人教版 九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 培优训练
人教版 九年级数学 第28章 锐角三角函数 培
优训练
一、选择题
1. （2020·聊城）如图，在
4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，
△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB 的值为（ ）
A ．
553 B ．5
17
C ．53
D ．54
2. (2019·湖北宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，
△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为
A ．4
3
B ．34
C ．35
D ．45
3. (2019?湖南长沙?3分)如图，一艘轮船从位于灯塔
C 的北偏东60°方向，距离
灯塔60nmile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是
A ．303nmile
B ．60nmile
C ．120nmile
D ．(30+303)nmile
4. 如图，点
A,B,C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（ ）
A.62
B.2626
C.1326
D.13
13
5. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网
格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )
A . 1
2
B . 1
C . 3
D . 2
6. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板
ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，
C ，
D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距
离等于
A ．asinx+bsinx
B ．acosx+bcosx
C ．asinx+bcosx
D ．acosx+bsinx
7. 如图，以
O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵
上一点(不
与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )
A . (sin α，sin α)
B . (cos α，cos α)
C . (cos α，sin α)
D . (sin α，cos α)
二、填空题
8. 如图，点
A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝3
2
，
则t 的值是________．
9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它
沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，
cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)
10. （2020·天水）如图所示，∠AOB
是放置在正方形网格中的一个角，则sin ∠
AOB 的值是________．
11. （2020·苏州）如图，已知MON
∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半
径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于1
2
AB 长
为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC .过点A 作AD ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E .设10OA =，12DE =，则sin MON ∠=________.
12. (2019·浙江宁波)如图，某海防哨所O 发现在它的西北方向，距离哨所400
米的A 处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处，则此时这艘船与哨所的距离OB 约为__________米．(精确到1米，参考数2≈1.4143≈1.732)
13. (2019?江苏宿迁)如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是__________．
14. 【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，
AD＝3
，CD＝1,则BC的长为 .
6
三、解答题
15. 若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A处到B 处约需时间几分．(参考数据：3≈1.7)
16. 如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60 m，随后无人机从A处继续水平飞行30 3 m到达A′处．
(1)求A，B之间的距离；
(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．
17. (2019?铜仁)如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A 岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，3≈1.732)
人教版 九年级数学 第28章 锐角三角函数 培
优训练-答案
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】利用网格特征把∠ACB 放置于直角三角形中求正弦值．如图，在Rt △ACD
中，由勾股定理，得AC ＝22CD AD +＝2
234+＝5，于是sin ∠ACB ＝
AC
AD ＝5
4．
A
B
C
D
2. 【答案】D
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴
AC=22
AD CD
+=22
34
+=5．∴sin∠BAC=CD
AC
=4
5
．故选D．
3. 【答案】D
【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD
AC ，∴CD=AC?cos∠ACD=60×3
2
=303．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=303，∴
AB=AD+BD=30+303．
所以此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+303)nmile．故选D．
4. 【答案】B
【解析】过点B作BD⊥AC于D点D，则∠ADB=90°，设小正方形方格的边
长为1，根据勾股定理得22
2313
+=1
2
2
∴在Rt△ABD中，sin
∠BAC=
2
26
2
26
13
BD
AB
==,故选B．
5. 【答案】D【解析】如解图，将AB平移到PE位置，连接QE, 则PQ＝210，PE＝22，QE＝42，∵△PEQ中，PE2＋QE2＝PQ2，则∠PEQ＝90°，∴tan∠
QMB＝tan∠P＝QE PE＝2.
6. 【答案】D
【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a?cosx+b?sinx，
故选D．
7. 【答案】C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，
OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．
二、填空题
8. 【答案】
92
【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象
限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在Rt △ABO 中，tan α＝
AB OB
＝t 3＝3
2，解得t ＝9
2
.
9. 【答案】11
【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝1
2
PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B
＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．
10. 【答案】
2
2
【解析】连接AB ，利用勾股定理的逆定理证明△OAB 是等腰直角三角形，得到∠AOB ＝45°，再根据特殊角的三角函数求解．∵AB 2＝12＋32＝10，OB 2＝12＋32＝10，OA 2＝22＋42＝20，∴AB 2＋OB 2＝OA 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，
∠AOB ＝45°，∴sin ∠AOB ＝sin45°＝2
2．
11. 【答案】
【答案】24
25
12. 【答案】567
【解析】如图，设线段AB交y轴于C，
在直角△OAC中，∠ACO=∠CAO=45°，则AC=OC．
∵OA=400米，∴OC=OA?cos45°=4002
2
?=2002(米)．∵在直角△OBC中，∠COB=60°，OC=2002米，
∴
2002
1
cos60
2
OC
OB===
?4002≈567(米)
故答案为：567．
13. 【答案】3 【解析】如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2，在Rt△ABC1中，AB=2，∠A=60°，∴∠ABC1=30°，∴AC1=1 2 AB=1，由勾股定理得：BC1=3，在Rt△ABC2中，AB=2，∠A=60°，∴∠AC2B=30°，∴AC2=4，由勾股定理得：BC2=23，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动， 此时3 14. 【答案】5或7 【解析】本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同， 此题有两种情况，①点D 在BC 延长线上，在△ABD 中 tan ∠ABD ＝BD AD ，∴3＝ BD 3 6解得6＝BD ，∴BC ＝BD － CD ＝6－1＝5；②点D 在BC 上，在△ABD 中 tan ∠ABD ＝BD AD ，∴3＝BD 3 6解得6＝BD ，∴BC ＝BD ＋ CD ＝6＋1＝7， 因此本题答案为5或7． D D A B B A C C 三、解答题 15. 【答案】 解：如解图，过点B 作BC 垂直于河岸，垂足为C ，则在R t △ACB 中，有 AB ＝ BC sin ∠BAC ＝900 sin60° ＝600 3. 因而时间t ＝ 600 35×60 ＝2 3≈3.4(分) 即船从A 处到B 处约需3.4分． 解图 16. 【答案】 解：(1)如解图，过点D作DE⊥AA′于点E，由题意得， AA′∥BC， ∴∠B＝∠FAB＝30°，(2分) 又∵AC＝60 m， 在Rt△ABC中，sin B＝AC AB ，即 1 2 ＝ 60 AB ， ∴AB＝120 m. 答：A，B之间的距离为120 m．(4分) (2)如解图，连接A′D，作A′E⊥BC交BC延长线于E，∵AA′∥BC，∠ACB＝90°， ∴∠A′AC＝90°，(5分) ∴四边形AA′EC为矩形， ∴A′E＝AC＝60 m， 又∵∠ADC＝∠FAD＝60°， 在Rt△ADC中， tan∠ADC＝AC CD ，即5＝ 60 CD ， ∴CD＝20 3 m，(8分) ∴DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝303＋203＝50 3 m，(10分) ∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝A′E DE ＝ 60 503 ＝ 23 5 ， 答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值为23 5 .(12分) 17. 【答案】 由题意得，∠A=30°，∠B=45°，AB=10km， 在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA=h AM tanB=h BM =1， ∴ 3 h，BM=h， ∵AM+BM=AB=10，∴ 3 h+h=10，解得h=15–6． 答：h约为6km． 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再 锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（） A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2) 锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ， 知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）． 锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tgα=ααcos sin ，ctgα=α αsin cos ； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不 难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． A B C D α A （第7题） 1l 3l 2l 4l A D E B 图 C 一、锐角三角函数定义：sin αα∠= 的() （ ） cos αα∠=的（）（） tan α= （） （） 例1．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3 2 ，求cosA 、tanB ． 例2．△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝63，BD ＝3. （1）求cosA （2）求BC 的长及△ABC 的面积． 例3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长． 例4.如图1，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43 ,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是 练习．1.在7,35,90==∠=AB B 中，则BC 的长为（ ） （A ） 35sin 7 （B ） 35 cos 7（C ） 35cos 7 （D ）． 35tan 7 2．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．2tan B = 3．已知ΔABC 中，∠C ＝90 ，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 4. Rt△ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于（ ） A.cos sin a A b B + B.sin sin a A b B + C sin sin a b A B +. D.cos sin a b A B + 5. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为 6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A = a b ．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 7.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ． 8．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于 C B A E F D 第8题 C M B A 第7题 D B C A C B 第2题 中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再 中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 639=?=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）23 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3， 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=3AC=203 ∴DE=503 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE =503= 2 35 答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是 2 35 ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 3．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC = 81 4 ．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM 第九讲 锐角三角函数 板块一 锐角三角函数 【例1】⑴(2010年人大附统练)如图，在ABC △中，AB AC =，45A =?∠，AC 的垂直平分线分别交AB 、 AC 于D 、E 两点，连接CD ，如果1AD =，那么tan BCD =∠ 。 ⑵(2007海淀二模)如图，四边形ABCD 、A 1B 1BA 、…、A 5B 5B 4A 4都是边长为1的小正方形。已知 ∠ACB ＝α，∠A 1CB 1＝α1，…，∠A 5CB 5＝α5。则tanα·tanα1＋tanα1·tanα2＋…＋tanα4·tanα5的值 为( ) A ．1 B ．5 C ．45 D ．56 ⑶(2010年济宁市)如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一 球从点M (点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点。如果MC n =，CMN α∠=。那么P 点与B 点的距离为 。 【例2】⑴(2010年人大附统练)已知ABC △，90C =?∠，设sin A m =，当A ∠是最小的内角时，m 的 取值范围是( ) A ．1 02 m << B ．02m << C ．0m < D ．0m << B 5 B 4 B 3 B 2B 1 A 5A 4A 3A 2A 1B A C D E D C B A B N 12?5? D C B A ⑵(十一学校2009年初三数学学习能力测试)已知1 sin cos 8 αα?=，且4590α<<°°，则 cos sin αα-的值是( ) A B ． C ． 34 D ． ⑶(北京二中分校2009学年度第一学期初三质量检测)因为1sin 302= °，1 sin 2102 =-°，所以 ()sin 210sin 18030sin 30=+=-°°°° ；因为sin 452= ° ，sin 2252 =°，所以 ()sin 225sin 18045sin 45=+=-°°°°；由此猜想并推理知：一般地，当α为锐角时，有()sin 180sin αα+=-°。由此可知sin 240=°( ) A ．1 2 - B ． C ． D ． 板块二 解直角三角形及应用 【例3】(2009浙江台州)如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角 12CBD ∠=?，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把 坡角降为5?。 ⑴求坡高CD ； ⑵求斜坡新起点A 与原起点B 的距离(精确到0.1米) (参考数据：sin120.21cos120.98tan50.09?≈?≈?≈，，) 【例4】面积专题： 题源：(2010年人大附统练)如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为( ) A ． 1sin α B ．1 cos α C ．sin α D ．1 锐角三角函数培优-题型分类 【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义．1．（2009?牡丹江二模）直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为，则k 的值为（） A．B．2 C．±2 D． 【分析】首先确定直线y=kx﹣4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出k的值． 【解答】解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为（0，﹣4），即直线y=kx ﹣4与y轴相交所成锐角的邻边为|﹣4|=4，与x轴的交点为y=0时，x=， ∵直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为， 即||=4×，k=±2． 故选C． 【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理． 2．（1998?台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（） A．B．1 C．D． 【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比． 【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E． ∵AB=BD， ∴E是CD中点， ∴AC=2BE， ∵AC⊥BC， ∴BE⊥BC，∠CBE=90°． ∴BE∥AC． 又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x， ∴tanA===，故选A． 【考点3】锐角三角函数的定义． 3．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连接AC，则tan∠DAC的值为（） A．B．C．D． 【分析】欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中． 过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在Rt△ACE中，求得∠DAC的正切值． 【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E． ∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°， ∴BD=DC， 设CD=BD=1， 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，则AD=2． 在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1， 则CE=，DE=． ∴tan∠DAC===． 讲义编号：组长签字：签字日期： 2、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 3、如图（1），∠α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一个点P （3，4），则sin α=______ 4、如图（2）所示，在正方形网格中，sin ∠AOB 等于（ ） A 、 5 5 B 、 25 5 C 、12 D 、2 5、如图（3），在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =， 32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ） A 、2 B 、 2 2 C 、 63 D 、33 6、如图（5），A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ） A 、1 2 B 、13 C 、14 D 、 24 7、如图（6），菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3 A ，则这个菱 sin 5 形的面积= cm2。 8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3 ，点D在BC边上，且 5 ∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值。 9、如图，在正方形ABCD中，M为AD的中点，E为AB上一点，且BE=3AE，求sin∠ECM。 10、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，AB=1，BC=2， tan∠ADC=2。 （1）求证：DC=BC （2）E是梯形ABCD内一点，F是梯形ABCD外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，是判断△ECF的形状，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE 的值。 考点三：利用特殊角的三角函数值进行计算 1、计算： （1）019(π4)sin 302 --+-- （2）201()(32)2sin 3032 ---+?+- （3）1 0182sin 45(2)3-?? -+-π- ??? （4）2sin45°＋3cos30°－2 3 2、∠B 是Rt△ABC 中的一个内角，且sinB=23，则cos 2 B =（ ） A 、2 1 B 、 23 C 、22 D 、2 1 3、在△ABC 中，a =3，b =4，∠C=60°，则△ABC 的面积为________。 4、Rt△ABC 中，∠C=90°，c =12，tanB=3 3 ，则△ABC 的面积为（ ） A 、363 B 、183 C 、16 D 、18 锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念（1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α＋cos α＝１；（２）若α>４5°，则sin α＞co ｓα;(3)若co ｓα>,则α<60°；(4)。正确得有( ）A 、(1) (２） （3)(４) B 、(２)（3)(4） C 、（1)(3)(4） D 、(1)（２)（3) 变式: 1、下列各式中，不正确得就就是( ) A. B 、 C 、 D 、ｔan ４5°>sin ４5° 2、已知∠Ａ满足等式,那么∠A 得取值范围就就是( ） A 、0°<∠A ≤９0° B 、90°<∠Ａ<180° C 、0°≤∠A <90° Ｄ、0°≤∠A ≤9０° ３、α就就是锐角,若ｓin α＝cos150，则α= ４。若sin530１8\=0、8０18,则ｃos3604２\= 题型:锐角三角函数基本概念(２) 例:已知sin α·cos α=,且４5°＜α<90°，则ＣＯS α-si ｎα得值为（ ) A 、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 变式： 1、已知△ABC 中,∠Ｃ=９0°,下列各式中正确得就就是( ） A.sinA ＋c ｏsB=s ｉnC B 、si ｎA ＋sinB=ｓinC C 、 D 、 2、已知si ｎα+cos α=m ，sin α×ｃos α=ｎ,则m ，n 得关系式( ) A.m=n Ｂ、ｍ＝2ｎ+1 C 、 D 、 题型:求三角函数值 例:如图，菱形得边长为5,AC 、BD 相交于点Ｏ，ＡC=6,若，则下列式子正确得就就是（ ) A.sin α= B 、cos α= C 、t ａn α= D 、cot α＝ 变式:1、设0°＜α<４5°,sin αco ｓα=,则s ｉn α＝ ２、已知si ｎα-ｃo ｓα＝,0°＜α<１8０°,则ｔan α得值就就是（ ) B 、 C 、 Ｄ、 3、如图,在正方形ABCD 中,Ｍ为ＡD 得中点,E 为ＡB 上一点,且BE=３A Ｅ,求sin ∠ＥCM 。 4、如图，在矩形中,就就是边上得点，,,垂足为,连接。 (１)求证:;(２）如果,求得值。 题型:三角函数值得计算(1) 例:计算:= 变式:1、计算：= 2、计算:0000002000027tan 63tan 60cot 360 sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型:三角函数值得计算(2） 例：化简根式:＝ 变式:1、若,化简下式: αααααα αsin )90sin()90cos(21tan tan 21sin cos 21002+----+--= 2、已知ｔａnA=3,且∠A 为锐角,则cotA －= 3、已知为锐角,,求得值。 题型:三角函数与一元二次方程得综合题（1) 例：在Rt △ABC 中,∠C=９０°，斜边＝５，两直角边得长ａ,b 就就是关于x 得一元二次方程得两个实数根,求Rt △ABC 中较小锐角得正弦值。 变式:1、若就就是得三边，,且方程有两个相等得实数根,求得值。 2、已知a,ｂ,c 为△A ＢC 中三个内角∠A,∠B,∠C 得对边。当m ＞0时,关于x 得方程有两个相等得实数根,且。试判断△ＡBC 得形状、 1锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin2α+cos2α=1； 商数关系：tgα=??cossin，ctgα=??sincos； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝135，tanB=2，AB=29cm，则S△ABC = 思路点拨过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比， sinA=135?ACCD，tanB=2?BDCD，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值． 注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径， 不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S△ABC=CabBacAbcsin21sin21sin21??； （2）RCcBbAa2sinsinsin???． 【例2】在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( ) A 32? B32? C．0.3 D23? 思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 2【例3】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D 作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值． 思路点拨作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？ （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？ 【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 【解析】 试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得 BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果； （3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′=， ∴∠CAO′=30°； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
培优锐角三角函数之欧阳光明创编
培优锐角三角函数
人教【数学】数学锐角三角函数的专项培优易错试卷练习题附答案
锐角三角函数(培优)
锐角三角函数培优题目
锐角三角函数-基础+培优
中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)附详细答案
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案
锐角三角函数学而思培优
锐角三角函数培优题型分类(答案版)
锐角三角函数培优讲义
培优锐角三角函数
锐角三角函数培优题目
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案