第一章随机事件与概率

第一章 随机事件与概率

在第一章我们将从随机试验开始，介绍研究随机现象的基本方法。我们将讲述随机试验，随即事件及其运算，概率测度等基本概念。然后给出概率论的公理化结构和概率空间的概念。接着讲解条件概率和事件的独立性。最后步介绍全概率公式和贝叶斯公式。

1.1 随机事件及其关系

1.1.1 随机试验和随机事件

自然界和人类社会存在两种现象，一是在一定条件下必然产生的现象，如在一个标准大气压下，水加热到C o 100，就一定沸腾。这样的现象称为确定性现象；还有一种现象，在一定的条件下，可能发生或可能不发生，或有多种可能的结果，如明天股市走向，明天是否一定下雨。这种现象称之为随机现象。

研究随机现象的第一步就是研究试验，这是最简单的随机现象。一个试验，如果满足一下三点：

（1） 可以在同样条件下重复进行； （2） 试验的结果多于一个；

（3） 在试验前其结果是不可知的，一般只知道是几个结果中的一个或在某个范围内， 或只知道有某种可能性，而试验进行之后，结果是明确的。

那么我们就称这种试验为随机试验。如抛硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，在抛之前我们无法断言是出现正面还是出现反面，但抛了之后就知道是正面还是反面了。所以这是一个随机试验。还有从袋里摸球，假设袋中有三个球，两个红球和一个白球。球的大小，形状和重量都是相同的。在摸球之前，摸出的是红球还是白球是不知道的，但摸出之后，结果是明确的。所以这也是一个随机试验。

随机试验的结果称为样本点，常用ω表示。所有可能的结果，即所有可能的样本点构成的集合被称为样本空间，常用Ω表示。如在抛硬币的试验中，样本点是“正面”和“反

面”，样本空间是集合{}反面正面，。结果记“正面”=1ω、“反面”=2ω则{}21,ωω=Ω。在摸球的试验中，样本点是“红球”和“白球”，样本空间是{}

白球红球，

。 现在再考察复杂一些的随机试验。连续抛三次硬币，观察每次出现正面还是反面。这显然是个随机试验，为试验结果是未知的，试验进行之后，结果是确定的。这个试验共有8个结果，即8个样本点：

“正正正”，“正反正”，“正正反”，“正反反”， “反正正”，“反反正”，“反正反”，“反反反”

记

“正反反”“正正反”，“正反正”，“正正正”，====4321ωωωω

“反反反”“反正反”，“反反正”，“反正正”，====8765ωωωω

则样本空间为

},,,{821ωωω =Ω

如果我们关心的是“恰好出现两次正面”这个结果，则满足这样条件的样本点是

“反正正”“正正反”，“正反正”，===532ωωω

显然},,{532ωωω是样本空间Ω的一个子集。如果样本点},,{532ωωωω∈，则结果“恰好出现两次正面”发生，反之，若结果“恰好出现两次正面”发生，则必有},,{532ωωωω∈。

在随机试验中，如果我们所关心的结果可以表示为样本点的集合，这个结果就被称为随机事件，简称为事件。事件常用大写的字母C B A ,,等表示。一个事件A 可以看成是样本空间Ω的一个子集。事件A 发生，当且仅当A ∈ω。但需要说明的是，样本空间的子集未必都能看作是一个事件，这将在后面的讨论中看到。样本点也可以看成是事件，这时可以把样本点看作是单点集，称为基本事件。另外，不管随机实验的结果是什么，都有Ω∈ω，所以样本空间Ω表示必然事件。又因为对任意Φ?Ω∈ωω,，所以空集表示不可能事件。这样，样本空间和空集也被看作是事件。这是两个特殊的事件。一个为必然事件，一个为不可能事件。

在上面的随机试验中，样本空间的样本点的个数是有限的。现在我们考虑样本点的数目是无限的情形。我们考察这样的随机试验，测量在某一时刻内穿过大气层中单位面积上的放射性粒子的数目，这是一个随机试验。因为粒子的数目为整数，所以样本空间为

{} ,2,1,0=Ω。这样的样本空间是无穷可数的，或称为是可列的。又如测量每天的最高气

温，这也是一个随机试验。最高气温可以取实数，所以样本点可以是{}∞+∞-,上的点，样本空间为{}∞+∞-=Ω,，这个样本空间是无穷不可数的。

1.1.2 随机事件的运算

我们从随机现象出发提出了随机试验的概念，进而引进了样本点和样本空间的概念，又由样本点的集合出发定义了随机事件。现在我们将考察随机事件的运算和它们之间的关系。在以后的讨论中，我们用同一个符号，如A 同时表示一个随机事件和它所对应的样本空间的子集。常见的随即事件的关系和运算有如下几种。 （1）随机事件的包含关系

如果事件A 的样本点都是事件B 的样本点，则称事件B 包含事件A ，记作B A ?。若

A ∈ω，则

B ∈ω，所以B A ?的概率论意义是，A 发生必然导致B 发生。考察前面连续

抛三次硬币的例子。记面”“恰好连续出现两次正=A ，“恰好出现两次正面”

=B ，则{}正正反，反正正=A ，{}正正反，反正正正反正，

=B ，所以B A ?。如果事件“恰好连续出现两次正面”发生，那么事件“恰好出现两次正面”也发生。特别地，如果

B A ?，又有B A ?，则称事件A 等于事件B ，记为B A =。

（2）随机事件的对立事件

设A 为一个事件，样本空间Ω中的所有不包含在A 中的样本点组成的事件称为A 的逆事件或对立事件，记作A ，即{}A A ∈=ωω;。这时，若A ∈ω，必有A ?ω，若A ∈ω，必有A ?ω，所以，若A 发生，则必然A 不发生，若A 发生，则必然A 不发生。在抛三次

硬币的试验中，记“恰好出现两次正面”=A ，则

{}正正反正，正正反，反正=A

{}反，反反正，反反反正正正，反正反，正反=A

（3）随机事件的交

同时属于事件A 和B 的样本点构成的事件称为A 和B 的交，记为B A ，即

{}B A B A ∈∈=ωωω,; 。若B A ∈ω，则B A ∈∈ωω,，故若B A 发生，则A 和B 都发生。换言之，B A 表示A 和B 同时发生。

（4）随机时间的并

所有属于事件A 和B 的样本点的全体构成的事件称为A 和B 的并，记为B A ，即

};{B A B A ∈∈=ωωω或 。若B A ∈ω，则A ∈ω，或B ∈ω，所以事件B A 发

生，则有A 发生或B 发生或A 和B 都发生。换言之，事件B A 表示A 和B 中至少有一个发生。

（5）随机事件的差

包含在事件A 中而不包含在B 中的样本点构成的事件称为A 与B 的差，记为B A -，即{}B A B A ?∈=-ωωω,;。若B A -∈ω，则A ∈ω，B ?ω，故B A -表示A 发生而B 不发生。 (6) 不相容随机事件

如果Φ=B A ，则称事件A 和B 不相容。因为事件A 与B 的交为空集，所以若

A ∈ω，则

B ?ω；若B ∈ω，则A ?ω，故Φ=B A 表示事件A 与B 不会同时发生。

显然有Ω=Φ=A A A A ,，这是因为事件A 和A 不会同时发生，而无论试验的结果是什么，都有A ∈ω或A ?ω，即A A 为必然事件。 (7) 有限个随机时间的并和交

两个必然事件的并和交可以推广到n 个事件的情形。设有n 个事件n A A A ,,,21 ，它们的并表示这n 个事件中至少有一个发生，记为

n

i i n A A A A 1

21==

它们的交表示这n 个事件同时发生，记为

n

i i n A A A A 1

21==

注意，这里

n i i

A 1=即为Ω的子集n i A i ,,2,1, =的并， n

i i

A 1

=即为它们的交。

由以上的讨论我们发现，一个事件和事件的运算可以有两种表述方法，一种是用概率论

的语言来表述，如“恰好出现两次正面”=A ，B A 表示事件A 和B 至少有一个发生。

另一种是用集合论的语言来表述，{}正正反正，正正反，反正=A ，

{}B A B A ∈∈=ωωω或; 。事件和事件运算的集合论表述方法为概率论提供了严格的

数学语言，在理论分析中经常被使用。而用概率论的语言的表述方法直观明了，在处理应用问题时经常使用到。我们应该学会灵活应用两种不同的表述方法。

【例1.1】 一个袋中装有4个白球，2个黑球。这些球的大小、形状和重量都是相同的。为了表述的方便，我们把球编号。4个白球的编号为1号，2号，3号，4号。2个黑球的编号

为5号，6号。如果第一次摸到第i 号球，第2次摸到j 号球，则摸球的结果用),(j i 来表示。这样摸两次球共有30个样本点，具体是

（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6） （2,1），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6） （3,1），（3,2），（3,4），（3,5），（3,6） （4,1），（4,2），（4,3），（4,5），（4,6） （5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,6） （6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5）

我们考察三个事件，A ：第一次摸出黑球，B ：第二次摸出黑球，C ：第一、第二次都摸出黑球。显然

{})4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(=A {})6,4(),6,3(),6,2(),6,1(),5,4(),5,3(),5,2(),5,1(=B {})5,6(),6,5(==B A C

这样，B A 表示第一次和第二次至少有一次摸到黑球，即

{)1,5(),6,4(),5,4(),6,3(),5,3(),6,2(),5,2(),6,1(),5,1(=B A

})5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),6,5(),4,5(),3,5(),2,5(

B A -表示第一次摸到黑球，第二次摸到白球，即

{})4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(=-B A

【例1.2】 设C B A ,,为三个事件 (1) )(,,C B A C B A C B A ---

都表示A 发生而B 与C 都不发生。 (2) C B A B A C B A C B A --,,

都表示A 与B 同时发生，而C 不发生。 (3) )()()(C B A C B A C B A

表示三个事件恰好发生一个。

(4) )()()(C B A C B A C B A

表示三个事件中恰好发生两个。 (5) C B A

表示三个事件都发生。

(6) ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ,

都表示三个事件中至少有一个发生。

既然事件的运算可以归结为事件所对应的样本点的集合的运算，所以同集合的运算一样，事件的运算满足以下规律 (1) 交换律：A B B A A B B A ==,

(2) 结合律：)()(),()(C B A C B A C B A C B A == (3) 分配律：)()()(C B C A C B A = )()()(C B C A C B A = (4)德莫根定理：B A B A B A B A ==,

。

1.2 随机事件的概率

1.2.1 频率与概率

虽然随机事件在一次随机试验中可能出现，也可能不出现，呈现出很大的随机性，但在大量试验中却呈现出一定的规律性，这个规律就是所谓的频率稳定性。一个随机事件A ，若在N 次随机试验中出现A n 次，那么称N n A F A N =)(为事件A 的频率。当N 充分大时，频率)(A F N 就非常接近某个常数，而且N 越大，越接近。这种现象称为频率稳定性。换言之，在大量随机试验中，一个随机事件的“出现频率”是一定的，这就是随机事件的规律性所在。

在抛硬币的试验中，出现正面的频率在0.5左右。从表1可以看出，随着抛硬币次数的 增加，频率越来越接近0.5。一个随机事件的频率反应了该随机事件出现的可能性的大小，而频率又接近于某个固定的常数，这就启发我们用这个常数来度量随机事件发生的可能性的大小，并称它为概率。事件A 的概率记作()A P ，显然，概率为事件的函数，不同的事件，其概率不相同，概率的取值也不相同。那么，概率作为随机事件的函数，它应该具备哪些性

表1

质？这就需要考察随机事件的频率具有哪些特征。首先由频率的定义知

.1)(,1)(0=Ω≤≤N N F A F

这样我们就要求对任意随机事件A ，有 性质1 1)(0≤≤A P 性质2 1)(=ΩP

再设B A 、为两个不相容的随机事件，即Φ=B A ，考察B A 的频率。记在N 次随机试验中，A 出现的次数为A n ，B 出现的次数为B n 。因为A 和B 不相容，所以A 和B 不会同时出现，由此知事件B A 出现的次数为B A n n +，B A 的频率为

)()()(B F A F N

n N n N n n B A F N N B

A B A N +=+=+=

由此我们也要求概率具有相同的性质，即

性质3 )()()(B P A P B A P +=

一般地，设n A A A ,,,21 为两两不相容的随机事件，由上式和数学归纳知

()()()n n i i A P A P A P A P +++=???

?

??= 211 这个性质被称为概率的有限可加性。以上三个性质就是概率必须具备的性质。至此，我们得到了有限可加概率的正式定义

定义1.1 设P 是一个随机事件的函数。如果它满足以下三个条件 （1）设A 为一个随机事件，则()10≤≤A P （2）()1=ΩP

（3）设n A A A ,,,21 为两两不相容的随机事件，则

()()()n n i i A P A P A P A P +++=???

? ??= 211 那么就称P 为有限可加概率。

1.3 古典概型与几何概率

1.3.1古典概型

古典概型是最简单的随机模型。这里所说的随机模型是指随机现象的数学模型. 如果一个随机模型满足以下条件

(1) 样本空间中样本点的个数是有限的 (2) 每个样本点的概率是相同的 那么就被称作古典概型。

假设样本空间为{}n E E E ,,,21 =Ω，记

()()()p E P E P E P n ==== 21

将i E 看成单点集合{}i E ，则{}{}j i E E j i ≠Φ=, ，且

{}{}{}Ω=n E E E 21

由概率的有限可加性知

()()()()121=Ω=+++P E P E P E P n

n p np /1,

1==

设事件{}

m i i i E E E A

,,,21 =，则

{}{}{}

m i i i E E E A 21=

()()()()

n m mp E P E P E P A P m i i i /21==+++=

于是我们得到了如下结论

(1) 在古典概型中，每个样本点的概率为n /1

(2) 古典概型中，随机事件A 的概率为A 中样本点的数目m 与样本空间中样本点的数目n

的比，即n m A P /)(=。

注1. 在求解具体问题时，事件A 的样本点通常被称为有利情形或有利场合。 注2. 在古典概型中，概率的计算公式是基于概率的有限可加性得到的。

【例1.3】 投两个骰子，求两个骰子中至少有一个出现6，且两个骰子的点数之和为偶数的概率。

解：如果第一个骰子的点数为i ，第二个骰子的点数为j ，则记投骰子的结果为),(j i 。因为i 和j 的取值为6,,2,1 ，所以样本点),(j i 的个数为3666=?=n 。在有利样本),(j i 中，i 和j 至少有一个6，因为j i +为偶数，i 和j 中的另一个也应为偶数，所以有利情形为

(6,2), (6,4), (6,6), (2,6) ,(4,6)

由此知，所求概率为36/5。

古典概型的典型实例是摸球问题，许多应用问题都可以转化为摸球问题。

【例1.4】 一个袋子中有a 个红球，b 个白球。每个球的大小，形状，重量都是一样的。(1) 做放回的抽样，即从袋中每次取一个球，取了之后又放回，这样连续取n 次，求这n 个球中有k 个是红球的概率。(2) 做不放回抽样，即每次取1个球，取出后不放回，再取第2个，共取n 次。求这n 个球中有k 个是红球的概率。

解：(1) 因为每个球的大小、形状和重量都是一样的，所以摸到每个球的概率是相同的。所以这是一个古典概型。把b a +个球编号，可能的重复排列的全体就是样本点的全体，所

以样本点的总数为n

b a )(+。有利场合的数目为k

n k k n b a C -，由此知，所求概率为

k n k k n n

k n k k n b a b b a a C b a b a C p --++=+=)()()

( (2) 因为是不放回的抽样，从b a +个球中取n 个得到的可能的组合的全体就是所有样本点，其总数为n

b a C +，有利场合为k

n b

k

a C C -。所以所求概率为

k

b

a k

n b k a C C C p +-= 这是一个常见的概率公式，称为超几何分布。

【例1.5】 有n 双不同的鞋子(共n 2只)，随机分成n 堆，每堆2只，求每堆都成一双鞋的概率是多少？

解：一堆鞋恰好成一双就意味着两只鞋恰好是原配的一对。这n 对原配的鞋的排列的总数就是有利场和的总数，故为!n 。鞋子的分法可以这样进行，任意取2只放在一起，再从剩余的鞋任取2只放在一起，共取n 次，所以共有2

22

42

222

2C C C C n n -种结果，即样本的总数为

n

n n n n n n n C C C C )

!2()!

2(1!2!2!4)!42(!2)!22()!22(!2)!2(222422222=???--?-=

- 所以所求概率为

)!2()!2(!)!2/()!2(!n n n n p n

n

=

= 有时把复杂事件分解成简单的不相容的事件的并，可以大大简化求概率的过程。 【例1.6】 共有50个铆钉。把这些铆钉打在10个部件上。每个部件打3个。有3个铆钉强度太弱。如果这3个用于一个部件，这个部件的强度就太弱。求发生一个部件强度太弱的概率。

解：记个部件强度太弱”“第”，“有一个部件强度太弱i A A i ==

，则 j i A A A A A A j i ≠==,,1021φ 且

于是所求概率为

()()()()1021A P A P A P A P +++=

取铆钉的过程可以这样进行，从50个铆钉中取3个，再从剩下的47个铆钉中取3个，如此进行下去，最后从20个中取3个。所以样本点的总数为

3

20347350C C C

而i A 中的样本点可以这样得到，先把三个强度弱的铆钉取出来，再从剩余的47个铆钉中取3个，再从剩余的44个中取3个，如此进行下去，最后从20个中取3个。所以样本点的总数是

3203471C C ?

由此得

()19600

1

484950!3113

503203473503

20347=??==?=C C C C C C A P i

()1960

1

1960010=

=

A P 1.3.2几何概率

许多实际问题不像古典概型，样本空间是有限的。看两个例子。

【例1.7】 在一个50万平方公里的海域里，有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油。假如在这海域随意选定一点钻探，问钻到石油的概率有多少？

【例1.8】 在一个瓶中有400毫升自来水，里面有一个大肠杆菌。从水中随机地取2毫升水，放在显微镜下观察，问发现大肠杆菌的概率有多少？

在例1中样本空间是50万平方公里的海域，经抽象化以后是一个平面。在例2中，样本空间是400毫升的自来水，经抽象化以后是一个体积。那么怎么定义概率？先看例1。因为选点是随机的，海域的每一点被选中的可能性都相同，因而贮藏石油的面积越大，钻到石油的可能性越大。所以我们可以假设概率和面积成正比，即所求概率为

kA p A =

这里A 为贮藏石油的面积。显然如果整个海域都贮藏着石油，则钻到石油的概率为1，即

1=Ω=Ωk p

由此得

Ω=/1k

所以

10000/850000/40/==Ω=A p A

再来看例2，取水是随机的，瓶中水的每一点都可能被取到，而且取的水越多，观察到大肠杆菌的可能性越大。所以我们可以假设所求概率与所取水的体积成正比，即

kg p g =

这里g 是水的体积。如果我们把水全部取出来，那么发现大肠杆菌的概率为1，即

1=Ω=Ωk p

得Ω=/1k ，于是

200/1400/2/==Ω=g p g

从这两个例子出发，我们引出了一个新的定义概率的方法，其一般形式如下： 定义1.2 记事件g A 为“在区域Ω中随机取一点，该点在Ω的一个小区域g 中”，则定

义概率

的度量

的度量

Ω=

g A P g )(

这样定义的概率称为几何概率。

几何概率有一个特点，样本空间Ω是一个区域，它可以是一维的，二维的，三维的，也可以是n 维的。而点所在的区域g 的概率只和g 的度量（长度、面积、体积等）成正比，与g 的位置和形状无关。

容易验证，几何概率满足概率的性质1和性质2，即

()()1,10=≤≤ΩA P A P g

这里ΩA 表示事件“点在样本空间Ω内”。

现在说明几何概率也满足有限可加性。假设把点所在的区域g 分割成n 份

n g g g ,,,21 ，则它们是两两不相交的，所以 n

i g g g g i j i A A A A 1

,==Φ=。因为

()

的度量

的度量

Ω=

i g g A P i

∑==n

i i g g 1

的度量的度量

所以

()∑∑==Ω=Ω=Ω=n i i n

i i g g g g A P 11

的度量的度量的度量的度量的度量的度量()∑==n

i g i A P 1

下面的例子说明几何概率还满足“可列可加性”。

【例1.9】 在区间)1,0[上投一点，记中”“点落在)2/1,0[=A ，

,2,1,)2/1,2/1[1==+n A n n n 中”“点落在，则

j i A A A A j i n n ≠==∞

=,,

1

φ

我们用区间的长度来定义概率，则

)(2

1

)(,

2/1)(,2

1

)(1

1A P A P A P A P n n n n ==

==∑∞

=+

若j i A A

A A j i

n n ≠Φ==

∞

=,,1

，则∑∞

==1

)()(n n A P A P ，这时称概率满足可列可加性。

现在举两个实际例子。

【例1.10】 两人相约7点到8点在某地见面，先到的人等另一个人20分钟，超过20分钟就离去，试求两个人能见面的概率。

解：用y x ,分别表示两人到达的时刻，则两人见面的充分必要条件是

20||≤-y x

把7:00作为原点，则两人可能到达的时间区域为]60,0[]60,0[?，见图1。而两人相见的区域则为图1的阴影部分。

所以这是一个几何概率问题，所求概率为

95

6040602

22=-=p

【例1.11】 在这个例子中我们将通过几何概率求圆周率π。做一个边长为r 的正方形Ω，

其中的阴影部分A 为半径是r 的四分之一圆。向区域Ω随机地掷n 个点，记落在区间A 中的点为m ，则点落到四分之一圆内的概率为

44/2

2

ππ==Ω=

r

r A p 的面积的面积

因为当n 充分大时，n m p /≈，所以这时

n

m n m 4,4≈≈ππ

1.3.3概率的公理化

所谓数学的公理化就是把数学的某分支的最基本的假定作为公理，其他结论都由这些公理经过演绎导出。概率论的公理化包括两个方面，一个是构造事件域，一个是定义概率测度。

先考虑事件域。在前面的讨论中我们已经看到，事件是样本空间的一个子集。在古典概型中，Ω的每个子集也都可以看成是一个事件，且它的概率为子集中样本点的个数和样本空间中样本的个数之比。所以在古典概型中，事件和样本空间的子集是一一对应的。但在几何概率的场合，样本空间的子集未必都能看做一个事件。比如，如果一个子集是不可度量的（即不可测的），那么把它看做一个事件，就无法定义它的概率，所以事件域F 不能包含太多的子集，但子集也不能太少。那么F 应该满足什么条件才符合要求呢？我们从事件的关系和运算出发考虑这个问题。

首先，Ω作为必然事件，它理所应当地属于事件域F 。同时空集作为不可能事件也应该在F 中，即F 必须满足 (1) F ∈Ω； (2) F ∈Φ；

设A 是事件域F 中的一个事件，即F ∈A 。则因为A 也是一个事件，A 也应该在F 中，即必须满足

(3) 若F ∈A ，则F ∈A ；

又设n i A i ,,2,1, =∈F ，因为 n i i

A 1

=和 n

i i

A 1

=也是事件，所以它们也应该在F

中，

即必须满足

(4) 若n i A i ,,2,1, =∈F ，则

F.∈= n

i i A 1

(5) 若n i A i ,,2,1, =∈F ，则

F.∈= n

i i A 1

在几何概率中，可列个事件的并和交也是事件，所以我们要求 (6) 若 ,2,1,=∈n A n F ，则

F.∈∞

= 1n n

A

(7) 若 ,2,1,=∈n A n F ，则

F.∈∞

= 1

n n

A

由此可见，作为一个事件域，它必须满足以上7个性质。

然而由事件的运算性质可知，只要上述条件 (1)、(3)、(6) 被满足，那么以上7个性质自然被满足。事实上由 (1) 和 (3) 知，F ∈Ω=Φ，所以 (2) 成立。又因为

ΦΦ=n n A A A A A A 2121

所以由 (6) 知

F ∈= n

i i A 1

，即 (4) 成立。于是由德莫根定理和 (3)、(4) 知

F F ∈∈==== n

i i

n i i

n i i

A A A 1

1

1

,

所以 (5) 成立。

又因为

F ∈=∞

=∞= 1

1

n n

n n A

A ，所以F ∈∞

= 1

n n A ，即 (7) 成立。于是我们就得到了事件域

的公理化定义。

定义1.3 设F 是集合Ω的子集构成的集族，它满足以下条件 (1) F ∈Ω

(2) 若F ∈A ，则F ∈A (3) 若 ,2,1,=∈n A n F ，则

F.∈∞

= 1

n n

A

那么就称F 是Ω上的-σ域-σ代数。如果Ω为样本空间，那么F 就称为是一个事件域，

F 中的集合称为事件。

再考虑概率的公理化定义。在古典概型中，概率必须满足有限可加性，但在几何概率中，概率要满足可列可加性。所以概率的公理化定义为

定义1.4 设P 为事件域F 上的一个集合函数，如果它满足如下三个条件 (1) 对任意F ∈A ，1)(0≤≤A P ；

(2) 1)(=ΩP ;

(3) ,2,1,=∈n A n F , 且j i A A j i ≠Φ=, ，则

()∑∑∞

=∞==??? ??1

1n n n n A P A P 那么就称P 为一个概率测度。

我们称三元组),,(P F Ω为概率空间。

由概率测度的条件 (1)、(2)、(3)，我们可以推出概率的如下性质。 性质1. 0)(=ΦP

证明：Φ=ΦΦΦ=ΦΩΦΦΩ=Ω ,,，所以由(3)知

()()()() +Φ+Φ+Ω=ΩP P P P

得()0=ΦP 。

性质2. 设n i A i ,,2,1, =∈F ，j i A A j i ≠=,φ ，则

()∑===???? ??n i i n i i A P A P 1

1 证明：因为

ΦΦ===n

i i

n i i A

A 1

1

由(3)和性质1知

()()∑∑====+++=???? ??n

i i n i i n i i A P A P A P 11

100

由性质2的证明知，可列可加性隐含了有限可加性。

性质3. 对任意F ∈A ，)(1)(A P A P -=。 证明：因为φ=Ω=A A A A ,，所以由性质2知

)(1)(,1)()()()(A P A P P A P A P A A P -==Ω=+=

性质4. 设F ∈A ，F ∈B ，且B A ?，则

)()(),()()(B P A P B P A P B A P ≥-=-

证明：当B A ?时，)(B A B A -= ，且Φ=-)(B A B ，所以

)()(),()()(),()()(B P A P B P A P B A P B A P B P A P ≥-=--+=

性质5. )()()()(AB P B P A P B A P -+= 。

证明：因为Φ=--=)(),(AB B A AB B A B A ，所以

)()()(AB B P A P B A P -+=

又因为AB B ?，由性质4知，)()()(AB P B P AB B P -=-，所以

)()()()(AB P B P A P B A P -+=

性质6. )()()(B P A P B A P +≤ ，

)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++≤

证明：由性质5即知不等式成立。

1.4 条件概率及其应用

1.4.1条件概率的定义

再考虑投三次硬币的随机试验。样本点的全体为

{反，正反反，正正正，正反正，正正=Ω

}反，反反反反正正，反反正，反正

记事件{}

恰好出现两次正面=A ，则

{}，正正反正，正正反，反正=A

则

()8

3

=

A P 又记事件{}

第一次出现反面=B ，则

{}反，反反反反正正，反反正，反正=B

如果我们已知B 发生，那么就知道样本点在B 中。如果这时我们再考虑事件A 发生的概率，那么样本点可能落到的空间就由Ω变为B ，这是我们可以把B 看成新的样本空间，而有利

场合就由A 变成B A 。按古典概型的计算方法，这是A 发生的概率为

4

1

==

中的样本点个数中的样本点个数B B A p

我们把这个概率看成是在事件B 发生的条件下A 发生的概率，记为()

B A P 。对一般地古典概型，我们就定义

()中的样本点个数

中的样本点个数

B B A B A P =

中的样本点个数

中的样本点个数中的样本点个数

中的样本点个数ΩΩ=

B B A

()()

B P B A P =

再考虑几何概型的情况。假设有事件A 和B ，这里A 、B 也表示相应的区域。已知B 发生，则ω落在B 内，这时若A 发生，则ω落在B A 内。记B A B A ,,,Ω的度量为

()Ωm ，()A m ，()B m 和()B A m ，再假设()0>B m 。把B 看作新的样本空间，在B 发

生的条件下A 发生等价于B A ∈ω。按几何概型的计算方法，这时A 发生的概率为

()()()()()()()()

B P B A P m B m m B A m B m b A m p =ΩΩ==

从这两个例子出发，我们可以引入一般条件概率的定义。 定义1.4 设A 、B 为两个事件，且()0>B P ，记

()()()

B P B A P B A P =

则称()

B A P 为在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。

需要说明的是，当已知事件B 发生时，计算条件概率的样本空间变小了，如在抛硬币的例子中，样本空间变为

{}正，反反反反正正，反正反，反反=B

这样A 发生或不发生的不确定性就减小了。在几何概型中，若已知B 发生，则A 发生等价于样本点落在B A 内，这样区域就变小了，A 发生或A 不发生的不确定性就减小了。如

果()()A P B A P >，表示在B 发生的条件下，A 发生的可能性增大；如果()

()A P B A P <，则表示在B 发生的条件下，A 不发生的可能性增大了。

由条件概率的定义我们可等如下公式

()()()B P B A P B A P =

这个公式我们称为乘法公式，它常被用来计算两个事件同时发生的概率。

乘法公式可以推广到n 个事件的场合，即有

()()()()()12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P

现在我们就来证明这个公式。在条件概率的定义中，事件B 可以是单一事件，也可以是复合事件，如

12132121,,-===n A A A B A A A B A A B

令n A A =，121-=n A A A B ，则

()()()121121121---=n n n n n A A A P A A A A P A A A A P

再令1-=n A A ，221-=n A A A B ，则

()()()22122111221-----=n n n n n A A A P A A A A P A A A A P

如此进行下去，最后令3A A =，21A A B =，

()()()21213321A A P A A A P A A A P =

令2A A =，1A B =，则

()()()11221A P A A P A A P =

综合以上结果，得

()()()12112121--=n n n n A A A P A A A A P A A A P

()()()22122111221-----=n n n n n n A A A P A A A A P A A A A A P

……

()()()()321321422111221A A A P A A A A P A A A A P A A A A A P n n n n n ----= ()()()()()21213321422111221A A P A A A P A A A A P A A A A P A A A A A P n n n n n ----=

()()()()()()

112213321422111221A P A A P A A A P A A A A P A A A A P A A A A A P n n n n n ----= ()

()∏=-=n

k k k

A A A A

P A P 2

1211

【例1.12】 卜里耶()Polya 模型。罐中有b 只黑球，r 中红球，随机取一只球，把该球放回，并加上与该球同色的c 个球，再继续摸。共进行n 次。求前1n 次摸到黑球，后12n n n -=次摸到红球的概率。

解：记1,,,21n A A A 为第1,,2,1n 次摸出的是黑球，n n n A A A ,,,2111 ++表示第

n n n ,2,111++次摸到红球，则

()r

b b

A P +=

1 ()c

r b c

b A A P +++=

12 ()c r b c

b A A A P 22213+++=

……

()

()()c n r b c

n b A A A A P n n 111112111-++-+=

-

()

c n r b r

A A A A P n n 121111++=

+

()

()c

n r b c

r A A A A P n n 11121211++++=

++

……

()()()c

n r b c

n r A A A A P n n 112121-++-+=

-

于是由乘法公式

()()()c n r b c n b c r b c

b r b b A A A P n 111121-++-+??+++?+=

()()()c

n r b n r c n r b c

r c n r b r 111211-++-+??++++?++?

1.4.2 全概率公式