2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第八章 第一节空间简单几何体的结构 文
【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第八章第一节空间简单几何体的结构文
近三年广东高考中对本章考点考查的情况
本章内容主要包括：空间几何体的结构、简单几何体的表面积和体积、空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与证明．
近几年对本章内容的考查，主要表现在：①三视图与表面积、体积相结合，考查对空间几何体的认识；②求角，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，其中以直线与平面所成的角为重点，对角度的考查以容易题为主；③求距离，常见的是点到直线
的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要注意等积法在求距离中的应用；④直线和平面的各种位置关系的判定和性质．对这些内容的考查，着重考查空间想象能力，要求“四会”：①会画图；②会识图；③会析图；④会用图．
预测高考仍以客观题考查对空间图形的认识，以及面积、体积的计算，以解答题考查空间中直线与平面位置关系的证明．客观题和解答题都会是中等难度．
在复习立体几何时应当注意以下四个方面：
1．直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题或填空题．复习中首先要清楚相关的概念、判定、性质定理，其次在否定某些错误的判断时，能举出适当的反例．另外，能将文字语言、符号语言、图形语言灵活准确地进行转化，平时的训练要注意举一反三．
2．证明空间线、面平行或垂直．已知联想性质，由求证联想判定，寻找求证思路．通过对复杂空间图形直观图的观察和分解，发现其中的平面图形或典型的空间图形( 如正方体、正四面体等)，以便联想有关的平面几何或立体几何知识．培养根据题设条件的性质适当添加辅助线(或面)的能力，掌握平行或垂直的化归方法．
3．计算角与距离的问题．求角或距离的关键是将空间的角或距离灵活转化为平面上的角或距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角或距离．解题原则是一作、二证、三求解(即作图、证明、求解)．熟练掌握异面直线所成角、线面角的计算方法．
4．简单的几何体的面积与体积问题．熟记特殊几何体的现成的公式．会将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用．
第一节空间简单几何体的结构
认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
知识梳理
空间简单几何体及其结构
一、柱、锥、台、球的结构特征
1．柱体．
(1)棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱
柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点(如图a)．
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．(如图b)．
棱柱与圆柱统称为柱体．
2．锥体．
(1)棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱(如图c)．
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面(如图d)．
棱锥与圆锥统称为锥体．
空间几何体 - 简单 - 讲义
空间几何体 知识讲解 一、构成空间几何体的基本元素 1.几何体的概念 概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等． 2.构成几何体的基本元素：点、线、面 （1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C ，，来命名； （2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母a b l ，，或用直线上两个点AB PQ ，表示； 一条直线把平面分成两个部分． （3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）； 其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的； 平面一般用希腊字母αβγ ，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字 母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ； 一个平面将空间分成两个部分． 3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系 理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体． 二、多面体的结构特征 1.多面体 D C B A α
1）多面体的定义 由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线． 2）多面体的分类 按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体． 按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等． 3）简单多面体 定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体； 欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系2V F E +-=． 4）正多面体 定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等． 2.棱柱 1）棱柱的定义 由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高． 下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，A B C D ''''，侧面有ABBA ''，DCC D ''等四个，侧棱为AA BB CC DD ''''，，，，对角面为面ACC A BDD B ''''，，A H '为棱柱的高．
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
空间几何体的结构及视图金题讲义及参考答案
空间几何体的结构及视图金题讲义及 参考答案 考点梳理 一、第一章《空间几何体》的知识结构 本讲知识内容：柱、锥、台、球的结构特征；空间几何体三视图和直观图，能 识别三视图所表示的空间几何体。 二、知识梳理 1.空间几何体的结构特征 （1）棱柱的结构特征 (2)棱锥的结构特征
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点 ．．．．的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （3）圆柱的结构特征 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱. (4)圆锥的结构特征 定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转,其余两边旋转形成的面所围成的旋转 体叫圆锥. （5）棱台的结构特征 概念：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截后，截面和底面之间的部分 （6）圆台的结构特征 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
（7）球的结构特征 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，叫球体，简称球. 2.空间几何体的投影和三视图 ? ? ? ? ? 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影. 三视图左视图: 光线从几何体的左面向右面正投影. 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影, 规律： (1)正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； (2)俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； (3)左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度. 金题精讲 题一 题面：下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（） A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 题二
高中数学空间立体几何讲义
第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求： ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲： 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ） A ． 6π B ．3 π C ．32π D ．65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A ．π2 B ．π2 3 C ．π332 D ．π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式； （2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？ （3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 （二）基础训练： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度0 75东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ） （A ）3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．
《空间解析几何2》教学大纲.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
空间几何体(讲义及答案)(1)
空间几何体（讲义） ＞知识点睛 一、空间儿何体的结构特征 棱 特殊的多面体： 柱：斜棱柱、直棱柱、正棱柱、正方体 锥：正棱锥、正四面体 J正四棱柱：底面是正方形的直棱柱 1正方体（正六面体）：侧棱长与底边长相等的正四棱柱 j正三棱锥：底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面中心 I正四面体：侧棱长与底边长相等的正三棱锥
正棱柱 A B 正方体 S B S 直棱柱 正四面体 正三棱锥 2.简单组合体
3.球 （1）球的截面性质： ①经过球心的截面截得的圆叫做球的大圆，不过球心的截面 截得的圆叫做球的小圆； ②球心和截得的小圆圆心的连线垂直于截面. （2）位置关系： ①外接球：多面体的各个顶点都在球面上； ②内切球：多面体的各个面都与球相 切.二、空间儿何体的表面积与体积 J 空间儿何体的表面积（也称全面积）（底面周长为C） S|畀柱= -------------- ；S閱锥= S惆台=7t(r'-+r+/-7 + rZ). 2空间儿何体的体积 DL 川/厂 T---- I ］少 1、■ I r --- A B C
心= -------------- ;%= ----------------- ; （底面积为S,高为/I） 八棱长为小 V =V =1（S'+ 辰+S）/7（上下底面积分别为S』，高为"）?梭台恻台3 3球的表面积与体积 S 球= ____________' V球= ______________ ?
有一个底面为多边形，其余各面都是 有一个公共顶点的三 角形，由这些 面所W 成的儿何体是棱锥 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 棱柱的侧 面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 3.下列命题： ① 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三 棱锥； ② 所有棱长都相等的直棱柱是正棱柱； ③ 若一个四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四 棱柱； ④ 所有棱长都相等的正三棱锥是正四面体； ⑤ 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂 直.其中正确的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ＞精讲精练 1.下列说法中，正确的是（ A B C. D 2.如图所示的儿何体中是棱柱的有（ C. 3个 D. ③ A ?1个 B ?2个 ? ④
2018年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题（共9小题） 1 ?如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（） A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左）视圄 C
5?某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（ ） 6?如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1
4 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（ ） A . B. C. D. 二.填空题（共5小题） 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的
高等数学-向量代数与空间解析几何复习
第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：? ?? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ ο a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+
必修2第1讲空间几何体培训讲义无答案.doc
第一章空间几何体 空间几何体 一、空间几何体的结构 (-)多面体与旋转体：多面体：棱柱、棱锥、棱台； 旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球； 另一种分类方式：①柱体：棱柱、圆柱； %1椎体：棱锥、圆锥； %1台体：棱台、圆台； %1球 简单组合体：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 (二)柱、锥、台、球的结构特征 1.棱柱：①直棱柱斜棱柱正棱柱②三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等等。 棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形； %1侧面、对角面都是平行四边形； %1侧棱平行且相等； %1平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 2.棱锥：三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥等等 (1)棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形； %1平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面E巨 离与的比的方* (2)正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 %1正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三 角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一 个直角三角形。 %1正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。 %1正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 3.圆柱与圆锥：圆柱的轴圆柱的底面圆柱的侧面圆柱侧面的母线 4.棱台与圆台：统称为台体 (1)棱台的性质：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点. (2)圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延氏线交于一点；母线长都相等.
5.球：球体球的半径球的直径.球心
O—A 二、空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影平行投影正投影 2.三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等。 3.直观图：斜二测画法，直观图中斜坐标系尤力项，两轴夹角为45。; %1原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； %1原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 三、空间几何体的表面积和体积 1.柱体、锥体、台体表面积求法：利用展开图 2.柱体、锥体、台体表面积体积公式，球体的表面积体积公式： 几何体表面积相关公式体积公式 棱柱S全=2S底+ S侧，其中S侧=/侧枝长&直截面周长V = S\h 棱锥S全=，底+ S侧V = —SDh3 棱台s全=s上底+ S下底+ S侧 v =L(s‘+ Js’s +s)/z 圆柱 S全=2、r1 + 2/r rl （r：底面半径，1：母线长=方：高） V = sh =兀广h 圆锥 S 全=7T r 2 + 7T r 1 （r：底面半径，7：母线长） V = —sh = —7rr2h 3 3 圆台 S全=勿（,"+尸2+,，/+〃） （r：下底半径，广上底半径，7：母线长） V = -($ '+ Js 'S + S)h 3球体S球面=4勿A?4正视图（从前向后）反映了物体上下高度、左右长度的关系; 侧视图（从左向右）反映了物体左右长度、前后宽度的关 系; 俯视图（从上向下）反映了物体上下高度、前后宽度的关系。 i MX 大 I
2020年高考数学 空间几何体解答题 专练(含答案)
2020年高考数学空间几何体解答题专练 1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为 棱AB、PD的中点． （1）求证：AF∥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求三棱锥C－BEP的体积． 2.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AB=AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点。 1 （1）求证：PQ//平面A1BC1； （2）求证：BC⊥PQ。
3.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证： 1 （1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC⊥平面A1ACC1． 4.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC， CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM． （1）求证：OM∥平面PAD； （2）求证：OM⊥平面PCD．
5.如图，在直四棱柱ABCD–A B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点． 1 （1）求证：AC1∥平面PBD； （2）求证：BD⊥A1P． 6.如图，直四棱柱ABCD–A B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC， 1 BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中 点． （1）证明：ED⊥PE； （2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由． 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，∠ADC=60°，， M是PB的中点． （1）求证：PD∥平面ACM； （2）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值．
高中数学立体几何讲义
平面与空间直线 (Ⅰ)、平面的基本性质及其推论 图形 符号语言 文字语言（读法） A a A a ∈ 点A 在直线a 上。 A a A a ? 点A 不在直线a 上。 A α A α∈ 点A 在平面α内。 A α A α? 点A 不在平面α内。 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点。 a α a α? 直线a 在平面α内。 a α a α=?I 直线a 与平面α无公共点。 a A α a A α=I 直线a 与平面α交于点A 。 l αβ=I 平面α、β相交于直线l 。 2、平面的基本性质 公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：A AB B ααα∈? ??∈? ?。 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。 B A α
公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 推理模式： A l A ααββ∈? ?=?∈? I 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。 例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面 α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线． 解：∵AB ∥CD ， ∴AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB I α＝E ，AB ?β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公共点． 同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点． ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线． 说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论． 例2．如图，已知平面α，β，且αI β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ?α，CD ?β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB I CD ＝M ． 又∵AB ?α，CD ?β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈αI β． 又∵αI β＝l ，∴M ∈l ， 即AB ，CD ，l 共点． 说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的． 公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈。 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 。 例3．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， α D C B A E F H G α D C B A l 例2 β M
高考文科数学立体几何试题汇编
图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 23 （B ）3 （C ）23 （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.3 空间几何体外接球和内切球(原卷版)
9.3 空间几何外接球和内切球 一．公式 1.球的表面积：S ＝4πR 2 2.球的体积：V ＝43πR 3 二．概念 1. 2. 考向一 长（正）方体外接球 【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为__________． 【举一反三】 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.
考向二棱柱的外接球 【例2】直三棱柱ABC?A′B′C′的所有棱长均为2√3，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A．12πB．16πC．28πD．36π 【举一反三】
1.设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________. 2.直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________． 考向三棱锥的外接球 类型一：正棱锥型 【例3-1】已知正四棱锥P ABCD -的各顶点都在同一球面上， 体积为2，则此球的体积为（） A. 124 3 π B. 625 81 π C. 500 81 π D. 256 9 π 【举一反三】 1.已知正四棱锥P ABCD -的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( )
A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π 2．如图，正三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为则球O 的表面积是( ) A ．4π B ． 323 π C ．16π D ．36π 类型二：侧棱垂直底面型 【例3-2】在三棱锥P ABC -中， 2AP =， AB = PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 40π B. 20π C. 12π D. 203 π 【举一反三】
高中数学选修21空间向量与立体几何知识点讲义
第三章 空间向量与立体几何 一、坐标运算 ()()111222,,,,,a x y z b x y z == ()()()()121212121212 11112121 2,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理 (),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理 ,,.a b p a b x y p x a y b ←??→?=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线 ,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点 ()()()11, 1. P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性 、、、四点共面， ，，， 令()()() 1, 1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理 {} ,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，, ,都叫做基向量.
空间几何体的表面积和体积经典例题(教师讲义打印一份)
空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 12 上、下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：?? ?=++=++24 )(420)(2z y x zx yz xy )2()1(
由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16 所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－ 29=2 9， ∴A 1O= 223，平行六面体的体积为2 2 345? ?=V 230=。 题型2：柱体的表面积、体积综合问题 例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．2 3 B ．3 2 C ．6 D ． 6 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝ 2，c ＝3，则对角线l 的长为
2018年高考数学立体几何试题汇编
2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．
《空间解析几何》学习指导
《空间解析几何》学习指导 一、教学目的与课程性质、任务。 《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。 二、教学要求 通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下： 第一章向量与坐标 1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念 2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念 3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则 4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义 5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律 6理解线性相关和线性无关的含义 7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系. 8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系 9掌握投影与矢量模及夹角的关系. 10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线 12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系 第二章轨迹与方程 1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系 2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征 3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法 4 了解螺旋线的方程. 第三章平面与空间曲线 1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程 2 熟练掌握平面方程几种形式的求法 3 熟练掌握点到平面的距离公式 4 熟练掌握平面与平面的夹角公式