649BCE S =÷= .

9615BCD BEC CDE S S S =+=+= .

又因为BD 是长方形ABCD 的对角线，15ABD BCD S S == 所以FED 15411ABD S S S =-=-= 绿色四边形ABEF 红色. 绿色四边形面积为11平方厘米．

12．如图16-13，平行四边形ABCD 周长为75厘米．以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD 的面积．

【分析与解】 因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有14×BC =16 ×CD，即BC ：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC 为底，对应高为14，20×14=280，所以平行四边形ABCD 的面积为280平方厘米．

13．如图16-14，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、3

10

平方

米和

2

5

平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米?

【分析与解】 为了方便叙述，将某些点标上字母，如下图：

大正方形的面积为3211

1105510

+++=，所以大正方形的边长应为1.

上面两个长方形的面积之比为32:105=3：4，所以IG=47．

下面两个长方形的面积之比为11:510=2：l ，所以IG=1

3

． 那么LI=4157321-=，那么阴影小正方形的面积为5525

2121441

?=．

14．图16-15中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．

【分析与解】 如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH ．设阴影部分面积为“阴”平方厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米．

DGH 、 HMG 的面积相等， GCF 与 GPF ； FBE 与 EOF ， HAE 与 HNE 这3对三角形的面积也相等．

阴一空=2×3=6，阴+空=lO×10=100． 阴=(6+100)÷2=53．

即阴影部分的面积为53平方厘米．

15．如图16-16，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有3块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少?

【分析与解】 如下图所示，为了方便叙述，将部分区域标上序号，设阴影部分面积为“阴”：

(49+①+35)+(13+②)= 1

2

矩形的面积， ①+阴+②=

1

2

矩形的面积． 比较上面两个式子可得阴影部分的面积为97．